精品解析：河南省开封市东苑中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

开封市顺河回族区东苑中学2023-2024学年八年级下学期数学期末 一、单选题（共30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（ ） A. 58×10﹣6米 B. 0.58×10﹣8米 C. 5.8×10﹣8米 D. 5.8×10﹣7米 3. 如果关于x分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 若点都在反比例函数函数图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，点E在边上，，连接．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法，正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 10. 如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题（共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 请写出一个图象位于第一三四象限的一次函数，这个一次函数的表达式是___________ 13. 小明参加“传承经典，筑梦未来”主题演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、8分、9分．若将演讲形象、演讲内容、演讲交果三项成绩按确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是______分． 14. 把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点为另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另为三个锐角顶点B、C、D在同一条直线上．若，______． 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则__． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）计算:； （2）化简:． 17. 先化简，再求值： ． 其中，．小虎做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事? 18. 学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12． 抽取的七、八年级学生的评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.75 8.75 中位数 9 a 众数 9 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a、b、c的值： （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演?请说明理由． （3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人? 19. 如图，在平行四边形中． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作平分线，交于点．（保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，在上截取，连接．求证：四边形是菱形． 20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，． （1）______，______，点坐标______． （2）不等式的解集是______． （3）已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，A粽子的进价节前是节后的1.2倍，节前用150元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10个，根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每个A粽子进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子500个，且总费用不超过1400元，并按照节前每个8元，节后每个5元全部售出，那么该商场节前购进多少个A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． （1）观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． （2）根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量的取值范围是________． ②方程有________个实数根． （3）应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0．5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为，总造价为元，请写出关于的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时的取值范围．(保留2位小数) 23. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封市顺河回族区东苑中学2023-2024学年八年级下学期数学期末 一、单选题（共30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可． 【详解】解：选项A、C、D中的代数式：分母中不含有字母或含有，不是分式，是整式；选项B中的代数式：分母中含有字母，属于分式． 故选：B 2. 据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（ ） A. 58×10﹣6米 B. 0.58×10﹣8米 C. 5.8×10﹣8米 D. 5.8×10﹣7米 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解】解：580纳米=580×0.000000001米 米 米． 故选：D． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】现将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，然后代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母，得 由分式方程有增根，得，解得， 把代入整式方程得，解得． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 5. 若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由反比例函数图象与性质得到，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数和二次函数的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上， 故选项正确，符合题意； B、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键． 6. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项正确； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的关键． 7. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 8. 如图，中，点E在边上，，连接．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及平行线的性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 9. 下列说法，正确是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、命题的真假判断、线段垂直平分线的性质、反证法的应用，熟练掌握相关性质和概念是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、线段垂直平分线的性质、反证法逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故A选项错误，不符合题意； B、“若，则”的逆命题是“若，则”，当，且时，也满足，故逆命题是假命题，B选项说法错误，不符合题意； C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等，故C选项说法错误，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，D说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、函数图象的动点问题，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象得出，结合当时，；得出然后运用锐角三角函数得出，继而求出、，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵设的垂直平分线分别交，于点M和N， 连接，如图： 当，且 ∴当时， ∴， ∵当时，； ∴则点P先从点C运动到点N，接着又从点N运动到点M， 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的面积为 故选：A． 二、填空题（共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分母不等于零．根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：在函数中，自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 请写出一个图象位于第一三四象限的一次函数，这个一次函数的表达式是___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象的性质，根据一般形式，，图象过一、二、三象限；，图象过一、三、四象限；，图象过一、二、四象限；，图象过二、三、四象限；据此解答即可． 【详解】解：一次函数的图象位于第一三四象限， ， （答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 小明参加“传承经典，筑梦未来”主题演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、8分、9分．若将演讲形象、演讲内容、演讲交果三项成绩按确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．解答时利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得： 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 14. 把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点为另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另为三个锐角顶点B、C、D在同一条直线上．若，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；过点A作于G，由等腰直角三角形的性质可求得，由勾股定理求得，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于G， ∵， ∴； 由勾股定理得， ∴， 又， 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）计算:； （2）化简:． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的基本性质分别化简得出答案. 【小问1详解】 解：原式， 【小问2详解】 解：原式= = 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确化简分式是解题关键. 17. 先化简，再求值： ． 其中，．小虎做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事? 【答案】；理由见解析 【解析】 【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后合并得到最简结果为常数，与取值无关,即可做出判断． 【详解】解：原式 ． 化简后结果不含字母， 小虎同学虽然把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则是解题的关键． 18. 学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12． 抽取七、八年级学生的评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.75 8.75 中位数 9 a 众数 9 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a、b、c的值： （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演?请说明理由． （3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人? 【答案】（1），， （2）八年级更喜欢此次文艺汇演，理由见解析 （3）估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图，统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据扇形统计图以及中位数的定义可知，八年级的中间两个数为9和10，众数在D组，根据七年级的成绩数据，9分以上有7人，进而即可求得优秀率； （2）根据众数与优秀率进行判断即可求解； （3）根据两个年级的优秀率乘以人数即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图以可得E和D两组人数和人，八年级的中间两数为9和10， ∴， 八年级的众数在D组， ∴， 七年级的成绩数据，9分以上有7人， ∴， 故答案为：9.5，10，35 【小问2详解】 八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下： 八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9． 【小问3详解】 样本中七年级学生非常喜欢的占比为， 样本中八年级学生非常喜欢的占比为． ∴（人）， 答：估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人． 19. 如图，在平行四边形中． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，在上截取，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据基本作图—作角平分线，即可作得； （2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得，据此即可证得结论． 【小问1详解】 如图，点即为所求． 【小问2详解】 证明：如图，四边形是平行四边形， ， ． ， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，． （1）______，______，点坐标为______． （2）不等式的解集是______． （3）已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】（1）；3； （2）或 （3）20 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出、的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：将代入得，解得， ， 将代入得， 点与关于原点对称， ； 故答案为：；3；； 【小问2详解】 解：不等式的解集是指反比例函数图象在直线上方的图象对应的的范围， 由图象知，当或时，，反比例函数图象在直线上方， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：作于，如图所示： ，， ，， 在中，由勾股定理得， 四边形是菱形， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，A粽子的进价节前是节后的1.2倍，节前用150元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10个，根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每个A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子500个，且总费用不超过1400元，并按照节前每个8元，节后每个5元全部售出，那么该商场节前购进多少个A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该商场节后每个A粽子的进价是2.5元 （2）该商场节前购进300个A粽子获得利润最大，最大利润2000元 【解析】 【分析】（1）设该商场节后每个A粽子的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设A粽子获得利润为w，节前购进A粽子y个，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可得出最大利润． 【小问1详解】 设该商场节后每个A粽子的进价为元，则节前每个A粽子的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：该商场节后每个A粽子的进价是2.5元； 【小问2详解】 设A粽子获得利润为w，节前购进A粽子y个， 根据题意有， 又，得， ∵利润为w与节前购进A粽子y为一次函数关系，且， ∴y越大获利越大， ∴当时，获得最大利润（元）， 答：该商场节前购进300个A粽子获得利润最大，最大利润2000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用—最大利润问题，读懂题意列出分式方程和一次函数关系式是解题的关键． 22. 在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． （1）观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． （2）根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量的取值范围是________． ②方程有________个实数根． （3）应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0．5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为，总造价为元，请写出关于的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时的取值范围．(保留2位小数) 【答案】（1）见解析 （2）①②1 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象求方程的解，画函数图象； （1）根据描点连线的方法画出函数图象； （2）①根据解析式可得； ②根据函数图象，即可求解． （3）根据题意可得，当时，即，观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：用平滑的曲线连结，作出函数图象如图所示， 【小问2详解】 解：①根据解析式，可得； 故答案为：． ②方程的解，即与的交点的横坐标 根据函数图象可得与只有1个交点， ∴方程有1个实数根； 故答案为：． 【小问3详解】 解：依题意，， 当时，方程，即， 根据函数图象可得，方程的正的近似解为， ∴当时，的取值范围为（答案合理即可）． 23. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析； （2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明过程见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定定理可得直线是线段的垂直平分线，结论得证； （2）根据垂直定义可得，由勾股定理得，进而得到答案； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【小问1详解】 解：四边形是垂美四边形． 证明：如图连接，交于点， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形． 【小问2详解】 猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． 【小问3详解】 连接、，如图： ∵， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， 在中，，，根据勾股定理可得：， ∵和分别是正方形和的对角线， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$