精品解析：上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期数学期中考试卷

上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 （完成时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断D． 【详解】A、由比例的性质，得2a=5b，故A正确，不符合题意； B、2a=5b，得，故B正确，不符合题意； C、a+b有无数个值，故C错误，符合题意； D、由合比性质，得，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，合比性质． 2. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（　　） A. 7sinα B. 7cosα C. 7tanα D. 7cotα 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7， ∴tanα== ∴BC=7tanα． 故选C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3. 如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（ ） A. ＝2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质、比例的性质以及相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵BE：BC＝2：3， ∴，；故A正确 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴ ∴，则，故B不正确；D正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质以及比例的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可． 【详解】解：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=CF，DF=CE， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴△ADE∽△ABC，△BFD∽△BAC， ∴，故A错误； ，即，故B错误； ∵DF∥AC，∴，故C正确； ∵DE∥BC，∴，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键． 6. 已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解A：，， ，故该选项正确； B、， ， ， ，故该选项正确； C、， ，， ，，， ， ，故该选项正确； D、由题意可知，，，故不能推出，故该选项错误； 故选：D． 二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段比例中项的概念，可得，即得，从而可求b的值． 【详解】∵线段是线段和线段的比例中项， ∴，即， ∴厘米（负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应求平方根．求两条线段的比例中项的时候，应求算术平方根． 8. 如图，点D在的边上，当______时，与相似． 【答案】 【解析】 【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可． 【详解】由∠BAC=∠CAD共用， 当时， ∽． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，代入数据求值即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，即， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 11. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 12. 如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9 ，则tanA＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可证明△ADE∽△GFB，利用相似三角形的性质可求得DE，在Rt△ADE中，由正切函数的定义可求得tanA． 【详解】因为四边形DEFG是正方形， 所以DE=GF, 根据题意可得：△ADE∽△GBF, 所以, 所以, 所以, 所以DE=6， 所以. 14. 如图，已知tan O＝，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：过P作PD⊥OB，交OB于点D， ∴设PD=4x，则OD=3x， ∵OP=5,由勾股定理得： ∴x=1， ∴PD=4， ∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2 在Rt△PMD中，由勾股定理得： 故答案为 15. 如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么___________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的性质与判定，证明，可得，再根据，即求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 故答案为：． 16. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解． 【详解】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2， 设BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB， ∴CG=BF=x， ∵sin∠GBC= ∴ BC= 由勾股定理得: 解得：x=1或x=﹣ （舍去） BC= 大正方形的面积= 故答案为：10． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键． 17. 已知Rt中，，D是边上一点，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题解直角三角形的计算、解一元一次方程、勾股定理，设，则，，可得，在中，，求得，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， 故答案为：4． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cosB＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】由题意，当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵cosB＝，AB＝6， ∴BC＝4，AC＝＝2， ∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′， ∴△AA′H≌△AA′C（AAS）， ∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x， 在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2， ∴x＝3﹣5， ∴A′C＝3﹣5， 故答案为3﹣5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 20. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． （1）用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 【答案】（1），， （2） 向量、是向量分别在、方向上的分向量． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）利用向量的线性运算，求解即可； （2）过点分别作、的平行线，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 由题意得：； 由平行四边形的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ； 故答案为：，， ； 【小问2详解】 如图：过点作交于点，过点作交于点， 则向量、是向量分别在、方向上的分向量． 21. 如图，在中，上的一点在边的垂直平分线上，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 【答案】 （1）证明：， ， 又， ， ， 又是的垂直平分线， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得出，可证得，进而证得，再根据线段垂直平分线的性质可推得，根据等量代换即可解得； （2）作DE⊥AB于E，由垂直平分，求出，，由勾股定理求出AH，设，则，再由勾股定理求出AD，然后由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2） 作垂直平分，垂直平分 ，， 在中， 在中，设，则 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角函数的定义，难度不大，正确做出辅助线是解题的关键． 22. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） （1）的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 （2）对于，的正对值的取值范围是___________． （3）如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； 【小问2详解】 在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 23. 如图，在中，D是上的点，E是上一点，且． （1）求证:； （2）若E是的重心，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． （1）求点坐标； （2）在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； （3）直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【小问1详解】 ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 25. 如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． （1）求的值； （2）当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； （3）在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， 【小问3详解】 解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 （完成时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（　　） A. 7sinα B. 7cosα C. 7tanα D. 7cotα 3. 如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（ ） A. ＝2 B. C. D. 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是________厘米． 8. 如图，点D在的边上，当______时，与相似． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段___________． 10. 在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为___________． 11. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为___________． 12. 如图，直线，已知，，，___________． 13. 如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9 ，则tanA＝_______． 14. 如图，已知tan O＝，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝________． 15. 如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么___________．（用表示） 16. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________． 17. 已知Rt中，，D是边上一点，且，则___________． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cosB＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是_____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． （1）用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 21. 如图，在中，上的一点在边的垂直平分线上，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 22. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） （1）的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 （2）对于，的正对值的取值范围是___________． （3）如果，，其中为锐角，试求的值． 23. 如图，在中，D是上的点，E是上一点，且． （1）求证:； （2）若E是的重心，求的值． 24. 如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． （1）求点坐标； （2）在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； （3）直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 25. 如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． （1）求的值； （2）当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； （3）在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $