专题05 方程与不等式（五大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖南专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题05 方程与不等式 考点01 一元一次方程 1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 2．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（　　） A．25 B．75 C．81 D．90 3．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　． 4．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒． （1）求x的值； （2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）． 5．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 考点02 二元一次方程组 1．（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．” 设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　） A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7 4．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•常德）解方程组：． 6．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 7．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： （1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　 　 ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　 　 ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　 　 （2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 8．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg． （1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； （2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 9．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元． （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？ 考点03 不等式与不等式组 1．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（2023•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023•邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023•常德）不等式组的解集是（　　） A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1 9．（2022•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2022•张家界）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　） A． B． C． D． 12．（2022•邵阳）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x D．x （多选）15．（2022•湘潭）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（　　） A．a+2＞b+2 B．﹣3a＞﹣3b C． D．a﹣1＜b﹣1 16．（2023•株洲）关于x的不等式的解集为 　 　． 17．（2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 18．（2024•湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 19．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格； （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 20．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 21．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 22．（2023•永州）解关于x的不等式组：． 23．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 24．（2023•岳阳）解不等式组：． 25．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 26．（2023•衡阳）解不等式组：． 27．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 28．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元． （1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ （2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 29．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个． （1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量． （2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 30．（2022•长沙）解不等式组：． 31．（2022•永州）解关于x的不等式组：． 32．（2022•常德）解不等式组． 33．（2022•湘西州）解不等式组：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　． （Ⅱ）解不等式②，得 　 　． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）所以原不等式组的解集为 　 　． 34．（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 考点04 分式方程 1．（2023•株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　） A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x 2．（2023•湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 3．（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1） D．3x 4．（2023•郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　） A． B． C． D．x+1.5x＝240 5．（2024•湖南）分式方程1的解为 　 　． 6．（2023•益阳）分式方程的解是 　 　． 7．（2023•邵阳）分式方程0的解是 　 　． 8．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　 　． 9．（2022•岳阳）分式方程2的解为x＝　 　． 10．（2022•长沙）分式方程的解为 　 　． 11．（2022•张家界）已知方程，则x＝　 　． 12．（2022•永州）解分式方程0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 　 　． 13．（2022•常德）方程的解为 　 　． 14．（2022•邵阳）分式方程0的解是 　 　． 15．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 16．（2023•岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量． 17．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元． （1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？ （2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式． （3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？ 18．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%． （1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？ （2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 19．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 考点05 一元二次方程 1．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 2．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（　　） A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0 4．（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞1 5．（2022•郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 7．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　 　． 8．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　 　． 9．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 10．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　 　． 11．（2023•湘西州）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　 　． 12．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　 　． 13．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　，另一个根为 　 　． 14．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　． 15．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　 　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　 　个． 16．（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　． 17．（2022•娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝　 　． 18．（2022•长沙）关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根，则实数t的值为 　 　． 19．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题05 方程与不等式 考点01 一元一次方程 1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值． 【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解， ∴2×1+m＝5， ∴m＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 2．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（　　） A．25 B．75 C．81 D．90 【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量＝城中人家户数城中人家户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设城中有x户人家， 依题意得：xx＝100， 解得：x＝75， ∴城中有75户人家． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　． 【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解． 【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键． 4．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒． （1）求x的值； （2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）． 【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）求出从滑雪道A端滑到B端的路程，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3）， 解得：x＝3， 答：x的值为3； （2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米）， ∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒， ∴v． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 【分析】设高铁的平均速度为x km/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h． 【解答】解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h， 由题意得：x+40＝3.5（x﹣200）， 解得：x＝296， 答：高铁的平均速度为296km/h． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 考点02 二元一次方程组 1．（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用总价＝单价×数量，结合学校用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵购进A，B两种劳动工具共145件， ∴x+y＝145； ∵A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．且购买这批劳动工具共花费1580元， ∴10x+12y＝1580， ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．” 设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据今有鸡兔同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 3．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　） A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7 【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可． 【解答】解：，将①式代入②式， 得x+2（x﹣1）＝7， ∴x+2x﹣2＝7， 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键． 4．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个， ∴x+y＝12； 又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿， ∴4x+3y＝40． ∴列出的方程组为． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2023•常德）解方程组：． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：①×2+②得：5x＝25， 解得：x＝5， 将x＝5代入①得：5﹣2y＝1， 解得：y＝2， 所以原方程组的解是． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车． 根据题意，得， 解得． 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车； （2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元）， 租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元）， ∵2800＜3000， ∴租用14辆45座客车更合算． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”． 7．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： （1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　√　 ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　×　 ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　×　 （2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【分析】（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条，可得75＜x＜100，又x为奇数，即知x可取77，79，81......99，共12个，从而可判断①正确，②③错误； （2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条，可得：，即可解得“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条． 【解答】解：（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条， 根据题意得：， 解得75＜x＜100， ∵x为奇数， ∴x可取77，79，81......99，共12个， ∴①正确，②③错误， 故答案为：√，×，×； （2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条， 根据题意得：， 解得， 答：“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条． 【点评】本题考查不等式组及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组和方程组． 8．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg． （1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； （2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由（1）的结果列式计算即可． 【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg， 由题意得：， 解得：， 答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg； （2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg， 答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元． （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？ 【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元． （2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根， 由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780， 解得：a≤20， 答：至多可以购买B种跳绳20根． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 考点03 不等式与不等式组 1．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，一元一次不等式组的应用，理解点的坐标，“整点”及“超整点”的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键． 2．（2023•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由2x+4＞0得x＞﹣2， 由x﹣1≤0得x≤1， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤1， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4．（2023•郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3， 解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2023•益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由x＝2≤0得x≤2，又x＞0， 则不等式组的解集为0＜x≤2． A项代表0≤x＜2； B项代表0＜x≤2； C代表x＜0且x≥2； D代表x＞0． 故选：B． 【点评】本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意＞，≥向右画；＜，≤向左画；同时还要注意“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6．（2023•邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＜1， 由②得，x≥﹣2， 在数轴上表示为： ． 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由x﹣1＜2，得：x＜3； 由1﹣x＜4，得：x＞﹣3； ∴不等式组的解集为：﹣3＜x＜3； 在数轴上表示如下： 故选：A． 【点评】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集． 8．（2023•常德）不等式组的解集是（　　） A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜5， 解不等式②，得：x≥﹣1， ∴该不等式组的解集是﹣1≤x＜5， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 9．（2022•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项． 【解答】解：， 解①，得x≤2， 解②，得x＞﹣1． 所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2． 故符合条件的选项是C． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键． 10．（2022•张家界）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣1， 由②得：x≤1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 故选：D． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 11．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解． 【解答】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意； B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意； C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意； D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了． 12．（2022•邵阳）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【解答】解：， 由①得：x＞1， 由②得：x＜a， 解得：1＜x＜a， ∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4， ∴4＜a≤5， ∴a的最大值是5， 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 13．（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可． 【解答】解：， 解①得x≥﹣1， 解②得x＜3． 则表示为： 故选：A． 【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 14．（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x D．x 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可． 【解答】解：∵4x﹣1＜0， ∴4x＜1， ∴x． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键． （多选）15．（2022•湘潭）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（　　） A．a+2＞b+2 B．﹣3a＞﹣3b C． D．a﹣1＜b﹣1 【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可． 【解答】解：A．a+2＞b+2， ∵a＞b， ∴a+2＞b+2， 故A选项符合题意； B．﹣3a＞﹣3b， ∵a＞b， ∴﹣3a＜﹣3b， 故B选项不符合题意； C．， ∵a＞b， ∴， 故C选项符合题意； D．a﹣1＜b﹣1， ∵a＞b， ∴a﹣1＞b﹣1， 故D选项不符合题意； 故选：AC． 【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 16．（2023•株洲）关于x的不等式的解集为 　x＞2　． 【分析】根据一元一次不等式的解法，即可得出答案． 【解答】解：x﹣1＞0， 移项，得：x＞1， 系数化1，得x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 17．（2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元； （2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件， 根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000， 解得：m≤100， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18．（2024•湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【分析】（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，根据总费用不超过38000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵， 由题意得：50m+30（1000﹣m）≤38000， 解得：m≤400， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 19．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格； （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 【分析】（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，根据“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，根据要获得不低于5万元的价值，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵； （2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵， 根据题意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000， 解得：m≥100， ∴m的最小值为100． 答：乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人， 根据题意得：45x+30＝60（x﹣6）， 解得：x＝26， ∴45x+30＝45×26+30＝1200． 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆， 根据题意得：， 解得：5≤y≤7， 又∵y为正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）； 选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）； 选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）． ∵5900＜5980＜6060， ∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金． 21．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，根据资金不超过13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得：， 解得：， 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台， 由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000， 解得：m≥10， 答：最少需要购买甲型自行车10台． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 22．（2023•永州）解关于x的不等式组：． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【解答】解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1， 解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2， 所以不等式组的解集为1＜x＜2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 23．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【分析】（1）设胜了x场，负了y场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可． （2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，根据所得总分不少于56分，列出相应的不等式，从而可以求出答案． 【解答】解：（1）设胜了x场，负了y场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是13场和2场； （2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球， 根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56， 解得m≥4， 答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 24．（2023•岳阳）解不等式组：． 【分析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜4， 故不等式组的解集为：2＜x＜4． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 25．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解答】解：， 由①得7x≤14， 则x≤2， 由②得2x+6＞x+4， 则x＞﹣2， 故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， 在数轴上表示其解集如下： 【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，正确解不等式组求得其解集是解题的关键． 26．（2023•衡阳）解不等式组：． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤4， 解不等式②得：x＞2， ∴原不等式组的解集为：2＜x≤4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 27．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【分析】（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答； （2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答． 【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个， 根据题意得：， 解得：． 答：原计划篮球买40个，足球买20个． （2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个， 根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890， 解得：a≤24.5， 答：篮球最多能买24个． 【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式． 28．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元． （1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ （2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元． （2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨， 依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600， 解得：m≤6． 答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 29．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个． （1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量． （2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个， 依题意得：， 解得：． 答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个． （2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个， 依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900， 解得：m≤70． 答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 30．（2022•长沙）解不等式组：． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤4， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 31．（2022•永州）解关于x的不等式组：． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解： 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞4， 则不等式组的解集为x＞4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 32．（2022•常德）解不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由5x﹣1＞3x﹣4，得：x， 由x，得：x≤1， 则不等式组的解集为x≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 33．（2022•湘西州）解不等式组：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　x≤3　． （Ⅱ）解不等式②，得 　x≥﹣2　． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）所以原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤3　． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：． （Ⅰ）解不等式①，得x≤3， （Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2， （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3， 故答案为：（Ⅰ）x≤3； （Ⅱ）x≥﹣2； （Ⅲ）数轴表示见解答； （Ⅳ）﹣2≤x≤3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 34．（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞2， 解不等式②，得：x≤3， ∴原不等式组的解集是2＜x≤3， 其解集在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 考点04 分式方程 1．（2023•株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　） A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x 【分析】方程两边同乘2x（x﹣1），然后整理即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：， 去分母，得：3（x﹣1）＝2x， 整理，得：3x﹣3＝2x， 故选：A． 【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母． 2．（2023•湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时， 根据题意可得：． 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等关系． 3．（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1） D．3x 【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：3（x﹣1）， 故选：C． 【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 4．（2023•郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　） A． B． C． D．x+1.5x＝240 【分析】设原计划平均速度为x km/h，实际平均速度为（1+50%）x＝1.5x km/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可． 【解答】解：设原计划平均速度为x km/h， 由题意得，1， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 5．（2024•湖南）分式方程1的解为 　x＝1　． 【分析】观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘（x+1），得 2＝x+1， 解得x＝1． 检验：把x＝1代入（x+1）＝2≠0． ∴原方程的解为：x＝1． 【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 6．（2023•益阳）分式方程的解是 　x＝﹣2　． 【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可得结果． 【解答】解：， 方程两边同乘x（x﹣2），去分母得4x＝2（x﹣2）， 解这个整式方程得x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入x（x﹣2）≠0， ∴x＝﹣2是分式方程的解． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验． 7．（2023•邵阳）分式方程0的解是 　4　． 【分析】确定最简公分母去分母将分式方程化为一元一次方程即可得出结论． 【解答】解：0 分式两边同乘以x（x﹣2）得：2（x﹣2）﹣x＝0， 去括号得：2x﹣4﹣x＝0， 合并化系数为1得：x＝4． 检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0， ∴原分式方程的解为：x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解分式方程，能正确找到最简公分母是解题的关键． 8．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　x＝4　． 【分析】根据关于x的分式方程（m为常数）有增根，可知x﹣4＝0，进一步计算即可． 【解答】解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4， 故答案为：x＝4． 【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键． 9．（2022•岳阳）分式方程2的解为x＝　2　． 【分析】去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解． 【解答】解：2， 3x＝2x+2， x＝2， 经检验x＝2是方程的解， 故答案为：2． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键． 10．（2022•长沙）分式方程的解为 　x＝2　． 【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘x（x+3），得 2（x+3）＝5x， 解得x＝2． 检验：把x＝2代入x（x+3）＝10≠0，即x＝2是原分式方程的解． 故原方程的解为：x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】此题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解分式方程一定注意要验根． 11．（2022•张家界）已知方程，则x＝　﹣3　． 【分析】应用解分式方程的方法，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．进行计算即可得出答案． 【解答】解：给分式方程两边同时乘x（x﹣2）， 得5x＝3（x﹣2）， 移项得5x﹣3x＝﹣6， 合并同类项得2x＝﹣6， 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入x（x﹣2）中，﹣3×（﹣3﹣2）＝15≠0， 所以x＝﹣3是原分式方程的解． 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法进行求解是解决本题的关键． 12．（2022•永州）解分式方程0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 　x（x+1）　． 【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案． 【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x（x+1）． 故答案为：x（x+1）． 【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键． 13．（2022•常德）方程的解为 　x＝4　． 【分析】方程两边同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验后得到答案． 【解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0， ∴x＝4是原方程的解， ∴原方程的解为x＝4． 【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验． 14．（2022•邵阳）分式方程0的解是 　x＝﹣3　． 【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【解答】解：去分母，得：5x﹣3（x﹣2）＝0， 整理，得：2x+6＝0， 解得：x＝﹣3， 经检验：x＝﹣3是原分式方程的解， 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 15．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论； （2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个． 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解， ∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个）， 答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个． （2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个． 根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300， 解得：m≤25， 答：最多可购进A型玩具25个． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键． 16．（2023•岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量． 【分析】设今年龙虾的平均亩产量为x kg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，利用养殖面积＝总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设今年龙虾的平均亩产量为x kg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：今年龙虾的平均亩产量为300kg． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 17．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元． （1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？ （2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式． （3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？ 【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答； （2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可； （3）根据题意列出不等式并解答． 【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元， 根据题意，得， 解得x＝40， 经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意． 所以x﹣5＝35， 答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元； （2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元）， 当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a； 当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30， ∴W关于a的函数关系式为：w； （3）由题意得：48a+30≤320，解得a， 答：最多可购买6套． 【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 18．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%． （1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？ （2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数； （2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻， 依题意得：0.4， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6． 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻． （2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时， 依题意得：3%×10y+2%×62.4%×100， 解得：y≤4． 答：最多安排甲收割4小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 【分析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可． 【解答】解：设平常的速度是x千米/小时， 根据题意，得， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的根， 4×60＝240（千米）， 答：小强家到他奶奶家的距离是240千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 考点05 一元二次方程 1．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α， ∴﹣1+α＝﹣1， ∴α＝0， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型． 3．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（　　） A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0 【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论． 【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0， ∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根； B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根； C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根； D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0， ∴方程x2+2＝0没有实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 4．（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞1 【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0， 解得：k＞4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 5．（2022•郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断符号即可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0， ∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键． 6．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键． 7．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　1000（1+x）2＝1440　． 【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440， 故答案为：1000（1+x）2＝1440． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　5　． 【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个解为t， 根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20， 解得t＝5， 即方程的另一个根为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 9．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1　． 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0， 解得a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 10．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0， ∴m＞2． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2， ∵x1+x2+x1•x2＝2， ∴﹣2m+m2﹣m+2＝2， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3， ∴实数m的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键． 11．（2023•湘西州）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　3　． 【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝4，求出即可． 【解答】解：则根据根与系数的关系得：， 解得：x2＝3， 即方程的另一个根为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，． 12．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　6　． 【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m， ∴m2 ＝（m）2+2 ＝（）2+2 ＝22+2 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 13．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣1　，另一个根为 　2　． 【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0， 解得：m＝﹣1， ∵方程的两根之积为2， ∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2． 故答案为：﹣1，2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　． 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1， ∴a的取值范围是：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 15．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　18　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　7　个． 【分析】①把m，x1＝9代入求值即可； ②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可． 【解答】解：①把m，x1＝9时，（9﹣2）×（x2﹣2）＝4， 解得：x2＝18； 故答案为：18． ②当m，x1，x2为正整数时， （mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1， 而4＝1×4＝2×2＝4×1， ∴或或， ∴或或， 当时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2， 故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个； 当时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1， 故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个； 当时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1， 故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个； 综上所述：共有2+3+2＝7个． 故答案为：7． 【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 16．（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　m＜1　． 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×m＞0，然后解不等式求出m的取值即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×m＞0， 解得m＜1， 所以实数m的取值范围是m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 17．（2022•娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝　﹣1　． 【分析】根据根与系数的关系解答． 【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1， ∴x1x21． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 18．（2022•长沙）关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根，则实数t的值为 　t＝1　． 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝22﹣4×1×t＝0，然后解方程求出t的取值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即22﹣4×1×t＝0， 解得t＝1， 故答案为：t＝1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 19．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$