8.6.1 直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 复习与引入 不同在任何一个平面内，没有公共点 没有公共点 有且只有一个公共点 平行直线 相交直线 共面直线 异面直线 探究新知（一）：异面直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 1、两条直线所成的角（或夹角）: 思考：如何刻画两条异面直线的位置关系？ 书146页 探究新知（一）：异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2、异面直线所成的角: 平移 异面直线 相交直线 空间问题 平面问题 (0°, 90°] 探究新知（一）：异面直线所成的角 思考：直线a与b所成的角的大小与点O的位置有关吗？ O2 O1 b’ a’ b’ a’ O3 a’ 为简便，O点常取在 两异面直线中的一条上 书147页小标签的思考题 3、异面直线所成的角的范围： 探究新知（一）：异面直线所成的角 (0°, 90°] 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°． 空间中两条直线所成角θ的取值范围是： 0°≤ θ ≤90° 如果两条异面直线所成角为直角（90°），则称它们互相垂直，记作a⊥b。 异面直线所成角的定义 (1)定义：直线a、b为异面直线，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角. ①异面直线所成角的取值范围： ⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角， 则异面直线所成角应取其补角。 异面直线 相交直线 平移 ③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小. 通常把点O取在直线a或b上 ②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。 ④格式：∵__//__, ∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角). 异面直线a与b所成的角：平移至相交所成的锐角(或直角) 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°． 题型（一）:位置关系的判断 2.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.( ) 1.如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.（ ） √ 3.垂直于同一条直线的两条直线平行.（ ） 一、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. × √ 课后练习148页 练习：下列说法正确的有（ ） A．异面直线a与b所成角可以是0°. B．若a⊥c，b⊥c，则a ∥b. C．若a ∥b，则a，b与c所成的角相等. D．若a ∥b，a⊥c，则b⊥c. 题型（一）:位置关系的判断 题型（二）：异面直线所成的角 例1、如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值. 题型（二）：异面直线所成的角 例2、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. A B C D A1 B1 C1 D1 O M 1 2 2 法一（平移法）： 法二（补形法）： A B C D A1 B1 C1 D1 E F E1 F1 [例3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O， 求证：AO⊥BD. 证线线垂直的方法 思路1：求△AOB1三边长，由 勾股定理逆定理得∠AOB1=90° 思路2：构造等边△AD1B1，O为D1B1的中点，得∠AOB1=90° 证线线垂直的方法：①勾股定理逆定理 （求三边) ②等腰(边)三角形的中线也是高，垂直于底边； ③异面直线所成的角为90°． 书147页例题2 求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角或其补角 平移方法：①直接平移法；②中位线平移法；③补形平移法 求相交角的方法：①观察得特殊△；②求三边定形状or余弦定理 [例]正方体中, 求证:AO⊥BD. 证线线垂直的方法： ①求证异面直线所成角为90°； ②求三边&勾股定理逆定理； ③等腰(等边△)的中线也为垂线，垂直于底边. 长方体中,AB=AA1=2, AD=1,求直线A1C1与D1B所成角的余弦值. 题型（四）：动点问题 $$