专题1.1 一元二次方程全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题1.1 一元二次方程全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 一元二次方程的定义 一元二次方程定义：只含有2 未知数，且未知数的最高次数为2 的2 方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①2 方程． ②方程中只含有2 未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2 ． ④二次项的系数2 【典例1】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2023秋•威县校级期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A．2 B．﹣3 C．3 D．±3 【典例3】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：． 其中2 为二次项，其系数为2 ；2 为一次项，其系数为2 ；2 为常数项． 【注】1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了， 也未必是一次方程，要对进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要 漏掉符号． 4．项及项的系数要区分开． 【典例1】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 【典例2】（2024春•崇川区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　． 【典例3】（2024秋•丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为 　 　． 知识点3 一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边2 的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时,只需将2 代入原方程再解关于待定系数的方程. 【典例1】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 【典例2】（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【典例3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【典例4】（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 知识点4 解一元二次方程 1.直接开平方法： 对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解． 【总结】直接开平方法：形如（）的方程可用直接开平方法解， 两边直接开平方得2 或2 ， ∴2 ，2 ．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件b ．若b ，则方程无实数根． 2.配方法： 通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用 方法求解． 【总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化”：根据等式的性质把二次项的系数化为； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解. 3.公式法： （1）公式法的定义：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为 的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. （2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系 一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示,即. 设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有 的实数根． ②方程有 的实数根． ③方程 实数根． （3）公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根． （先计算减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用） 4.因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 ，那么这两个因式至少有一个为 ，即：若，则或； 因式分解法的一般步骤： ①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于； ③令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根. 【典例1】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【典例2】（2024•呼和浩特一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【典例4】（2024春•靖江市月考）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x﹣6，则p的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【典例5】（2024•武威三模）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1 【典例6】（2023秋•临沭县期中）解方程： （1）x2﹣4x+1＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x+1＝0（配方法）． 【典例7】用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【典例8】（2024秋•惠阳区校级月考）用公式法解下列方程： （1）3x2﹣7x+3＝﹣1； （2）x（x﹣2）＝3﹣x． 【典例9】（2024秋•青县校级期末）用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 【典例10】（2024春•顺义区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根小于﹣2，求m的取值范围． 知识点5 一元二次方程的根与系数关系 如果的两根是，，则 ， ．（使用前提：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则 ， ． 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【典例1】（2024春•宁阳县期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝13，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4 【典例2】（2024春•贵池区期末）已知α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023 【典例3】（2023秋•汨罗市月考）已知方程x2+4x+1＝0的两根是α、β． （1）求|α﹣β|的值； （2）求的值． 知识点6 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题得一般步骤： ①审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。 ②设：就是指设元，也就就是设出未知数。 ③列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代 数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。 ④解：就就是解方程，求出未知数得值。 ⑤验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。 ⑥答：写出答案。 【典例1】（2024春•萨尔图区校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 【典例2】（2023秋•临沭县校级月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【典例3】（2023秋•锡山区校级月考）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【典例4】（2023秋•北辰区校级月考）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【典例5】（2024春•榆阳区校级月考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 一元二次方程的定义 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①整式方程． ②方程中只含有一个未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2． ④二次项的系数不为0 【典例1】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案． 【解答】解：是一元一次方程，不合题意； 是一元二次方程，符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 不符合一元二次方程的定义，不合题意；x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意； ax2+bx+c＝0不符合一元二次方程的定义，不合题意； ∴其中一元二次方程的个数为：2， 故选：A． 【典例2】（2023秋•威县校级期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A．2 B．﹣3 C．3 D．±3 【分析】根据一元二次方程的定义得出p2﹣7＝2且p﹣3≠0，再求出p的值即可． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p2﹣7＝2且p﹣3≠0， ∴p＝±3且p≠3， 即p＝﹣3． 故选：B． 【典例3】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可． 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：． 其中为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项． 【注】1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了， 也未必是一次方程，要对进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要 漏掉符号． 4．项及项的系数要区分开． 【典例1】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 【分析】首先利用平方差公式进行计算，再整理得到x2+2x﹣1＝0，然后再确定二次项、一次项系数和常数项． 【解答】解：方程（x+1）（1﹣x）＝2x整理为一般形式为x2+2x﹣1＝0， ∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1， 故答案为：1，2，﹣1． 【典例2】（2024春•崇川区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　． 【分析】一元二次方程的常数项为0时，需满足“常数项＝0，二次项系数≠0”． 【解答】解：由题意，a2﹣4＝0，且a+2≠0， 解得a＝2． 故答案为：2． 【典例3】（2024秋•丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为（3a+6）x，由方程没有一次项可得3a+6＝0，即可得答案． 【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 （2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项， ∴3a+6＝0， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 知识点3 一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时,只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程. 【典例1】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得， 2m+2+1﹣m2＝0， m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1， ∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0， ∴2m+2≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝3， 故选：C． 【典例2】（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算即可作答． 【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴3a2﹣a＝1， ∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022， 故选：D． 【典例3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 【典例4】（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2024m﹣1＝0，变形得出m2﹣2024m＝1，然后整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意可得：m2﹣2024m﹣1＝0， ∴m2﹣2024m＝1， ∴（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4） ＝（1﹣4）（1+4） ＝﹣3×5 ＝﹣15． 故选：A． 知识点4 解一元二次方程 1.直接开平方法： 对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解． 【总结】直接开平方法：形如（）的方程可用直接开平方法解，两边直接开平方得或，∴，．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件．若，则方程无实数根． 2.配方法： 通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解． 【总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化”：根据等式的性质把二次项的系数化为； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解. 3.公式法： （1）公式法的定义：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. （2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系 一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示,即. 设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． （3）公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根． （先计算减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用） 4.因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或； 因式分解法的一般步骤： ①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于； ③令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根. 【典例1】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0， 即x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得：x1＝0或x2＝﹣3， 故选：D． 【典例2】（2024•呼和浩特一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，对所给一元二次方程进行配方即可． 【解答】解：由2x2﹣5x﹣1＝0得， 2x2﹣5x＝1， x2， x2， ． 故选：A． 【典例3】（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【典例4】（2024春•靖江市月考）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x﹣6，则p的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【分析】根据题意得到x2+px﹣6＝（x﹣6）（x﹣a），即可求出p的值． 【解答】解：根据题意得：x2+px﹣6＝（x﹣6）（x﹣a）＝x2﹣（a+6）x+6a＝0， ∴p＝﹣a﹣6，6a＝﹣6，解得：a＝﹣1，则p＝﹣5． 故选C． 【典例5】（2024•武威三模）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1 【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a﹣2≠0，Δ＝22﹣4×（a﹣2）×（﹣1）＝4a﹣4＞0， 解得：a＞1且a≠2． 故选：C． 【典例6】（2023秋•临沭县期中）解方程： （1）x2﹣4x+1＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x+1＝0（配方法）． 【分析】（1）根据配方法，可得答案； （2）根据配方，可得答案． 【解答】解：（1）移项，得 x2﹣4x＝﹣1， 配方，得 x2﹣4x+4＝3， 即（x﹣2）2＝3， 开方，得 x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）移项，得2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数化为1，得 x2x， 配方，得 x2x， （x）2， 开方，得 x±， ∴x1＝1，x2； 【典例7】用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【分析】（1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【解答】解：（1）（x﹣1）2 （x﹣1）2， 则x﹣1＝±， 解得：x1，x2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． x﹣3＝±（5﹣2x）， 解得：x1，x2＝2． 【典例8】（2024秋•惠阳区校级月考）用公式法解下列方程： （1）3x2﹣7x+3＝﹣1； （2）x（x﹣2）＝3﹣x． 【分析】（1）用公式法计算即可． （2）用公式法计算即可． 【解答】（1）解：3x2﹣7x+3＝﹣1， 3x2﹣7x+4＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1＞0， ∴， ∴； （2）解：x（x﹣2）＝3﹣x， x2﹣2x＝3﹣x， x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴， ∴． 【典例9】（2024秋•青县校级期末）用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0， ∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； （2）2（t﹣1）2+t＝1， ∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0， ∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0， ∴t1＝1，t2． 【典例10】（2024春•顺义区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根小于﹣2，求m的取值范围． 【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣2）2，根据非负数的性质得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论． （2）利用求根公式得到x1＝m﹣1，x2＝1．根据题意得到﹣m+1＜﹣2，即可求得m＞3． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝m2﹣4（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵Δ＝（m﹣2）2≥0， ∴x， ∴x1＝﹣m+1，x2＝﹣1． ∵此方程有一个根小于﹣2， ∴﹣m+1＜﹣2， ∴m＞3． 故m的取值范围是m＞3． 知识点5 一元二次方程的根与系数关系 如果的两根是，，则，．（使用前提：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【典例1】（2024春•宁阳县期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝13，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1•x2的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+2， ∵（x1+1）（x2+1）＝13， ∴x1•x2+x1+x2+1＝13，即x1•x2+（x1+x2）﹣12＝0， ∴m2+2+2（m+1）﹣12＝0， ∴（m﹣2）（m+4）＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣4． 检验：当m＝2时，原方程可化为x2﹣6x+6＝0， ∵Δ＝36﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0， ∴方程有实数根，符合题意； 当m＝﹣4时，原方程可化为x2+6x+18＝0， ∵Δ＝62﹣4×1×18＝36﹣72＝﹣36＜0， ∴方程无实数根，不符合题意． 故选：A． 【典例2】（2024春•贵池区期末）已知α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根， 所以α2﹣α﹣2024＝0，α+β＝1， 所以α2﹣α＝2024， 所以α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝2024﹣1＝2023． 故选：D． 【典例3】（2023秋•汨罗市月考）已知方程x2+4x+1＝0的两根是α、β． （1）求|α﹣β|的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据方程x2+4x+1＝0的两根为α、β，根据韦达定理，α+β＝﹣4，αβ＝1，即可得答案； （2）把化简后即可求值． 【解答】解：（1）由韦达定理得α+β＝﹣4，αβ＝1， |α﹣β|； （2）∵Δ＝32﹣4＝5＞0， ∴α≠β， 由韦达定理得α+β＝﹣4，αβ＝1， 这说明α，β同为负数， ∴． 知识点6 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题得一般步骤： ①审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。 ②设：就是指设元，也就就是设出未知数。 ③列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代 数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。 ④解：就就是解方程，求出未知数得值。 ⑤验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。 ⑥答：写出答案。 【典例1】（2024春•萨尔图区校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 【分析】设该班级共有同学x名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程． 【解答】解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90， 故选：A． 【典例2】（2023秋•临沭县校级月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【典例3】（2023秋•锡山区校级月考）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 【典例4】（2023秋•北辰区校级月考）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 即x（x﹣1）＝28． 故选：A． 【典例5】（2024春•榆阳区校级月考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？ 【分析】设每件保暖衣降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【解答】解：设每件保暖衣降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 又∵要尽量减少库存， ∴x＝20． 答：每件保暖衣应降价20元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$