专题4.1 与三角形有关线段的计算三大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

专题4.1 与三角形有关线段的计算三大类型 【人教版】 【类型1 三角形的三边关系计算】 1 【类型2 三角形的周长计算】 3 【类型3 三角形的面积计算】 5 【类型1 三角形的三边关系计算】 1．（2024•汉川市模拟）已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 2．（2024春•桥西区期末）使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．只有a B．只有b C．a，b都可以 D．a，b都不可以 3．（2024•桥西区校级三模）如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024•邢台三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 5．（2024春•沙坪坝区期中）若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．13 B．18 C．21 D．26 6．（2024•邱县二模）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024春•惠山区期中）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两根木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝之间距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2023秋•景县校级期末）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　 　． 9．（2023•海淀区校级开学）若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1986＜m＜2022，则这样的三角形有 　 　个． 10．（2023秋•朝阳区校级期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　 　（填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　． 11．（2023秋•梁子湖区期中）数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD＞　 　，PD+CD＞　 　．将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞　 　，即AB+AC＞　 　． （1）补全上面步骤； （2）仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交AB，AC于M，N，证明：AB+AC＞PB+PC． 【类型2 三角形的周长计算】 1．（2023秋•钟祥市校级期中）在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（　　） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 2．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 3．（2023春•高新区校级期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（　　）个． A．7 B．5 C．6 D．4 4．（2024春•蒸湘区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 5．（2024春•靖江市校级月考）在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，AC＝8．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则AE＝　 　． 6．如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝5，AD，BE分别为BC，AC边上的中线，若△ABD与△ACD的周长相差4，则△ABE与△BCE周长的差为　 　． 7．（2024春•无锡期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，ABAC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为 　 　． 8．（2023秋•民权县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长． 9．（2023秋•富县月考）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，若AC＝7cm，BC＝24cm，AB＝25cm，∠ACB＝90°． （1）求CD的长； （2）求△BCE与△ACE的周长差． 10．（2023秋•无为市月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【类型3 三角形的面积计算】 1．（2024春•未央区校级月考）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E，F分别为线段AD，BC的中点，连接BE，CE，EF，已知S△ABC＝32，S△DEF＝1，则△BDE的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024春•锡山区校级月考）如图，AD和BE是△ABC的中线，AD与BE交于点O，下列结论正确的有（　　）个． （1）S△ABE＝S△ABD （2）连接CO并延长交AB于点F，则AF＝BF （3）S△ABO＝S四边形DOEC A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 3．（2024春•卢龙县期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024春•淮阳区期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 5．（2024春•项城市期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，F分别是AD，CE的中点，且△BEF的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2024春•正定县期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为CF，BD的中点．若△AEF的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．8 B．16 C．20 D．24 7．（2024春•奉节县期末）如图，在△ABC中，点G是边BC上任意一点，点D，E，F分别是AG，BD，CE的中点．若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 8．（2024春•江都区期末）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝BD，BE＝2CE，AE、CD相交于点F．若四边形BEFD的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 9．（2023秋•怀宁县期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（　　） A．9 B．12 C．18 D．20 10．（2024春•重庆期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BD：CD＝1：2，连接AD，点E是线段AD的中点，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G，过点E作EH∥BF交AB于点H，连接HG．则下列结论：①S△ACE＝S△DCE；②S△BCF；③S△EFG＝S△GBH；④S△EFG+S△DBG＝S四边形CFGD；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 与三角形有关线段的计算三大类型 【人教版】 【类型1 三角形的三边关系计算】 1 【类型2 三角形的周长计算】 7 【类型3 三角形的面积计算】 14 【类型1 三角形的三边关系计算】 1．（2024•汉川市模拟）已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长x，得到3＜x＜7，由△ABC的第三边长是偶数，得到x＝4或6，于是得到此三角形的周长． 【解答】解：设第三边长x， ∴5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∵△ABC的第三边长是偶数， ∴x＝4或6， ∴此三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 故选：D． 2．（2024春•桥西区期末）使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．只有a B．只有b C．a，b都可以 D．a，b都不可以 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断． 【解答】解：∵a＜b， ∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架． 故选：B． 3．（2024•桥西区校级三模）如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答案． 【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x， 由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：x＞3， 由不等式③得：x＜5， ∴不等式组的解集是3＜x＜5， 故选：C． 4．（2024•邢台三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【解答】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6． 若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以n＝9． 故选：C． 5．（2024春•沙坪坝区期中）若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．13 B．18 C．21 D．26 【分析】直接解一元一次方程，进而表示出y的值，再利用三角形三边关系得出k的值，即可得出答案． 【解答】解：3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7， 则3y﹣3﹣2y+2k＝7， 解得：y＝10﹣2k， ∵关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数， ∴10﹣2k≤0， 解得：k≥5， ∵△ABC的三边长分别为5，3，k， ∴2＜k＜8， 故符合题意的k的值为：5，6，7， 则符合条件的所有整数k的和为：5+6+7＝18． 故选：B． 6．（2024•邱县二模）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可． 【解答】解：设从10.5cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm， 则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14， ∴整数x的值为5cm、6 cm、7 cm、8cm、9cm、10cm， ∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 7．（2024春•惠山区期中）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两根木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝之间距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】要使两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，分为四种情况：①选2+3、4、6作为三角形，②选3+4、6、2作为三角形，③选4+6、2、3作为三角形，④选2+6、3、4作为三角形，分别在四种情况下应用三角形的三边关系进行分析即可． 【解答】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6． ①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6， ∵6﹣5＜4＜6+5， ∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6； ②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6， ∵6﹣2＜7＜6+2， ∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7； ③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3， ∵2+3＜10， ∴不能构成三角形，此种情况不成立； ④选2+6、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4， ∵3+4＜8， ∴不能构成三角形，此种情况不成立． 综上所述，任两螺丝的距离值最大为7． 故选：C． 8．（2023秋•景县校级期末）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　 　． 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|， ＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）， ＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c， ＝0， 故答案为：0． 9．（2023•海淀区校级开学）若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1986＜m＜2022，则这样的三角形有 　 　个． 【分析】首先根据连续自然数的关系可设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，根据题意可得1986＜x﹣1+x+x+1＜2022，再解不等式即可． 【解答】解：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得： 1986＜x﹣1+x+x+1＜2022， 解得：662＜x＜674， ∵x是自然数， ∴x是663，664，665，666，667，668，669，670，671，672，673， 即这样的三角形有11个， 故答案为：11． 10．（2023秋•朝阳区校级期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　 　（填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，通过计算判断三角形三边a，b，c是否满足a﹣b＞b﹣c，然后根据结果进行判断； （2）因为不能确定最长和最短边，分三种情况讨论：①2x+2＞16＞2x﹣6；②16＞2x+2＞2x﹣6；③2x﹣6＞16；然后根据计算结果可得答案． 【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4， ∴18﹣13＞13﹣9， ∴这个三角形为“不均衡三角形”； ∵9﹣8＝1，8﹣6＝2， ∴9﹣8＜8﹣6， ∴这个三角形不是“不均衡三角形”， 故答案为：①； （2）共分3种情况讨论： ①2x+2＞16＞2x﹣6， 解得：7＜x＜11， 2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6）， 解得：x＜9， ∴9＜x＜11， ∵x为整数， ∴x＝10， 当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14， ∵16+14＞22， ∴能构成三角形； ②16＞2x+2＞2x﹣6， 16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2z﹣6）， 解得：x＜3（不合题意舍去）； ③2x﹣6＞16时， 解得：x＞11， 2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16， 解得：x＜15， ∴11＜x＜15， ∵x为整数， ∴x＝12或13或14， 当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18， ∵18+16＞26， ∴能构成三角形； 当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20， ∵20+16＞28， ∴能构成三角形； 当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22， ∵22+16＞30， ∴能构成三角形， 综上可知：x的整数值为10或12或13或14， 故答案为：10或12或13或14． 11．（2023秋•梁子湖区期中）数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD＞　 　，PD+CD＞　 　．将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞　 　，即AB+AC＞　 　． （1）补全上面步骤； （2）仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交AB，AC于M，N，证明：AB+AC＞PB+PC． 【分析】（1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）利用三角形三边关系进行证明即可． 【解答】解：（1）由三角形的两边之和大于第三边，得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC， 将不等式两边相加得：AB+AD+PD+CD＞BD+PC， 即AB+AC＞BP+PC； 故答案为：BD；PC；BD+PC；BP+PC． （2）在△AMN中，AM+AN＞MN， 在△MPB中MP+MB＞BP， 在△NPC中，NP+NC＞PC， 将三个不等式相加得：AM+AN+MB+MP+PN+NC＞MP+NP+PB+PC， 即AB+AC＞BP+PC． 【类型2 三角形的周长计算】 1．（2023秋•钟祥市校级期中）在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（　　） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【分析】分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可 【解答】解：∵AD为BC边的中线， ∴BD＝CD． ①当△ABD的周长大时， △ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC． ∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7， ∴AB﹣7＝5，解得AB＝12． ②当△ADC的周长大时， △ADC与△ABD的周长差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB． ∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7， ∴7﹣AB＝5，解得AB＝2． 故AB＝2或12． 故选：D． 2．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵△ABD的周长为45， ∴AB+AD+BD＝45， ∵AB＝20， ∴20+CD+BD＝45， ∴CD+BD＝25， ∵BC＝18， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43， 故选：B． 3．（2023春•高新区校级期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（　　）个． A．7 B．5 C．6 D．4 【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3＜BC＜12，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC整数值． 【解答】解：∵AM是边BC上的中线， ∴BM＝CM， ∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3， ∴AB﹣AC＞3， ∴3＜BC＜24﹣BC， 解得3＜BC＜12， 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大3， ∴为整数， ∴BC边长为奇数， ∴BC＝5，7，9，11， 即BC的长可能值有4个， 故选：D． 4．（2024春•蒸湘区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 【分析】由题意易得AC﹣AB＝3，AC+AB＝13，然后问题可求解． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵C△ADC＝AD+CD+AC，C△ABD＝AD+BD+AB， ∴C△ADC﹣C△ABD＝AD+CD+AC﹣AD﹣BD﹣AB＝AC﹣AB＝3，① ∴AC+AB＝13，② ∴①+②得：2AC＝16， ∴AC＝8． 故答案为：8． 5．（2024春•靖江市校级月考）在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，AC＝8．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则AE＝　 　． 【分析】由图可得到△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB﹣AC＝4，即可求解；分两种情况：四边形ACDE的周长﹣△BDE的周长＝2和△BDE的周长﹣四边形ACDE的周长＝2解答即可； 【解答】解：如图， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4， 如图，设AE＝x，则BE＝12﹣x， 当四边形ACDE的周长﹣△BDE的周长＝2时， 即AE+ED+CD+AC﹣（BE+BD+DE）＝2， 整理得，AE+AC﹣BE＝2， ∴x+8﹣（12﹣x）＝2， 解得x＝3； 当△BDE的周长﹣四边形ACDE的周长＝2时， 即BE+BD+DE﹣（AE+ED+CD+AC）＝2， 整理得，BE﹣AE﹣AC＝2， ∴12﹣x﹣x﹣8＝2， 解得x＝1； ∴AE＝1或3， 故答案为：4；1或3． 6．如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝5，AD，BE分别为BC，AC边上的中线，若△ABD与△ACD的周长相差4，则△ABE与△BCE周长的差为　 　． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，AE＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD，BE分别为BC，AC边上的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE， ∵△ABD与△ACD的周长相差4， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝4， ∴AB﹣AC＝4， ∵AC＝7， ∴AB＝11， ∴△ABE与△BCE周长的差为：（AB+BE+AE）﹣（BC+BE+CE）＝AB﹣BC＝11﹣5＝6， 故答案为：6． 7．（2024春•无锡期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，ABAC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为 　 　． 【分析】先求出AB、BC的长，即可求出CD、CE的长，再根据三角形面积公式计算即可求出DG的长． 【解答】解：∵ABAC，AC＝10， ∴AB＝15， ∵△ABC周长为41， ∴BC＝41﹣AB﹣AC＝41﹣15﹣10＝16， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD＝8， ∵E是AC中点， ∴CE＝AE＝5， ∵EF⊥BC，DG⊥AC， ∴， ∵EF＝4， ∴8×4＝5DG， 解得DG＝6.4， 故答案为：6.4． 8．（2023秋•民权县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长． 【分析】根据三角形的中线的定义得到CD＝BD，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设BC＝2x，则AC＝4x， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD＝x， 由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45， 解得：x＝11，AB＝34， ∴AC＝4x＝44， ∵AB+BC＞AC， ∴AC的长为44，AB的长为34， 答：AC的长为44，AB的长为34． 9．（2023秋•富县月考）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，若AC＝7cm，BC＝24cm，AB＝25cm，∠ACB＝90°． （1）求CD的长； （2）求△BCE与△ACE的周长差． 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算； （2）根据三角形的中线的性质得到AE＝BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是边AB上的高， ∴AC•BCAB•CD， ∴CD（cm）， 答：CD的长为cm； （2）∵CE为AB边上的中线， ∴AE＝BE， ∴△BCE的周长与△ACE的周长的差为：（BC+CE+BE）﹣（AC+CE+AE）＝BC﹣AC＝24﹣7＝17（cm）， 答：△BCE与△ACE的周长的差是17cm． 10．（2023秋•无为市月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【分析】（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，由中线的定义可得BD＝CD，即可解答； （2）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm． 【解答】解：（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长差：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4（cm）； （2）由图可知： △BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， ∴BE＝AE+AC， 又∵AB＝10cm，AC＝6cm，BE＝AB﹣AE， ∴AE+AC＝AB﹣AE， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． 【类型3 三角形的面积计算】 1．（2024春•未央区校级月考）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E，F分别为线段AD，BC的中点，连接BE，CE，EF，已知S△ABC＝32，S△DEF＝1，则△BDE的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据中点可得到，，然后用面积作差计算即可． 【解答】解：∵E为线段AD的中点， ∴，， ∴， ∵F为线段BC的中点， ∴， ∴S△BDE＝S△BEF﹣S△DEF＝8﹣1＝7． 故选：A． 2．（2024春•锡山区校级月考）如图，AD和BE是△ABC的中线，AD与BE交于点O，下列结论正确的有（　　）个． （1）S△ABE＝S△ABD （2）连接CO并延长交AB于点F，则AF＝BF （3）S△ABO＝S四边形DOEC A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 【分析】根据三角形中线的性质，逐一进行分析即可． 【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线， ∴，故①正确； 连接CO并延长交AB于点F，如图： ∵三角形的三条中线交于一点， ∴CF为△ABC的中线， ∴AF＝BF，故②正确； ∵AD是△ABC的中线， ∴， ∴S△ACD﹣S△BOD＝S△ABD﹣S△BOD， ∴S△ABO＝S四边形DOEC；故③正确； 故选：A． 3．（2024春•卢龙县期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD＝S△ACDS△ABC，S△BDES△ABD，S△ADFS△ADC，再得到S△BDES△ABC，S△DEFS△ABC，所以S△ABCS阴影部分． 【解答】解：∵D为BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵E，F分别是边AD，AC上的中点， ∴S△BDES△ABD，S△ADFS△ADC，S△DEFS△ADF， ∴S△BDES△ABC，S△DEFS△ADCS△ABC， S△BDE+S△DEFS△ADCS△ABCS△ABC， ∴S△ABCS阴影部分3＝8． 故选：D． 4．（2024春•淮阳区期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用SΔ AEC﹣SΔ BCD＝4即可得到答案． 【解答】解：∵EC＝2BE， ∴， ∵点D是AC的中点， ∴， ∴SΔ AEC﹣SΔ BCD＝4， 即S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF﹣S四边形CEFD）＝4， ∴S△ADF﹣S△BEF＝4． 故选：B． 5．（2024春•项城市期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，F分别是AD，CE的中点，且△BEF的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△ABES△ABD，S△ACES△ADC， ∴S△ABE+S△ACES△ABC， ∴S△BCES△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S△BEFS△BCES△ABC， ∵△BEF的面积为3， ∴S△ABC＝4×3＝12． 故选：D． 6．（2024春•正定县期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为CF，BD的中点．若△AEF的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．8 B．16 C．20 D．24 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形计算即可． 【解答】解：∵点E为CF的中点， ∴S△ACF＝2S△AEF＝2×4＝8， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD，， ∵点F分别为BD的中点， ∴S△ABD＝2S△ADF＝2×4＝8， ∴S△ABC＝2×8＝16， 故选：B． 7．（2024春•奉节县期末）如图，在△ABC中，点G是边BC上任意一点，点D，E，F分别是AG，BD，CE的中点．若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：连接CD， ∵点F是CE的中点， ∴S△CDE＝2S△DEF＝8， ∵点E是BD的中点， ∴S△BCD＝2S△CDE＝16， ∵点D是AG的中点， ∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC， ∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴S△ABC＝2S△BCD＝32． 故选：A． 8．（2024春•江都区期末）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝BD，BE＝2CE，AE、CD相交于点F．若四边形BEFD的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【分析】连接BF，设S△BEF＝S，则S△BDF＝10﹣S，根据“AD＝BD，BE＝2CE”分别将△ADF、△ACF和△CEF的面积用含S的代数式表示出来，再根据S△ACES△ABE＝S△ACF+S△CEF列方程求出S，从而求出△ABC的面积． 【解答】解：连接BF． 设S△BEF＝S，则S△BDF＝10﹣S， ∵AD＝BD， ∴S△ADF＝S△BDF＝10﹣S， ∵BE＝2CE， ∴S△CEFS△BEFS， ∵S△ACD＝S△BCD， ∴S△ACF＝S△ACD﹣S△ADF＝S△BCD﹣S△ADFS， ∴S△ACES△ABE（S四边形BEFD+S△ADF）（10+10﹣S）＝10S， ∵S△ACE＝S△ACF+S△CEFSS＝2S， ∴10S＝2S， ∴S＝4， ∴S△ABC＝S四边形BEFD+S△ADF+S△ACE＝10+10﹣S+2S＝20+S＝24． 故选：D． 9．（2023秋•怀宁县期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（　　） A．9 B．12 C．18 D．20 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【解答】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线， ∴S△ABD＝S△BCDS△ABC32＝16， ∵AE是△ABD的边BD上的中线， ∴， 又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线， ∴，， 则S阴影＝S△BEF+S△CEF＝4+8＝12， 故选：B． 10．（2024春•重庆期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BD：CD＝1：2，连接AD，点E是线段AD的中点，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G，过点E作EH∥BF交AB于点H，连接HG．则下列结论：①S△ACE＝S△DCE；②S△BCF；③S△EFG＝S△GBH；④S△EFG+S△DBG＝S四边形CFGD；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形中线的性质设S△ABD＝2S，则S△ACD＝4S，S△ABC＝6S，连接BE，DF，根据三角形中线的性质可得，S△ACE＝S△DCE＝2S，S△ABE＝S△DBE＝S，S△BCE＝3S，S△BCF＝S△BEFS，S△DCF＝S△DEF＝S，则S△BCF：S△ABCS：（6S），即S△BCFS△ABC；设点F到DE的距离为m，点B到DE的距离为n，可得m＝n，进而可得S△DFG＝S△DBG，所以S△EFG＝S△EBGS△BEFS，再由平行可知，S△GBE＝S△GBH＝S△EFG；分别表达S△EFG+S△DBG及S四边形CFGD的值，得出S△EFG+S△DBG≠S四边形CFGD． 【解答】解：∵BD：CD＝1：2， ∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD＝1：2， 设S△ABD＝2S，则S△ACD＝4S，S△ABC＝6S， 如图，连接BE，DF， ∵点E是线段AD的中点， ∴S△ACE＝S△DCES△ACD＝2S， S△ABE＝S△DBES△ABD＝S，故①正确，符合题意； ∴S△BCE＝S△DCE+S△DBE＝3S， ∵点F是线段CE的中点， ∴S△BCF＝S△BEFS△BCES， S△DCF＝S△DEFS△DCE＝S， ∴S△BCF：S△ABCS：（6S），即S△BCFS△ABC，②正确，符合题意； ∴S△DEF＝S△DBE， 设点F到DE的距离为m，点B到DE的距离为n， ∴DE•mDE•n，则m＝n， ∵S△DFGDG•m，S△DBGDG•n，∴S△DFG＝S△DBG， ∴S△DEF﹣S△DFG＝S△DBE﹣S△DBG，即S△EFG＝S△EBGS△BEFS， ∵EH∥BF， ∴S△GBE＝S△GBH＝S△EFG；故③正确，符合题意； ∵S△EFG+S△DBG＝S△GBE+S△DBG＝S， S四边形CFGD＝S△DCE﹣S△EFGS， ∴S△EFG+S△DBG≠S四边形CFGD；故④错误，不符合题意； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$