专题2.6 有理数的减法【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题2.6 有理数的减法【十大题型】 【苏科版2024】 【题型1 有理数的减法概念理解】 1 【题型2 有理数的减法运算】 2 【题型3 有理数的加减混合运算】 2 【题型4 有理数的加减中的简便运算】 3 【题型5 根据有理数的加减法法则判断不等关系】 4 【题型6 有理数的加减混合运算的实际应用】 4 【题型7 有理数加减法中的规律问题】 5 【题型8 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】 6 【题型9 有理数加减运算中的新定义问题】 7 【题型10 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题】 8 知识点1：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【题型1 有理数的减法概念理解】 【例1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-1】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 【变式1-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 【变式1-3】（23-24七年级·全国·假期作业）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号） 【题型2 有理数的减法运算】 【例2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24·山西吕梁·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若等式成立，则中应填入的运算符号是（    ） A．+ B． C．× D．÷ 【变式2-3】（23-24七年级·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 知识点2：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【题型3 有理数的加减混合运算】 【例3】（23-24·广西柳州·三模）大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【变式3-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）数轴上某一个点表示的数为a，若将这个点先向右移动4个单位，再向左移动5个单位，此时这个点表示的数为，则a的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【变式3-2】（23-24七年级·河北沧州·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【题型4 有理数的加减中的简便运算】 【例4】（23-24七年级·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·假期作业）在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【变式4-2】（23-24七年级·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【题型5 根据有理数的加减法法则判断不等关系】 【例5】（23-24七年级·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24·福建泉州·二模）如图，数轴上两点M、所对应的实数分别为、，则的结果可能是（    ）． A．1 B． C．0 D．－1 【变式5-2】（23-24·山东潍坊·三模）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值不可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式5-3】（23-24七年级·河北廊坊·期中）如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 有理数的加减混合运算的实际应用】 【例6】（23-24七年级·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【变式6-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）一辆公交车上原有14人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：此时公交车上有 人． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【变式6-3】（23-24七年级·全国·竞赛）有一架天平，刻度模糊不清，其他性能均正常．有1克，2克，5克，10克砝码各一个，那么可以称出不同整克数的物体共有多少种？请分类说明理由． 【题型7 有理数加减法中的规律问题】 【例7】（23-24七年级·福建漳州·阶段练习）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 【变式7-1】（23-24七年级·江苏淮安·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)： ① ； ② ． 【拓广应用】 （2）计算： 【变式7-2】（23-24七年级·江苏常州·期中）小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 【变式7-3】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：；第2个数：； 第3个数：；第4个数：___________； 第5个数：；第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 【题型8 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】 【例8】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（    ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 【变式8-1】（23-24七年级·全国·单元测试）列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【变式8-2】（23-24七年级·安徽合肥·期末）若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【变式8-3】（23-24七年级·安徽池州·期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 【题型9 有理数加减运算中的新定义问题】 【例9】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）已知：表示不超过x的最大整数．例：，．现定义：，例：，则 ． 【变式9-1】（23-24七年级·江西南昌·阶段练习）对数学有兴趣的狗蛋儿，心血来潮之际私下规定了一种新的数学运算符号“”，并定义“么么哒”运算：，那么根据狗蛋儿的规则，求出1314520= ． 【变式9-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【变式9-3】（23-24七年级·重庆渝中·期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”． 根据题中所给材料，解答以下问题： （1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______； （2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值． 【题型10 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题】 【例10】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）如图，以0.5厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)点A到点C之间有_____个单位长度；若点A表示的数是，求点C表示的数； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，直接写出此时数轴的原点O对应直尺上的刻度；并求此时p的值； (3)若点C，O之间的距离为4个单位长度，求p的值． 【变式10-1】（23-24·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【变式10-2】（23-24七年级·河北沧州·阶段练习）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，已知，，如图所示．设，该数轴的原点为．    (1)若点所表示的数是，则______； (2)若点，到原点的距离相等，则点所表示的数是______，此时的值为______； (3)若原点在点的右侧，且，求的值． 【变式10-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数的减法【十大题型】 【苏科版2024】 【题型1 有理数的减法概念理解】 2 【题型2 有理数的减法运算】 3 【题型3 有理数的加减混合运算】 5 【题型4 有理数的加减中的简便运算】 6 【题型5 根据有理数的加减法法则判断不等关系】 10 【题型6 有理数的加减混合运算的实际应用】 12 【题型7 有理数加减法中的规律问题】 14 【题型8 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】 17 【题型9 有理数加减运算中的新定义问题】 19 【题型10 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题】 22 知识点1：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【题型1 有理数的减法概念理解】 【例1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确． 【详解】解：当时，，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，，此时，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小． 【变式1-1】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则可判断A项，根据有理数的减法法则可判断B、C两项，根据相反数的性质举出反例可判断D项，进而可得答案． 【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意； B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意； C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意； D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法与减法以及相反数的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握有理数的基本知识是解题关键． 【变式1-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法．根据绝对值的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴一定不是负数；可能是负数． 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级·全国·假期作业）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可． 【详解】解：①，所以，则，①正确； ②若，所以，则，②正确； ③若，所以，则，③错误； ④若，且，所以，则，，④正确． 故答案为：①②④． 【题型2 有理数的减法运算】 【例2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 【变式2-1】（23-24·山西吕梁·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解． 考查了有理数的减法，方法指引：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2-2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若等式成立，则中应填入的运算符号是（    ） A．+ B． C．× D．÷ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的减法法则可以解答本题． 【详解】， 若等式□成立，则□中应填入的运算符号是“”， 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：8． 知识点2：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【题型3 有理数的加减混合运算】 【例3】（23-24·广西柳州·三模）大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果． 【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是； 故选：B． 【变式3-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）数轴上某一个点表示的数为a，若将这个点先向右移动4个单位，再向左移动5个单位，此时这个点表示的数为，则a的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴上点的坐标左减右加的原则进行计算即可． 【详解】解：依题意，，故点表示的数是． 故选：A． 【点睛】此题考查了数轴，以及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的坐标左减右加的原则是解本题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级·河北沧州·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加减的运算法则以及运算律化简即可求得答案． 【详解】， ， ， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数，牢记有理数加减的运算法则以及运算律是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】规定向右为正，向左为负，构造数的和为3的方式就是不同运动方案 【详解】规定向右为正，向左为负， ∵；； ； ； ； ∴质点的不同运动方案共有5种， 故选D． 【点睛】本题考查了相反意义的量，有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型4 有理数的加减中的简便运算】 【例4】（23-24七年级·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·假期作业）在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 【变式4-2】（23-24七年级·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【题型5 根据有理数的加减法法则判断不等关系】 【例5】（23-24七年级·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴与绝对值，掌握数轴上点的意义以及绝对值的含义是解题的关键． 先根据数轴估计出a、b的大致范围，然后根据有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知数表示的点b在左侧，即，故A选项正确，不符合题意； B、由数轴可知，故B选项正确，不符合题意； C、由数轴可知，则，故C选项正确，不符合题意； D、由数轴可知，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（23-24·福建泉州·二模）如图，数轴上两点M、所对应的实数分别为、，则的结果可能是（    ）． A．1 B． C．0 D．－1 【答案】D 【分析】根据数轴得到点M、所对应的实数的范围，再结合实数的加法解题． 【详解】解：依题意得， 则的结果可能是－1， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴与实数的对应关系，涉及一元一次不等式，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-2】（23-24·山东潍坊·三模）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值不可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定a的取值范围，再由，求得的取值范围，再根据，求出b的取值范围，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查数轴的定义、绝对值的意义，根据数轴上点的位置确定a的取值范围是解题的关键． 【变式5-3】（23-24七年级·河北廊坊·期中）如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据将数轴上与8两点间的线段六等分分别求解，，，，，再逐一分析判断即可． 【详解】解：到8之间距离为． 所以，六等分，每段长度为2， 所以，，，，表示的数分别是，0，2，4，6． A．，故正确； B． ，故正确； C． ，故原说法错误； D．，故正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离．六等分的含义，绝对值的含义，有理数的加减运算，理解题意选择合适的方法解题是关键． 【题型6 有理数的加减混合运算的实际应用】 【例6】（23-24七年级·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰， 故选项A不正确， ∵， ∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确， ∵， ∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确， ∵， ∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确， 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）一辆公交车上原有14人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：此时公交车上有 人． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是有理数的计算法则的应用．根据有理数的计算法则即可求出答案． 【详解】解：， 故此时公交车上有11人， 故答案为：11． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可． 【详解】A选项：故选项A错误，不符合题意； B选项：故选项B错误，不符合题意； C选项：故选项C正确，符合题意； D选项：故选项D错误，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级·全国·竞赛）有一架天平，刻度模糊不清，其他性能均正常．有1克，2克，5克，10克砝码各一个，那么可以称出不同整克数的物体共有多少种？请分类说明理由． 【答案】18种，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，利用分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．利用列举法将所有可能的情况都列举出来，主要分一端放砝码，另一端不放砝码时求得可称重物的克数有多少种；另种情况两端都放砝码，求得可称重物的克数有多少种．然后去掉相同的克数，由此问题得解． 【详解】解：（1）一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称物体的重量为1克，2克，5克，10克； （2）一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称物体的重量为3克，6克，11克，7克，12克，15克； （3）一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称物体的重量为8克，16克，17克，13克； （4）一端放4个砝码，另一端不放砝码时，可以称物体的重量为18克； （5）一端放一个砝码，另一端也放一个砝码时，可以称物体的重量有1克，4克，9克，3克，8克，5克； （6）一端放一个砝码，另一端放两个砝码时，可以称物体的重量为6克，11克，14克，4克，9克，13克，2克，6克，7克，7克，4克，3克； （7）一端放一个砝码，另一端放3个砝码时，可以称物体的重量为16克，14克，8克，2克； （8）一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称物体的重量为12克，6克，4克． 去掉重复的重量，共有18种． 【题型7 有理数加减法中的规律问题】 【例7】（23-24七年级·福建漳州·阶段练习）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】2 【分析】轴上点的运动位置问题，可以转化为“有理数”的加法问题来处理．即． 【详解】解：根据题意，可以得到方程． 得，解得． 故答案为：2． 【点睛】此题考查点在数轴上运动的规律，转化为“有理数的加减”，这是初一“数形”结合问题常规方法． 【变式7-1】（23-24七年级·江苏淮安·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)： ① ； ② ． 【拓广应用】 （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，化简绝对值； （1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【详解】解：（1）①； ②； （2） ． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏常州·期中）小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 【答案】D 【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用正负数的意义解决实际问题，按照题意规定正负，运用有理数加减运算求解是解决问题的关键． 【变式7-3】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：；第2个数：； 第3个数：；第4个数：___________； 第5个数：；第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)第7个数是，第8个数是，第10个数是； (3)． 【分析】（1）根据所给的式子依次计算即可得解； （2）根据所给的式子，发现括号中的运算第奇数个数是加法，第偶数个数是减法，由此规律即可求解； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较即可得解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解∶第7个数是， 第8个数是， 第10个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第10个数是； （3）解：∵，， ，， ∴． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及比较两个负数的大小，通过所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． 【题型8 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】 【例8】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（    ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值的应用能力、有理数到加减，关键是能熟练运用相反数、绝对值和有理数的加减等知识进行求解． 【详解】解：∵a的相反数是它本身，b是最大的负整数， ∴，， ∴ ， ， ∴ ． 故选：C． 【变式8-1】（23-24七年级·全国·单元测试）列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 【变式8-2】（23-24七年级·安徽合肥·期末）若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】C 【分析】由，，可确定两个a的值与两个b的值，则可计算出a+b的所有可能值，再由的绝对值与它的相反数相等，可判断出a+b的符号是非正数，从而最后可得到a+b的值． 【详解】∵， ∴a=±4，b=±2 ∴a+b=6，2，−6，−2 ∵的绝对值与它的相反数相等，即 ∴a+b≤0 ∴或−2 故选：C 【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意：a与b的值均有两个，不要忽略负数；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数必定是非正数． 【变式8-3】（23-24七年级·安徽池州·期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】根据有理数的概念求出，根据绝对值的性质求出的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到，将的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：是最大的负整数的相反数， , , 或, 或 , , 解得, 或 , 或, 的值为5或1 故答案为：5或1 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了绝对值的性质和有理数的概念． 【题型9 有理数加减运算中的新定义问题】 【例9】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）已知：表示不超过x的最大整数．例：，．现定义：，例：，则 ． 【答案】 【分析】根据定义列出计算式解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的大小比较，解题的关键是根据题意列出算式解答． 【变式9-1】（23-24七年级·江西南昌·阶段练习）对数学有兴趣的狗蛋儿，心血来潮之际私下规定了一种新的数学运算符号“”，并定义“么么哒”运算：，那么根据狗蛋儿的规则，求出1314520= ． 【答案】1040 【分析】根据定义新运算公式计算即可． 【详解】解：由题意可得1314520= 故答案为：1040． 【点睛】此题考查的是定义新运算，掌握有理数的加法法则和减法法则是解决此题的关键． 【变式9-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，例子见解析 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，新定义： （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）先计算出，再计算即可得到答案； （3）加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可； （4）根据（1）的结论可得m与同号，且，据此可得答案． 【详解】（1）解：归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． （4）解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级·重庆渝中·期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”． 根据题中所给材料，解答以下问题： （1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______； （2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值． 【答案】（1）1020，9990；（2）7． 【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案； （2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m，再根据定义求出即可得出最大值． 【详解】解：（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”， 可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990； （2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m”可能是1062；1602；1242；1422；2664． 当=1602时，； 当=1062时，； 当=1242时，； 当=1422时，； 当=2664时，； 故的最大值为7． 【点睛】本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系． 【题型10 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题】 【例10】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）如图，以0.5厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)点A到点C之间有_____个单位长度；若点A表示的数是，求点C表示的数； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，直接写出此时数轴的原点O对应直尺上的刻度；并求此时p的值； (3)若点C，O之间的距离为4个单位长度，求p的值． 【答案】(1)16，15； (2)数轴的原点O对应直尺上的刻度5， (3)或 【分析】本题综合考查了数轴、相反数： （1）根据直尺上A、C对应的刻度可知，由于数轴以0.5厘米为1个单位长度，则，即点A到点C之间有16个单位长度；若点A表示的数是，则点C表示的数是； （2）根据题意A，B所表示的数互为相反数，则A、B的中点即为数轴的原点，对应直尺上的刻度5；此时点A，B，C所表示的数分别是，6，10，因此； （3）考虑两种情况进行计算：①原点O在点C左边，②原点O在点C右边． 【详解】（1）根据直尺上A、C对应的刻度可知， ∵数轴以0.5厘米为1个单位长度，， ∴点A到点C之间有16个单位长度； 故答案为：16． ∵点A表示的数是， ∴点C表示的数是； （2）∵A，B所表示的数互为相反数， ∴A、B的中点即为数轴的原点，对应直尺上的刻度5； 此时点A，B，C所表示的数分别是，6，10，因此； （3）考虑两种情况进行计算：①原点O在点C左边，则点B与点O重合，此时点A，B，C所表示的数分别是、0、4，因此； ②原点O在点C右边，此时点A，B，C所表示的数分别是、、，因此． 【变式10-1】（23-24·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】（1）-2，1，-1，-4；（2）-88 【分析】（1）根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为1， 此时，， 若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 【变式10-2】（23-24七年级·河北沧州·阶段练习）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，已知，，如图所示．设，该数轴的原点为．    (1)若点所表示的数是，则______； (2)若点，到原点的距离相等，则点所表示的数是______，此时的值为______； (3)若原点在点的右侧，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离列式即可得到b和c，代入即可求解； （2）根据相反数的定义及确定点A表示的数是，点B表示的数是，由，得点C所表示的数，即可求出p； （3）根据数轴上两点间的距离分别得到点C，B，A表示的数，即可求出p的值． 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是，， ∴点B表示的数是， ∵， ∴点C所表示的数是， ∴ 故答案为：1； （2）∵点A，B所表示的数互为相反数，， ∴， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， ∵， ∴点C所表示的数是， 此时， 故答案为：，； （3）∵原点在点的右侧，， ∴点A所表示的数是， ∵， ∴点B所表示的数是， ∵， ∴点C所表示的数是， ∴． 【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，正确理解题意掌握数轴上两点间的距离意义是解题的关键． 【变式10-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为 ． 【答案】或． 【分析】根据绝对距离的定义分析可得：点C在点P和点Q之间，用含a的式子表示出和，列式求解即可． 【详解】解：设点P表示的数为a，则点Q表示的数为 当点C在线段左侧或者右侧时， ， ∴点C在点P和点Q之间， 当点C在点P和点Q之间时，如图所示： ，， ∴， ， 解得：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，根据题意得出点C在点P和点Q之间，并用数形结合思想表示出和的值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$