5.1 二次函数的相关概念（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】（21-22九年级·全国·假期作业）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【变式4-1】（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【变式4-2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C．3 D．6 【变式4-3】（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 一、单选题 1．二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 2．下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若函数是二次函数，则常数满足的条件为（    ） A． B． C． D．为任意实数 4．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 二、填空题 5．若是二次函数，则 ． 6．抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 7．二次函数的二次项系数是 ． 8．用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 （不要求写自变量取值范围）． 9．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 10．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 11．已知二次函数，当时， ． 三、解答题 12．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、右边不是整式，不符合题意； C、，当时，不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数要求化简后有二次项的整式，根据二次函数的定义回答即可． 【详解】解：A、函数化简为，是二次函数，本选项不符合题意； B、是二次函数，本选项不符合题意； C、是二次函数，本选项不符合题意； D、函数化简为，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．形如（a，b，c是常数，）的函数，叫作二次函数． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；     B项，不是二次函数，故本项不符合题意；     C项，不是二次函数，故本项不符合题意；     D项，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中 ． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故选：B． 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：是二次函数， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】（21-22九年级·全国·假期作业）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【答案】 3 -5 1 【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 【变式4-1】（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式4-2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数的相关概念即可得. 【详解】解：函数的一次项系数是； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 【变式4-3】（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， ()()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 一、单选题 1．二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 根据二次函数的相关概念即可得. 【详解】解：函数的一次项系数是6； 故选：D. 2．下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数的定义即可求出答案，熟练掌握二次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、是一次函数，故A不是二次函数，不符合题意； B、是反比例函数，故B不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，故C是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，故D不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3．若函数是二次函数，则常数满足的条件为（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解；∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故选B． 4．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】把点代入解析式即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴把点代入得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 二、填空题 5．若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义得：且，由此即可求出m的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 故答案为：． 6．抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 【答案】 【分析】分别把点和代入得到m、n的值，即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 把代入得， ， ∴， 故答案为： 7．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键是掌握中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 8．用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 （不要求写自变量取值范围）． 【答案】或 【分析】由篱笆的总长及一边长度，可得出花圃另一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【详解】解：篱笆的总长为30米，花圃一边长为米， 花圃另一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 9．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，得出，进而根据矩形的面积即可求解． 【详解】，， ． 四边形 是 的内接矩形， ，，， ， ． ，， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键． 11．已知二次函数，当时， ． 【答案】10 【分析】把代入计算即可． 【详解】把代入，得 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键． 三、解答题 12．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$