第01讲 二次函数+二次函数的图象和性质（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏科版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第01讲 二次函数+二次函数的图象和性质 （知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数的定义 知识点02：根据实际问题列二次函数表达式 知识点03：确定二次函数自变量的取值范围 知识点04：二次函数y＝ax2的图像的画法 知识点05：二次函数y＝ax2的图像和性质 知识点06：二次函数y=ax2＋k的图像和性质 知识点07：二次函数y=a(x＋h)2的图像和性质 知识点08：二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像和性质 知识点09：二次函数y=ax2，y=ax2＋k，y=a(x＋h)2，y=a(x＋h)2＋k之间的关系 知识点10：二次函数y=ax2＋bx＋c与二次函数y= a(x＋h)2＋k之间的关系正方形的性质 知识点11：二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数的图象与性质 考点2：二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 考点3：利用二次函数的性质比较大小 考点4：二次函数与几何图形存在性问题 习题巩固 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数的定义 1. 定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a ≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中x是自变量，y是x的 函数，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 示例 二次函数 和它的各 项系数 二次项系数是1 y＝x2－x－4→常数项是－4 一次项系数是－1 y＝x2＋不是二次函数 分母中含有字母，不是整式 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 【知识点02】根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤 1. 审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言. 2. 找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式. 3. 列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式. 【知识点03】确定二次函数自变量的取值范围 一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的自变量x的取值范围可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围应使实际问题有意义 【知识点04】二次函数y＝ax2的图像的画法 1. 用描点法画函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤 (1)列表：列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则 (2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取3 个点画图. (3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点. 2. 抛物线 二次函数y＝ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴. 当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 【知识点05】二次函数y＝ax2的图像和性质 二次函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像和性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y轴(或直线x＝0) 增减性 在对称轴的左侧， 即x＜0 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0 时，y最小值＝0 当x＝0 时，y最大值＝0 【知识点06】二次函数y=ax2＋k的图像和性质 1. 二次函数y=ax2＋k的图像与二次函数y=ax2的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2＋k的图像可由二次函数y=ax2的图像上下平移|k|个单位长度得到. 2. 二次函数y=ax2＋k的图像与性质 a，k的 符号 y=ax2＋k(a>0) y=ax2＋k(a<0) k>0 k<0 k>0 k<0 图像 开口方向 向上 向下 a，k的 符号 y=ax2＋k(a>0) y=ax2＋k(a<0) k>0 k<0 k>0 k<0 顶点坐标 (0，k) 对称轴 y轴 增减性 在对称轴左侧，y随x 的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 【知识点07】二次函数y=a(x＋h)2的图像和性质 1. 二次函数y=a(x＋h)2 的图像与二次函数y=ax2 的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x＋h)2的图像可由二次函数y=ax2 的图像左右平移|h|个单位长度得到. 2. 二次函数y=a(x＋h)2 的图像与性质 函数 y=a(x＋h)2(a>0) y=a(x＋h)2(a<0) 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－h 顶点坐标 (－h，0) 函数 y=a(x＋h)2(a>0) y=a(x＋h)2(a<0) 顶点位置 当h>0时，顶点在y轴的左侧(即x轴的负半轴上)；当h<0 时，顶点在y轴的右侧(即x轴的正半轴上) 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 【知识点08】二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像和性质 1. 二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像与二次函数y=ax2的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像可由二次函数y=ax2的图像平移得到，即先将二次函数y=ax2的图像左右平移|h|个单位长度得到二次函数y=a(x＋h)2的图像，再将二次函数y=a(x＋h)2的图像上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像. 2. 二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像与性质 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 图像 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 顶点位置 当h<0，k>0时， 顶点在第一象限； 当h>0，k>0时，顶点在第二象限；当h>0，k<0时，顶点在第三象限；当h<0，k<0时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=－h 开口方向 向上 向下 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小 最值 当x=－h时，y最小值=k 当x=－h时，y最大值=k 【知识点09】二次函数y=ax2，y=ax2＋k，y=a(x＋h)2，y=a(x＋h)2＋k之间的关系 位置关系 图象和性质的关系 函数 y=a(x＋h)2＋k y=a(x＋h)2 y=ax2＋k y=ax2 相同点 形状 图像都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图像都是轴对称图形 相同点 增减性 a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小 不同点 顶点 (－h，k) (－h，0) (0，k) (0，0) 对称轴 直线x=－h y轴 【知识点10】二次函数y=ax2＋bx＋c与二次函数y= a(x＋h)2＋k之间的关系正方形的性质 1. 二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c与顶点式y=a(x＋h)2＋k 的互化－h=－，k= ， 即y=ax2＋bx＋c=a＋. 2. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的画法 描点法：(1)把二次函数y=ax2＋bx＋c化成y=a(x＋h)2＋k的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接. 平移法：(1)把二次函数y=ax2＋bx＋c化成y=a(x＋h)2＋k的形式，确定其图像的顶点坐标为(－h，k)；(2)作出二次函数y=ax2 的图像；(3)将二次函数y=ax2 的图像平移，使其顶点平移到(－h，k)的位置. 3. 拓展 对于二次函数y=ax2＋bx＋c的图像上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P1(x1，y1)和P2(x2，y2)关于直线x= － 对称，则y1=y2，=－. 【知识点11】二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质 函数 y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠ 0) a>0 a<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小； 当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大； 当x>－时，y随x的增大而减小 最值 当x=－时， y最小值= 当x=－时， y最大值= 【题型一】二次函数的图象与性质 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可. 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下，当时，y随着x的增大而减小，当时，与时的函数值相等，即. 故选：D. 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）点在抛物线上运动，当到轴的距离为2时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意，点的纵坐标是2或，把点的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标． 【详解】解：依题意，可设或． ①当的坐标是时，将其代入，得 ， 解得， 此时点的坐标为或； ②当的坐标是时，将其代入，得 ，即，此时无解． 综上所述，符合条件的点的坐标是或； 故答案为：或． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【答案】(1)直线 (2)①证明见解析；②的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； （2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，②正确． ∴，①正确． ∵时， ∴时，，③不正确． 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，④正确． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质，把点A、B的坐标代入，并化简得，然后整体代入，可得出，根据二次函数的对称性得出，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上， ∴，对称轴为直线， 整理得，， ∴ ， ∵点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上， ∴， ∴， ∴，故答案为：4． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，注意分类讨论． （1）把点代入二次函数式中，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴的位置分与两种情况考虑，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称，可求得，且点A在抛物线对称轴的左边，点C在抛物线对称轴的右边，分与两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 【题型二】二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ∵抛物线的顶点为，对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，y随x的增大而减小，故④正确， 则正确的是①③④共3个． 故选：C． 【典例2-2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，根据题意抛物线开口向上，顶点在轴的下方是解题的关键． 根据题意可知抛物线与轴有两个交点，即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∴抛物线的顶点在轴的下方， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， 故答案为：． 【典例2-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据已知画出图象，根据对称轴和开口方向可判断①；把代入得：，可判断②；由②的结论，可得，根据c的取值范围可得的取值范围，可判断③；根据图象与x轴的交点可用表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断④． 【详解】解：画出图象如图，    ∵开口向下， ， ， ， ， ∴①正确； 根据二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，把代入得：， ∴②正确； 由得 ， 而， ， ， ， ∴③错误； ∵图象与x轴两交点为、，且，对称轴， 则对称轴，且， ， ， 由抛物线与y轴的正半轴的交点在下方，得，即， ∴④正确； 所以正确是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：∵当时， ， 又∵当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴， 故不正确； ∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵抛物线经过， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 联立（）（）得， 联立（）（）得， ∴， ∴， 故错误； ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故正确； 综上：正确的结论是， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到之间的关系，从而对②作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在和之间可以判断c的大小可判断④，由此即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线， ∴，， 又∵， ∴，故①是正确的； ②二次函数的图象与x轴交于点， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴当时，，故②是错误的； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方， ∴最小值为， ∵， ∴，故③正确； ④∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵，， 且二次函数的图象与x轴交于点， ∴当时，， 即， ∴， ∴．故④错误； 故答案为：①③． 【题型三】利用二次函数的性质比较大小 【典例3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的二次函数的图象经过点、、，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 直接计算各点的函数值，比较大小关系，常数a不影响大小顺序． 【详解】∵关于x的二次函数的图象经过点、、， ∴， ， ． ∵， ∴． 故选：C． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴， ∴的对称点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例3-3】（23-24九年级上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果点都在该抛物线上，比较与大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）把一般式化为顶点式，即可作答． （2）分别代入，整理与的式子，即可作答． 【详解】（1）解： ， 抛物线顶点坐标为； （2）解：， ∵点都在该抛物线上 ， 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数（，是常数，且）， 函数图象的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ∵点关于直线的对称点是，且， ， 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知两点均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键．由于点是该抛物线的顶点且，可得出抛物线开口向上，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出之间的关系，进而可得出，即，此题得解． 【详解】解：∵点是抛物线的顶点，， ∴抛物线有最小值，函数图象开口向上， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴；（用含t的式子表示） (2)若点，在抛物线上，试比较m、n的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）直接配方，即可求对称轴； （2）比较点，到对称轴的距离即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵， ∴点离抛物线的对称轴距离较大， ∴． 【题型四】二次函数与几何图形存在性问题 【典例4-1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数关系式为 (2)； (3)存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 【详解】（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 【典例4-2】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为； (2)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据点A的坐标和对称轴，得出点B的坐标，用交点式求解该抛物线的表达式即可；设直线的解析式为，将点B和点C的坐标代入，求出k和d的值，即可得出直线的函数表达式； （2）设，根据两点之间的距离公式，得出，，，再根据等腰三角形的性质进行分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，点B与关于直线对称， ∴， 设，把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 故抛物线解析式为，直线的解析式为； （2）解：存在，设， ∵， ∴， ， ， ∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， ∴或或， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解函数表达式，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，两点之间的距离公式，等腰三角形的性质． 【典例4-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，且与x轴交于原点及点，点A为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，M为，或或 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）分，三种情况进行分类讨论，进行求解即可。 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）过点A作直线轴于点F， 由（1）得， ∴抛物线的顶点， ①， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴在点处，是等腰直角三角形，此时为； ②， 由①得是等腰直角三角形，， ∴ ∴为或， ③， ∵ ∴， ∴为， 综上所述，M为，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式4-1】（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）由对称轴为直线则设抛物线代入点A 、C的坐标求出解析式； （2）设，，分别以为对角线时，以为对角线时，以为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴设抛物线， 把，代入得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 依题意设，， ∵，对称轴为直线， ∴， ∵，，，， 当以为对角线时， ， ∴， ∴， 当以为对角线时， ， ∴， ∴， 当以为对角线时， ， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，全等三角形的判定和性质，平行四边形存在性问题等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式4-2】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，P点的坐标为：. 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）设出点P坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）∵二次函数经过点， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：， （2）的对称轴为， 设，又， 可求， 当时，， 解得，，此时； 当时，， 解得，，此时点P坐标为； 当时，， 解得，，此时点P坐标为：． 综上所述， P点的坐标为：. 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键． 【变式4-3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)51 (3)存在这样的点，使得点P到和两边的距离相等 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作轴交于D，先求出直线的解析式，设，则，则，求出的最大值，再由可知当最大时，最大，由此即可得到答案； （3）如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，先证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相等，由此即可知点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴可设抛物线解析式为， 又∵当时，，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大为27， ∵，， ∴， ∴当最大时，最大，最大为； （3）解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴平分， ∴直线上的点到的距离相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，，三点在同一个函数的图像上，则该函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图像和性质，掌握排除法在选择题中的应用是解题关键．由点和点的坐标可得关于轴对称，排除A、B选项；由点和点的坐标可得当时，随的增大而增大，排除C选项，即可得到答案． 【详解】解：，在同一个函数的图像上， 点和点关于轴对称， A、B选项错误； ，在同一个函数的图像上， 当时，随的增大而增大， C选项错误，D选项正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数的图象上有点，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数图象的性质． 先求出二次函数的图象的对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∴时，随的增大而增大， ∵点关于对称轴的对称点为，且， ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化-对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点的坐标为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数图象如图，一次函数图象过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据二次函数的图象得到均大于0，进而判断出一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由图象可知：， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限； 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； ∴， ∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线与 x 轴一个交点为 ，对称轴为， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 ， ∴ 时 ， ∴时 ，故选项B正确，不符合题意； 当 时，， ∵抛物线与 x 轴的交点为 ， ∴，故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，点，是其图象上两点，（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是根据二次函数的表达式和图象求出对称轴，再利用数形结合思想求解． 先根据二次函数的对称性求得对称轴为直线，可画出抛物线的草图，根据图象法求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上， 当或时，， 抛物线的对称轴为直线， 如图， 当时，点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴，即．故C选项正确，A选项错误． ∵当，即，点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴．故BD选项错误． 故选：C． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大；故，该函数为二次函数，求出其对称轴，利用二次函数性质解决即可． 【详解】解：当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大； 故，为二次函数， 对称轴为直线， ∵时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，且， 解得． 故选：D． 二、填空题 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查二次函数的增减性．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据求出二次函数的顶点坐标，二次函数图象与轴的交点坐标，根据图象过第一、二、三象限，得到交点纵坐标大于等于0，顶点的纵坐标小于0，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴，解得； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）若一个二次函数的图象与的图象关于x轴对称，则该二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】该题考查了二次函数的几何变换，利用二次函数图象的对称性进行解答； 【详解】解：， ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴该点关于轴对称的点的坐标是， 该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式是， 故答案是：． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，当时，则函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的图象性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴时的函数值比时的函数值小， 当时，， 又当时，函数有最大值为， ∴当时，； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质．由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故答案为：或． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，，，是抛物线上两点，则，其中结论正确的结论是 (填序号)． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征；①由抛物线的开口方向、对称轴即与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线，可得出，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当时，进而可得出，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ，，， ， ，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线， ， ， ，结论②正确； ③抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标是，， 另一个交点坐标是，， 当时，， ，结论③正确； ④，， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ，结论④正确； 综上所述：正确的结论有②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)对称轴为：； (2)． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象与性质，将代入得到，根据抛物线的对称轴为，即可解题． （2）本题考查二次函数的图象与性质，将、代入抛物线得到，，利用作差法，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：把代入得：，整理得，　 抛物线的对称轴为． （2）解：把、代入抛物线得： ，， ， ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案； （2）首先得到抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可； （3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵抛物线上两点，，， ∴； （3）∵点，为抛物线上的两点，且， ∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ ∴ 解得． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标 (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)求关于的函数解析式； (3)求该二次函数的图象顶点最低时的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求得； （2）根据顶点坐标公式以及图象上点的坐标特征即可求得； （3）由（2）求得的解析式配方成顶点式即可求得最低时的顶点坐标，利用顶点式求得即可． 【详解】（1）解：由二次函数可知开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ； （2）解：∵二次函数的图象经过点， ， ， ，， ； （3）解：， 顶点有最低点， ， 二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，明确二次函数的顶点坐标是解题的关键． 17．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）令，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论； （2）先求出对称轴为，开口向上，再得出，根据题意得出y的最小值为3时，，得出，求解即可得出答案； （3）分别求出，，，利用，得出关于m的不等式，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：令，则． ∴，． ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数图象与x轴有两个不同的公共点． （2）∵， ∴对称轴为，开口向上， ∵当时，y的最小值为， ∴二次函数的顶点，即， ∴， ∵当时，y的最小值为3， ∴y的最小值为3时，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去） ∴ ∴二次函数的表达式为； （3）解：由题意可知，， ， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴m，，，的负数有奇数个，且， 当负数有1个时，且， ∴； 当负数有3个时，且， ∴， ∴m的取值范围为：或． 18．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； (2)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2，﹣9m)，A，B两点的坐标为(﹣1，0)、(5，0) (2)存在抛物线和 【分析】（1）将解析式配方成顶点式求顶点坐标； （2）用代数式表示出BCM的三边长，分别讨论每个角为直角时三边长是否满足勾股定理； 【详解】（1）解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m， ∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m）， ∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0， ∵m＞0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0）， （2）解：存在使△BCM为直角三角形的抛物线． 过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m， ∴MN＝DM﹣DN＝4m， ∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2， 在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2， 在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2． ①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2， 即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　， ∵m＞0， ∴． ∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形； ②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2． 即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得　， ∵m＞0， ∴． ∴存在抛物线使得△BCM是Rt△； ③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2， ∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在， 综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形． 【点睛】此题考查了二次函数图象的性质，直角三角形的性质，用勾股定理来判断直角三角形；需要注意的是由于直角三角形的顶点不确定，一定要分类讨论以免漏掉． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次函数+二次函数的图象和性质 （知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数的定义 知识点02：根据实际问题列二次函数表达式 知识点03：确定二次函数自变量的取值范围 知识点04：二次函数y＝ax2的图像的画法 知识点05：二次函数y＝ax2的图像和性质 知识点06：二次函数y=ax2＋k的图像和性质 知识点07：二次函数y=a(x＋h)2的图像和性质 知识点08：二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像和性质 知识点09：二次函数y=ax2，y=ax2＋k，y=a(x＋h)2，y=a(x＋h)2＋k之间的关系 知识点10：二次函数y=ax2＋bx＋c与二次函数y= a(x＋h)2＋k之间的关系正方形的性质 知识点11：二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数的图象与性质 考点2：二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 考点3：利用二次函数的性质比较大小 考点4：二次函数与几何图形存在性问题 习题巩固 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数的定义 1. 定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a ≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中x是自变量，y是x的 函数，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 示例 二次函数 和它的各 项系数 二次项系数是1 y＝x2－x－4→常数项是－4 一次项系数是－1 y＝x2＋不是二次函数 分母中含有字母，不是整式 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 【知识点02】根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤 1. 审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言. 2. 找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式. 3. 列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式. 【知识点03】确定二次函数自变量的取值范围 一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的自变量x的取值范围可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围应使实际问题有意义 【知识点04】二次函数y＝ax2的图像的画法 1. 用描点法画函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤 (1)列表：列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则 (2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取3 个点画图. (3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点. 2. 抛物线 二次函数y＝ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴. 当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 【知识点05】二次函数y＝ax2的图像和性质 二次函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像和性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y轴(或直线x＝0) 增减性 在对称轴的左侧， 即x＜0 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0 时，y最小值＝0 当x＝0 时，y最大值＝0 【知识点06】二次函数y=ax2＋k的图像和性质 1. 二次函数y=ax2＋k的图像与二次函数y=ax2的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2＋k的图像可由二次函数y=ax2的图像上下平移|k|个单位长度得到. 2. 二次函数y=ax2＋k的图像与性质 a，k的 符号 y=ax2＋k(a>0) y=ax2＋k(a<0) k>0 k<0 k>0 k<0 图像 开口方向 向上 向下 a，k的 符号 y=ax2＋k(a>0) y=ax2＋k(a<0) k>0 k<0 k>0 k<0 顶点坐标 (0，k) 对称轴 y轴 增减性 在对称轴左侧，y随x 的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 【知识点07】二次函数y=a(x＋h)2的图像和性质 1. 二次函数y=a(x＋h)2 的图像与二次函数y=ax2 的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x＋h)2的图像可由二次函数y=ax2 的图像左右平移|h|个单位长度得到. 2. 二次函数y=a(x＋h)2 的图像与性质 函数 y=a(x＋h)2(a>0) y=a(x＋h)2(a<0) 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－h 顶点坐标 (－h，0) 函数 y=a(x＋h)2(a>0) y=a(x＋h)2(a<0) 顶点位置 当h>0时，顶点在y轴的左侧(即x轴的负半轴上)；当h<0 时，顶点在y轴的右侧(即x轴的正半轴上) 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 【知识点08】二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像和性质 1. 二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像与二次函数y=ax2的图像的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像可由二次函数y=ax2的图像平移得到，即先将二次函数y=ax2的图像左右平移|h|个单位长度得到二次函数y=a(x＋h)2的图像，再将二次函数y=a(x＋h)2的图像上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像. 2. 二次函数y=a(x＋h)2＋k的图像与性质 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 图像 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 顶点位置 当h<0，k>0时， 顶点在第一象限； 当h>0，k>0时，顶点在第二象限；当h>0，k<0时，顶点在第三象限；当h<0，k<0时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=－h 开口方向 向上 向下 函数 y=a(x＋h)2＋k(a>0) y=a(x＋h)2＋k(a<0) 增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小 最值 当x=－h时，y最小值=k 当x=－h时，y最大值=k 【知识点09】二次函数y=ax2，y=ax2＋k，y=a(x＋h)2，y=a(x＋h)2＋k之间的关系 位置关系 图象和性质的关系 函数 y=a(x＋h)2＋k y=a(x＋h)2 y=ax2＋k y=ax2 相同点 形状 图像都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图像都是轴对称图形 相同点 增减性 a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小 不同点 顶点 (－h，k) (－h，0) (0，k) (0，0) 对称轴 直线x=－h y轴 【知识点10】二次函数y=ax2＋bx＋c与二次函数y= a(x＋h)2＋k之间的关系正方形的性质 1. 二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c与顶点式y=a(x＋h)2＋k 的互化－h=－，k= ， 即y=ax2＋bx＋c=a＋. 2. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的画法 描点法：(1)把二次函数y=ax2＋bx＋c化成y=a(x＋h)2＋k的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接. 平移法：(1)把二次函数y=ax2＋bx＋c化成y=a(x＋h)2＋k的形式，确定其图像的顶点坐标为(－h，k)；(2)作出二次函数y=ax2 的图像；(3)将二次函数y=ax2 的图像平移，使其顶点平移到(－h，k)的位置. 3. 拓展 对于二次函数y=ax2＋bx＋c的图像上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P1(x1，y1)和P2(x2，y2)关于直线x= － 对称，则y1=y2，=－. 【知识点11】二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质 函数 y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠ 0) a>0 a<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小； 当x> －时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大； 当x>－时，y随x的增大而减小 最值 当x=－时， y最小值= 当x=－时， y最大值= 【题型一】二次函数的图象与性质 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）点在抛物线上运动，当到轴的距离为2时，点的坐标为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上，则代数式的值为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【题型二】二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2-2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 【典例2-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有 （请填写序号）． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【题型三】利用二次函数的性质比较大小 【典例3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的二次函数的图象经过点、、，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 【典例3-3】（23-24九年级上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果点都在该抛物线上，比较与大小． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知两点均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴；（用含t的式子表示） (2)若点，在抛物线上，试比较m、n的大小； 【题型四】二次函数与几何图形存在性问题 【典例4-1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【典例4-2】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例4-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，且与x轴交于原点及点，点A为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； 【变式4-1】（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【变式4-2】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，，三点在同一个函数的图像上，则该函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数的图象上有点，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数图象如图，一次函数图象过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，点，是其图象上两点，（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）若一个二次函数的图象与的图象关于x轴对称，则该二次函数的表达式为 ． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，当时，则函数值的取值范围是 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，，，是抛物线上两点，则，其中结论正确的结论是 (填序号)． 三、解答题 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标 (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)求关于的函数解析式； (3)求该二次函数的图象顶点最低时的解析式． 17．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 18．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； (2)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $