5.2.4 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.2.4 二次函数的性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图象 图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【变式1-1】抛物线的对称轴为 ． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是 ． 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【变式2-2】已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知抛物线，当时，随着的增大而 ；当时，随着的增大而 ． 【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知抛物线上有三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【变式4-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或 【变式4-3】抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ． 【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ． 【变式5-2】将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ． 【变式5-3】如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【典例6】二次函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【变式6-2】二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式6-3】如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 【典例7】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2） 【变式7-3】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 二、填空题 8．已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ． 9．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 10．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 11．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 12．已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 13．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 三、解答题 14．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C． (1)求点A，C的坐标； (2)若轴，交拋物线于另一点，求的长． 15．如图，已知抛物线经过点，且与x轴交于A、B两点 (1)求a的值； (2)求的面积． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.4 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图象 图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的顶点式，即可求解． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：； 【变式1-1】抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据函数的性质进行求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数的图象， ∵，对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是， 故选项A、C、D错误，选项B正确． 故选：B 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意； B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意； C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意； D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 【变式2-3】已知抛物线，当时，随着的增大而 ；当时，随着的增大而 ． 【答案】 减小 增大 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据开口方向：向下；以及对称轴，即可作答． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大， ∴当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大． 故答案为：减小，增大 【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 【变式3-1】已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小；关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 【变式3-2】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3-3】已知抛物线上有三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线的对称性质及对称轴得的对称点的坐标为，再根据抛物线的开口向上及其增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性得：的对称点的坐标为， 又抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而减小，且， ， 故选D． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①时，取得最大值， 解得； ②时，取得最大值为，不合题意； ③时，取得最大值，， 解得． 故选：C． 【变式4-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分在对称轴左侧和右侧两种情况分别求其最值，可得到关于m的方程，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为， 当时，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 当时，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 综上可知m的值为2或， 故选：C． 【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或 【答案】B 【分析】分三种情况讨论列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵二次函数y＝（x−3）2＋2m， ∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3， ①当3＜m时， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x＝m时，y＝（m−3）2＋2m＝m2−4m＋9为最小值， ∵m2−4m＋9＝5， 解得m＝2，不合题意； ②当m≤3≤m＋2时， ∴x＝3，y＝（x−3）2＋2m＝2m为最小值， ∴2m＝5，解得，m＝； ③当3＞m＋2，即m＜1， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小， 故当x＝m＋2时，y＝（m＋2−3）2＋2m＝m2＋1为最小值， ∴m2＋1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝−2； 综上，m的值为或−2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【变式4-3】抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大 ∴当时，当时， 当时， ∴， 解得 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少 ∴当时，当时， 当时， ∴ 解得 故选：C． 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】设顶点坐标为的抛物线解析式为，根据形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数求出a的值即可得到答案． 【详解】解：设顶点坐标为的抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状相同，方向相反， ∴， ∴顶点坐标为的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数是解题的关键． 【变式5-2】将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为． 故答案为：，． 【变式5-3】如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    【答案】 【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式． 【详解】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为， 函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图象得出顶点是解题的关键． 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【典例6】二次函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标为，，开口方向向下；，开口方向向上；据此即可作答． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是，顶点坐标为， 故选B． 【变式6-1】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的顶点式可判断抛抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，即可解答．解题的关键是熟练运用顶点式判断抛物线开口，对称轴，顶点等信息． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为， 观察图象，则C选项符合题意， 故选：C． 【变式6-2】二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图象和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式6-3】如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限， ∴m＞0，n＜0， 则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 【典例7】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式7-1】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【答案】C 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移的知识，解题关键是掌握的平移规律和求出关键点顶点坐标． 【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2） 【答案】B 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3， 即y＝2（x﹣1）2﹣2． 其顶点坐标是(1，﹣2)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 【变式7-3】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为，即． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 一、单选题 1．二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键． 配方成顶点式即可得． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3．对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 6．抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得关于轴对称的顶点坐标为，再根据开口向下，进而可求解．可求出抛物线的顶点坐标为，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，可求出函数的顶点式，再根据对称之后的开口向下，可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，且对称之后的抛物线开口向下， ∴所求抛物线解析式为：． 故选：D． 7．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 二、填空题 8．已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 9．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 10．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设抛物线解析式为，根据抛物线的顶点坐标为，得，于是抛物线解析式为，取的值即可. 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线解析式为， 取，此时二次函数的函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 11．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由解析式得对称轴为直线，再由即可求解；理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时， y随x的增大而增大； 故答案：． 13．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C． (1)求点A，C的坐标； (2)若轴，交拋物线于另一点，求的长． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令，，可得点坐标； （2）根据轴对称的性质求得的坐标，即可求得的长． 【详解】（1）解： ， ， 抛物线的与轴的交于点， 令得． ； （2）解：， 对称轴为直线， 的对称点为， ∵轴交抛物线于另一点， ， ． 15．如图，已知抛物线经过点，且与x轴交于A、B两点 (1)求a的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，以及函数图象中三角形的面积问题． （1）把代入，即可求得a值． （2）由（1）知抛物线解析式，令，求出点A，点B的坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：． （2）由（1）得出抛物线解析式为：． 令，则 ， 则， 故，， 根据图象，则，， ∴， 又， ∴． 23 学科网（北京）股份有限公司 $$