精品解析：河南省开封市禹王台区致远中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年开封市禹王台区致远中学八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知 ， 分别是反比例函数与，且轴，点 的坐标为，分别过点 ， 作轴于点 ，轴于点 ．若四边形的面积为 ，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在 中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 、 于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在 内交于点M，连接 并延长交 于点 ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，E是 的边 的延长线上一点，连接 交 于点F，连接， ．添加以下条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，的图象如图所示．若无论 取何值， 总取，，中的最大值，则 的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（ ） A. （2，0） B. （－1，1） C. （－2，0） D. （－1，－1） 8. 如图，在平行四边形 中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线 交对角线 于点E，连接．若， ， ，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 9 D. 6 9. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：）进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则（ ） 甲组 4 5 6 6 7 8 乙组 2 5 6 6 7 10 A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，反比例函数的图像经过平行四边形 顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 二、填空题（共15分） 11. 若，则_______． 12. 若 使得关于 的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且使关于 的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数 的和为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的点C坐标为，点D坐标为，点E为菱形的对称中心，若反比例函数恰好经过点E，则k的值为_________． 14. 如图，▱ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则 的周长为__________． 15. 如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的A处去往河南岸的B处，因河流较宽，需在河面搭建一个与河两岸垂直的平板桥，已知A距离河北岸4.5米，B距离河南岸1.5米，河宽3米，且B处相对于A处的东西距离为8米．根据以上条件，从A处经过平板桥到达B处的最短路程是________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： 17. 如图，在 中， ． （1）用尺规作图作 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E； （2）延长到F，使 ，连接，求证：四边形是平行四边形．​ 18. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点，若设过点A和点C的直线表达式为 ，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 19. 上兵伐谋，规划先行．某社区计划在绿化的同时让居民吃上放心的核桃和枣，欲购进核桃树和枣树进行种植，已知核桃树的单价是枣树的，用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵． （1）求核桃树和枣树的单价； （2）该社区计划购买核桃树与枣树共60棵，且枣树的棵数不超过核桃树棵数的，请说明怎样购进这两种树才能使总费用最低，最低费用是多少？ 20. 为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩 （单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中 组为 ， 组为 ， 组为 ， 组为 ． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则 的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； （2）第二次测试中发现 组的同学平均成绩提高13分， 组的同学平均成绩提高7分， 组的同学平均成绩提高3分， 组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如 取65） 21. 如图，在平面直角坐标系 中，直线与直线交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）直线与x轴交于点B，点C为x轴上一点且，求 的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 22. 如图，一次函数的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）当时，直接写出 的取值范围． （3）连接 ， ，求的面积； （4）点 是反比例函数上一点，轴交直线 于 ，且请直接写出点 的坐标． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点C在线段 上，将线段 绕着点C顺时针旋转90°得到 ，此时点D恰好落在直线 上，过点D作 轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线 上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年开封市禹王台区致远中学八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】∵， 故选A． 2. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论，解题的关键是找出． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 3. 如图，已知 ， 分别是反比例函数与，且轴，点 的坐标为，分别过点 ， 作轴于点，轴于点 ．若四边形的面积为 ，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长 交 轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点 在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长 交 轴于点， ∵点 的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点 的坐标为，分别过点 ， 作轴于点，轴于点 ， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点 在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为 ， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选： ． 4. 如图，在 中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 、 于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在 内交于点M，连接 并延长交 于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得 平分 ；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长． 【详解】解：根据作图的方法得： 平分 ， 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ； 故选B 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键． 5. 如图，E是 的边 的延长线上一点，连接 交 于点F，连接， ．添加以下条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定及三角形全等逐个分析即可． 【详解】解：选项A：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意； 选项B：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意， 选项C：∵ ， ∴， 在与中， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形为平行四边形，故选项C不符合题意； 选项D：由不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6. 已知直线，，的图象如图所示．若无论 取何值， 总取，，中的最大值，则 的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入或解析式求得． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 7. 如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（ ） A. （2，0） B. （－1，1） C. （－2，0） D. （－1，－1） 【答案】A 【解析】 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由图可知：矩形的边长为4和2， ∵物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同， ∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2022÷3=674， 故两个物体运动后的第2022次相遇地点的是：点A处， 此时相遇点的坐标为：（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的变化规律以，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点． 8. 如图，在平行四边形 中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交对角线 于点E，连接．若， ， ，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，是线段 的垂直平分线，则，由平行四边形 ，可知，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是线段 的垂直平分线， ∴， ∵平行四边形 ， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的作法，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 9. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：）进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则（ ） 甲组 4 5 6 6 7 8 乙组 2 5 6 6 7 10 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差公式是解题关键．根据数据出现的次数，得到、，比较即可；再分别求出甲、乙两组的方差即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴，， 故选：B． 10. 如图，反比例函数的图像经过平行四边形 顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合，根据平行四边形的性质可得点D坐标为，再根据反比例函数的图像经过点C，D，进而可得，进而可得，再根据已知可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， 可由 平移得到， 点、点、点C的坐标分别为，，, 点D坐标为， 反比例函数的图像经过点C，D， ， ， ， ， ， ， 故选A． 二、填空题（共15分） 11. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 先根据已知通分，再代入原式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若使得关于 的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且使关于 的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，由不等式组的解集可确定的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义确定整数的值即可． 【详解】解：关于 的一元一次不等式组， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 由于原不等式组有且仅有两个整数解， ． 解得， 分式方程的解为是正数，且， ，且， 且 ， 且 ， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的点C坐标为，点D坐标为，点E为菱形的对称中心，若反比例函数恰好经过点E，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，再由菱形的性质得出，求得 ，可得，再由中点坐标公式求出，代入反比例函数，求出的值即可． 【详解】解：∵点C坐标为，点D坐标为， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵四边形 是菱形， ∴ ∴ ∴， ∵点D坐标为， ∴点E的坐标为，即， 代入，得：， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及反比例函数的性质以及点的坐标特征等知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 14. 如图，▱ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则 的周长为__________． 【答案】##12厘米 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质即可得 ，进而可得 的周长． 【详解】解：在 中， ， 相交于点， 为 的中点， ， 是 的垂直平分线， ， ∵ 的周长是， ∴， 的周长， 故答案为：． 15. 如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的A处去往河南岸的B处，因河流较宽，需在河面搭建一个与河两岸垂直的平板桥，已知A距离河北岸4.5米，B距离河南岸1.5米，河宽3米，且B处相对于A处的东西距离为8米．根据以上条件，从A处经过平板桥到达B处的最短路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可找出最短路径，通过平行四边形的性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设河北岸为直线，河南岸为直线 ，过点作于点，过点作于点，在 上截取，连接交直线 于点，过点作于点，连接 和，则从处经过平板桥到达处的最短路程是，延长 交 于点 ，如图所示， ，， ， ， 为平行四边形， ． 根据题意得，，，，， ， ， 在中，． 最短路径． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径的运用，平行四边形的性质和勾股定理，解题的关键在于是否能正确找到最短路径以及画图求出最短路径的距离． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先找最简公分母转化为整式方程，然后求解即可． 本题考查了解分式方程，掌握去分母的过程是解题关键． 【详解】解： 经检验：当时， 则是原分式方程的解． 17. 如图，在 中， ． （1）用尺规作图作 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E； （2）延长到F，使 ，连接，求证：四边形是平行四边形．​ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图 作线段垂直平分线，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解决问题的关键． （1）利用基本作图作 的垂直平分线即可； （2）先根据题意画出几何图形，再根据线段垂直平分线的性质得到，，则 ，所以根据平行线的性质得到，接着证明，，则利用三角形内角和定理得到，所以，然后利用可判断四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所作； 【小问2详解】 证明：垂直平分 ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 18. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点，若设过点A和点C的直线表达式为 ，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）点的坐标为 ，点的坐标为 （2） （3），， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，平行四边形的性质． （1）求出当 和 时的对应值，即可得到点的坐标； （2）借助图象可知当 时，直线 在的下方，即可得到不等式的解集； （3）分 是对角线、 是对角线和 是对角线，根据平移的性质得到点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当 时，， ∴点的坐标为 ， 令 ，则，解得 ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 由图象可得当 时，； 【小问3详解】 当 是对角线时，由C到点B平移可得向右平移 个单位长度，即点A向右平移 个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 当 是对角线时，由B到点C平移可得向左平移 个单位长度，即点A向左平移 个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 当 是对角线时，由A到点C平移可得向左平移 个单位长度，向下平移3个单位长度，即点B向左平移 个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为，，． 19. 上兵伐谋，规划先行．某社区计划在绿化的同时让居民吃上放心的核桃和枣，欲购进核桃树和枣树进行种植，已知核桃树的单价是枣树的，用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵． （1）求核桃树和枣树的单价； （2）该社区计划购买核桃树与枣树共60棵，且枣树的棵数不超过核桃树棵数的，请说明怎样购进这两种树才能使总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）枣树的单价是35元，则桃树的单价为40元 （2）购进枣树24棵，桃树36棵时，费用最低，为2280元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一次函数的应用： （1）设枣树的单价是x元，则桃树的单价为元，根据“用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵”列方程求解即可； （2）设枣树的棵数为m，先根据题意求出m的取值，再列函数关系式求解即可； 【小问1详解】 解：设枣树的单价是x元，则桃树的单价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴， 答 ：枣树的单价是35元，则桃树的单价为40元 【小问2详解】 解：设枣树的棵数为m，则桃树为棵， ∵， 解得：， 总费用为， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当， 有最小值，为（元）， （棵） 所以，当购进枣树24棵，桃树36棵时，费用最低，为2280元 20. 为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩 （单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为 ，组为 ，组为 ，组为 ． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； （2）第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如 取65） 【答案】（1）84，86.5 （2） 这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀，理由如下： 第二次测试中，组的2位同学平均成绩提高13分，组的3位同学平均成绩提高7分，组的8位同学平均成绩提高3分，组的7位同学平均成绩提高1分， 整体提高的分数为：， ， 这些同学第二次测试的平均成绩为：， 这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义求出中位数即可； （2）根据平均数的定义求出这些同学第二次测试的平均成绩即可 【小问1详解】 解：这20个数据中存在唯一的众数84， ， 把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是； 故答案为：84，； 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系 中，直线与直线交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）直线与x轴交于点B，点C为x轴上一点且，求 的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） ，直线的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求一次函数的解析式，求得相关点的坐标是解题的关键． （1）先把代入中求出m，从而得到，然后把A点坐标代入中求出k得到直线的表达式； （2）先利用直线的解析式确定，然后由求得 ，再根据三角形面积公式计算； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得 ， ∴， 把代入得， 解得， ， ∴直线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：当 时，， 解得 ， ， ∴， ∵， ∴或， ∴ 或， ∴ 的面积， ∴或， ∴ 的面积为1或3； 【小问3详解】 解：观察图象，不等式的解集为 ． 22. 如图，一次函数的图象与 轴， 轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）当时，直接写出 的取值范围． （3）连接 ， ，求的面积； （4）点 是反比例函数上一点，轴交直线 于 ，且请直接写出点 的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）把代入求出的值，即可得出反比例函数的解析式为，把代入，求出点的坐标，最后把，代入，求出和 的值，即可得出一次函数的解析式为； （2）根据数形相结合即可得解； （3）过点作轴于点，交 于点，过点作轴于点 ，易得，则，进而推出，根据梯形面积公式，即可求解； （4）设点，则点 的纵坐标为，进而得出点 横坐标，根据，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：即是一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，对应自变量 的取值， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．， ∴时，； 【小问3详解】 解：过点作轴于点，交 于点，过点作轴于点 ， ∵点和点在反比例函数图象上， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：设点， ∵轴， ∴点 的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ①当时，整理得：， 该方程无解， ②当时，整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，解一元二次方程，利用函数求不等式的值，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数值的几何意义，是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点C在线段 上，将线段 绕着点C顺时针旋转90°得到 ，此时点D恰好落在直线 上，过点D作 轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线 上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，和 证明即可； （2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标即可； （3）分别以 为对角线， 为对角线， 为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵将线段 绕着点C顺时针旋转90°得到 ， ∴， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，当 时， ， ∴， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 存在； 由（2）知： ， ∴， 设，， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有一下三种情况： ①当 为对角线时：， ∴， ∴； ②当 为对角线时：， ∴， ∴； ③当 为对角线时：， ∴ ， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质．解题的关键是利用数形结合，分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $