精品解析：新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高二下学期7月期末监测数学试题

克州2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高二年级·数学 时间：120分钟 满分：100分 一､单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取2个数，则选取的2个数之和为偶数的方法数有（ ）种. A. 6 B. 10 C. 16 D. 36 3. 下列四个命题中，真命题的序号为（ ）. ①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，46，55，57，58，66；乙：29，34，35，44，46，48，53，55，55，67.则甲乙的中位数分别为46和45. ②相关系数，表明两个变量的相关程度较弱. ③若由一个列联表中的数据计算得的值约为7.866，那么有的把握认为这两个变量有关. ④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ③④ 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的二项展开式中二项式系数和为32，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（ ）（附：若，则 A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014 8. 以下几个命题中，其中真命题的序号为（ ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A. ① B. ①② C. ①④ D. ③④ 二､多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值就越接近于1 B. 对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越大 C. 随机变量，若，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 10. 克州某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的无花果，甲地块产出无花果中一级果个数占，乙地块产出无花果中一级果个数占，丙地块产出无花果中一级果个数占.已知甲､乙､丙地块产出的无花果个数之比为，现将三个地块产出的无花果傥匀后混放一堆，则下列说法正确的是（ ）. A. 任取一个无花果是甲地块产出的概率为 B. 任取一个无花果是甲地块产出的一级果的概率为 C. 任取一个无花果是一级果的概率为 D. 如果取到的一个无花果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 三､填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为__________. 13. 若随机变量，且随机变量，则__________. 14. 已知曲线和，若直线与这两条曲线都相交，交点分别为，则的最小值为__________. 四､解答题：共5题.第15题满分7分，第16､17题满分9分，第18､19题满分12分，共49分. 15. 已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16. （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值. 16. 已知函数在处取得极值，在点处的切线的斜率为. （1）求的解析式； （2）求在区间上的单调区间和最值. 17. 在9件产品中有3件次品和6件正品，连续抽取3次，每次抽1件，求： （1）当不放回抽样时，抽取次品数的均值； （2）当放回抽样时，抽取次品数的均值. 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 19. 乒乓球运动在我国非常普及，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动员的基本功之一.打100个球，若有超过90个打到对方球台的指定位置称为优秀，否则称为一般.在练球时，打球动作有规范动作和不规范动作两种，在接受训练的学员中，训练满10次而不满20次记为第1组，训练满20次而不满30次记为第2组，...，训练满次而不满次记为第组.某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在规范动作和不规范动作的两群体中各抽取50人（在组数1~5组中各随机抽取10人），进行测试得出关于优秀个数的表1和表2如下所示： 表1：有规范动作的50名学员测试结果（优秀个数） 组数 1 2 3 4 5 优秀个数 2 4 5 7 8 表2：有不规范动作的50名学员测试结果（优秀个数） 组数 1 2 3 4 5 优秀个数 0 1 2 3 4 （1）填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否判断学员优秀与练球时的规范动作有关联？ 优秀 一般 合计 规范动作 50 不规范动作 50 合计 （2）在表1规范动作的学员测试结果中，记表示组数，表示优秀个数. （i）求样本相关系数（精确到0.01），并判断与是否有较强的线性相关关系（当时，可以认为两个变量有较强的线性相关关系；否则，没有较强的线性相关关系）； （ii）求关于的经验回归方程. 参考公式及数据：样本相关系数，，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为.，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克州2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高二年级·数学 时间：120分钟 满分：100分 一､单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和常用函数的导数公式求导即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 2. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取2个数，则选取的2个数之和为偶数的方法数有（ ）种. A. 6 B. 10 C. 16 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的2个数是2个偶数，②选出的2个数是2个奇数，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，四个阴数即4个偶数：2､4､6､8，五个阳数即5即奇数：， 从中任选2个，使选出的2个数和为偶数，有2种情况， ①选出的2个数是2个偶数，有种选法， ②选出的2个数是2个奇数，有种选法， 一共有种选法. 故选：C. 3. 下列四个命题中，真命题的序号为（ ）. ①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，46，55，57，58，66；乙：29，34，35，44，46，48，53，55，55，67.则甲乙的中位数分别为46和45. ②相关系数，表明两个变量的相关程度较弱. ③若由一个列联表中的数据计算得的值约为7.866，那么有的把握认为这两个变量有关. ④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用中位数概念求解即可；②相关系数时，两个变量的相关程度较强；③对照表格判断即可；④按照残差定义判断即可. 【详解】①由甲的数据可知它的中位数为46，乙的中位数为，故①错误； ②相关系数时，两个变量的相关程度较强，故②错误； ③由于的值约为7.866，大于6.635，故有的把握认为两个变量有关，故③正确； ④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指，故④正确. 故选：D. 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，再利用导数的几何意义计算即可. 【详解】依题意，，则，解得， 则， 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为， 即. 故选：C. 5. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 6. 已知的二项展开式中二项式系数和为32，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数和，解出，再以为整体，利用二项式定理求解系数即可. 【详解】由题意知，解得， 又 ， 则. 故选：A. 7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（ ）（附：若，则 A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 8. 以下几个命题中，其中真命题的序号为（ ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A. ① B. ①② C. ①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的概念、基本性质，圆锥曲线中的轨迹问题，逐一判断即可. 【详解】①双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故①正确； ②因为定点在直线上，所以到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，故②错误； ③若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离， 当大于或等于两个定点间的距离时动点的轨迹不是双曲线，故③错误； ④由知是线段的中点， 所以，所以在以为直径的圆上，即动点的轨迹为圆，故④错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线的概念、性质及轨迹问题，解题的关键是要准确掌握圆锥曲线的概念，及对基本知识的理解与应用. 二､多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值就越接近于1 B. 对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越大 C. 随机变量，若，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据样本相关系数，独立性检验，二项分布的均值和方差，回归直线方程即可求解. 【详解】对于A中，根据相关系数的含义，可得当时，相关性越强，所以A正确； 对于B中，对于独立性检验，的观测值越大， 推断“零假设”成立的把握越小，可判定B错误； 对C中，由随机变量，因为， 可得，解得，可判定C正确； 对于D中，以拟合一组数据时， 经代换后的线性回归方程为， 可得且，所以，所以D错误. 故选：AC. 10. 克州某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的无花果，甲地块产出无花果中一级果个数占，乙地块产出无花果中一级果个数占，丙地块产出无花果中一级果个数占.已知甲､乙､丙地块产出的无花果个数之比为，现将三个地块产出的无花果傥匀后混放一堆，则下列说法正确的是（ ）. A. 任取一个无花果是甲地块产出的概率为 B. 任取一个无花果是甲地块产出的一级果的概率为 C. 任取一个无花果是一级果的概率为 D. 如果取到的一个无花果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由全概率公式，条件概率，逐项分析即可. 【详解】已知甲､乙､丙地块产出的无花果个数之比为， 对于A，任取一个无花果是甲地块产出的概率为，故A错误； 对于B，任取一个无花果是甲地块产出的一级果的概率为，故B正确； 对于C，任取一个无花果是一级果的概率为，故C正确； 对于D，设事件表示：“取到的一个无花果是一级果”，事件表示“取到的无花果是由甲地块产出的概率”， 所以由C选项得， 如果取到的一个无花果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据题意直接得到和，进而得到，即可得到椭圆方程；对于B，判断与椭圆是否有公共点，即可判断是否存在满足题意的点；对于C，设，根据余弦定理得到，进而得到，结合三角形面积公式即可求解面积；对于D，设直线，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理结合条件求解直线的斜率即可. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则， 在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线， 由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查几何与代数，涉及椭圆的标准方程､定义､性质､焦点三角形等，在处理焦点三角形问题时，往往结合椭圆的定义以及余弦定理来进行解决. 三､填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化为，根据双曲线方程的特征得到双曲线的虚轴长. 【详解】若方程表示双曲线，显然， 则由可得，所以， 该双曲线的虚轴长为， 故答案为：. 13. 若随机变量，且随机变量，则__________. 【答案】21.6 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为：21.6. 14. 已知曲线和，若直线与这两条曲线都相交，交点分别为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求导，利用导数分析的单调性和最小值，可得的最小值. 【详解】令， 则， 因为，则， 令，可得；令，可得； 可知在单调递减，在单调递增， 则，即的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：共5题.第15题满分7分，第16､17题满分9分，第18､19题满分12分，共49分. 15. 已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16. （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用已知列出关于的等式，求解即可； （2）利用（1）的结论，写出展开式的通项，得到关于的等式，求解即可. 【小问1详解】 ， 解得或（舍）， 故的值为5. 【小问2详解】 由（1）可知，展开式的通项为 当时，，则为含的项， 所以，又因为，解得. 故实数的值为2. 16. 已知函数在处取得极值，在点处的切线的斜率为. （1）求的解析式； （2）求在区间上的单调区间和最值. 【答案】（1）； （2）答案见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意得，待定系数可得函数，再验证处取到极值即可； （2）先通过函数的导函数得函数的单调区间及极值，再比较区间端点处的函数值与极值大小可得最值. 【小问1详解】 函数， 则， 依题意，，解得， 所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则在处取得极值，满足题意. 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极大值，在处取得极小值， 又， 因此. 所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为， 的最大值为，的最小值为. 17. 在9件产品中有3件次品和6件正品，连续抽取3次，每次抽1件，求： （1）当不放回抽样时，抽取次品数的均值； （2）当放回抽样时，抽取次品数的均值. 【答案】（1）1； （2）1. 【解析】 【分析】（1）计算出的所有可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）根据题意得到，从而求出抽取次品数的均值. 【小问1详解】 随机变量的所有可能取值为. ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 的均值为. 【小问2详解】 由题意知，每次取到次品的概率为， 所以随机变量， 所以的均值为. 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【答案】（1） （2）证明：设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件以及之间的关系，求出，即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得两根之和与两根之积，列直线的方程，令，求得点的横坐标，化简可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 略 19. 乒乓球运动在我国非常普及，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动员的基本功之一.打100个球，若有超过90个打到对方球台的指定位置称为优秀，否则称为一般.在练球时，打球动作有规范动作和不规范动作两种，在接受训练的学员中，训练满10次而不满20次记为第1组，训练满20次而不满30次记为第2组，...，训练满次而不满次记为第组.某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在规范动作和不规范动作的两群体中各抽取50人（在组数1~5组中各随机抽取10人），进行测试得出关于优秀个数的表1和表2如下所示： 表1：有规范动作的50名学员测试结果（优秀个数） 组数 1 2 3 4 5 优秀个数 2 4 5 7 8 表2：有不规范动作的50名学员测试结果（优秀个数） 组数 1 2 3 4 5 优秀个数 0 1 2 3 4 （1）填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否判断学员优秀与练球时的规范动作有关联？ 优秀 一般 合计 规范动作 50 不规范动作 50 合计 （2）在表1规范动作的学员测试结果中，记表示组数，表示优秀个数. （i）求样本相关系数（精确到0.01），并判断与是否有较强的线性相关关系（当时，可以认为两个变量有较强的线性相关关系；否则，没有较强的线性相关关系）； （ii）求关于的经验回归方程. 参考公式及数据：样本相关系数，，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为.，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关联； （2）（i）0.86，有较强的线性相关关系；（ii）. 【解析】 【分析】（1）填写列联表，计算，可判断； （2）（i）计算，可判断； （ii）计算.可得，即可得回归直线方程. 【小问1详解】 填写列联表如下， 优秀 一般 合计 规范动作 26 24 50 不规范动作 10 40 50 合计 36 64 100 零假设为：学员优秀与练球时的规范动作无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学员优秀与练球时的规范动作有关联. 【小问2详解】 （i） 因为，所以说明与有较强的线性相关关系. （ii）， 所以经验回归方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $