5.6几何证明举例 学案 2024—2025学年青岛版数学八年级上册

5.6几何证明举例(一) 教学目标：1、证明角角边定理，并会运用上述定理，证明有关的命题 2、掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的思路，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式 教学重点：证明角角边定理，并会运用上述定理 教学难点：灵活运用全等三角形4个判定方法解决相关问题 教学过程： 一、回顾: 1、 全等三角形的四个判定方法是什么？ 2、 本书中，涉及三角形全等的基本事实有几个？分别是什么？你能用它们作为基本事实，证明判定方法3吗？ 二、新授 探究：证明：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 已知:如图， 求证： 证明:在 证明: 在 中 今后，我们把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。简称AAS 利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等 例1、 已知，如图，AB=CB,AD=CD, 求证： 分析：在证明两个角或两条线段相等时，可考察它们 是否在给出的两个全等三角形中，若不在，可以 尝试通过添加辅助线，构造两个全等三角形，使 待证的角或线段分别是这两个全等三角形的对应 角或对应边 练习1、已知：如图, 求证：. 练习2、(1)如图，已知，A,C,D,F四点在同一条直线上， 求证： (2)如果，将图1分别变化成图2,图3后，（1）中的结论是否发生变化？证明过程是否发生变化？若有，有什么变化 三、挑战自我：做出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质？对应边上的中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论 四、课堂小结：本节课的收获？ 五、课下作业 1、如图,点在上,,若要用“”来证明,还需补充的一个条件是：_________. 2、如图,要用“”来证明△△,应添加的条件是　　　　　　　　。 3、小明不小心打碎了如图所示的玻璃.玻璃店老板根据未破部分重新划出一块与原来玻璃完全相同的玻璃块,其原理是__________________。 4、在和中,已知要判定这两个三角形全等,可以添的条件是( ) A. B. C. D. 5、如图，图中两个三角形全等的理由是________________________. 6、如图，,相交于点,要用“”来证明，应添加的条件为　　　　　　　　　. 7、如图,垂足分别为平分 （1）是否全等?为什么? （2）若连接BD，交AC于点O，那么线段AC,BD什么位置关系？ 8 、如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点 （1）求证：AF⊥CD； （2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？ 9、 5.6几何证明举例(二) 学习目标： 1、 经历探索等腰三角形性质的过程，掌握等腰三角形的两个性质、判定和等边三角形的性质及判定。 2、 掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的方法。 学习重点：等腰三角形、等边三角形的性质以及判定 学习难点：会通过分析的方法探索证题的方法 学习过程： 1、 知识回顾 （1） 等腰三角形ABC是轴对称图形吗？ （2） 等腰三角形的性质是什么？你会证明吗？ 已知： 求证： 由此得到：等腰三角形的性质定理1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思考： 你是怎样想到辅助线的？它是等腰三角形的　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　线。 由此得到：等腰三角形的性质定理2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 你能说出等腰三角形的性质定理1的逆命题吗？并证明它是真命题。 已知： 求证： 由此得到：等腰三角形的判定定理 思考：等边三角形的性质和判定？ 等边三角形的性质定理： 等边三角形的判定定理： 例2、如图，在△ABC中，AB=AC, D为AB上的一点，DE⊥BC,交 BC于E，交 CA的延长线于F 求证：AD=AF 三、课堂练习 1、等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为∠ABC的平分线，交AC于D，∠BDC=75°，那么∠A的度数是（ ） A.10° B.20° C.30° D.40° 2、等边三角形两条中线所组成的钝角的度数是（ ） A、120° B、130° C、150° D、160° 3、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个等腰三角形的另两个角应该为 4、已知∠BAC=100°，AD⊥BC与D，AB=AC,求∠B、∠BAD的度数。 5、如图，在△ABC中，AB=AC,∠DAC是三角形的一个外角， AE平分∠DAC.AE与BC平行吗？说明你的理由。 6、如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数。 四、课堂小结：这节课你都学习了什么？你有哪些收获？ 五、课下作业： 1、已知一个等腰三角形两个内角的度数上的比为1:4.，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A、20° B、120° C、20°或120° D、36° 2、如图在△ABC中，，，求和的度数。 2题 3题 4题 5题 3如图、点、是在△ABC边上的两点，且， 则 。 4、如图、在△ABC为等边三角形，、、分别是、、上的点， 且，，则 。 5、如图在△ABC中，AB=AC, AE=AD且,∠CDE =12°，那么∠BAD= 6、在△ABC中，，其中一角度数为，则另外两角度数为（ ） A．， B．， C．，或， D．不能确定 7、已知在△ABC中，，，在直线或上取一点， 使得△ABP是等腰三角形，则所符合条件的点有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 8、在△ABC中，AB=BC,∠ABC=80°,AD=CD,DE∥BC，求∠EDB的度数。 9、如图，在△ABC中∠B和∠C的平分线交于点D,EF经过点D且EF∥BC。 求证EF=BE+CF 5.6几何证明举例(三) 教学目标： 1、 能够对线段垂直平分线的定理及其逆定理进行严密的证明。 2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一．复习回顾： 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 二．新课学习： 知识点一、证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 已知：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，点C在直线m上， 求证：AC＝BC. 证明： 应用格式： 巩固练习： ( A C B D E )1.如图，在中，AB的垂直平分线交AC于D,AC=5cm，BC=4cm， 那么的周长是_________ ( A B C E D )2、中，AB=AC,D为AB中点，且.若的周长为8，且, 求AB、BC的长。 知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC 求证：点C在直线m上. 证明： 应用格式： 巩固练习： 1、 到三角形三个顶点距离相等的点在________________________________. 2、 如图，要在街道旁修建自来水站，向居民区A、B居民区提供自来水，自来水站 ( 居民区 A 街道 B )应建在什么地方，才能使A、B两个居民区到它的距离相等？ 三、课堂小结：总结本节课的收获。 ( A ′ O M N B C )四．课堂检测： 1、 已知点A是锐角内的一点，分别作点A关于OM、ON 的对称点、,连接,分别交OM、ON于点B、C， 测得=2.2cm，则的周长为__________。 2、如图，∠A=90°，DE是斜边BC的垂直平分线，且与边AC，BC分别 ( C B A D E )相交于点D，E。若∠ABD=∠C+6°，求∠BDC的度数。 ( A B C E F )3、如图， △ABC中，AB=AC，AC边的垂直平分线DE交CB的延长线与E，交AB于点F，若∠A=50°，求∠EFC的度数。 4、已知：线段 求作：△ABC，AB=AC，BC=，BC边上的高线AH= （保留作图痕迹，不写作法） 五．课后练习： ( A B C E D ) 1.如右图，中，AB=AC，，AB的中垂线DE交AC 于D，交AB于E。则下述结论正确的是（ ） （1）BD平分； （2）AD=BD=BC； （3）的周长等于AB+BC； （4）D是AC的中点 A （1）（4） B （1）（2）（4） C （3）（4） D （1）（2）（3） 2、如图，△ABC的一边BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E。如果△ACD的周长为17cm，△ABC的周长为25cm。根据这些条件，你可以求出BC长吗？ ( A D B C E ) ( A B C M D N )3、如图，AB=AC，，AB的垂直平分线MN交AC于D，求的度数。 ( A E D C F B O )4、如图：在四边形ABCD中，AD∥BC,EF垂直平分AC,分别交AD,BC于点E，F。连接AF。试说明：AE=AF 5.6几何证明举例(四) 学习目标：1．掌握用已经学过的全等三角形判定方法来判定两个直角三角形全等。 2．探索并掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等。 学习重点：直角三角形全等的判定方法的灵活运用。 学习难点：运用全等直角三角形的判定方法解决问题。 方法：观察、比较、合作、交流、探索. 学习过程： 一、情境探究，引入新课 思考下面的问题，并与同学交流. （1）要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？ （2）在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C 和∠C' 都是直角，AB = A'B'，AC = A'C' . 能判定 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 全等吗？ 二、探索规律，得出结论 直角三角形全等的判定定理：如果一个直角三角形的 与另一个直角三角形的 分别相等，那么这两个直角三角形 全等. 这个定理可以简单地记作“ ”或“ ” . 在上面（2）提出的问题中，如果将两个直角三角形的斜边 A'B' 与 AB 重合，你能得到（2）中的结论吗？与同学交流. 想一想：学过斜边、直角边公理后，两直角三角形全等的判定可以有几种方法？ 强调：我们在判定两直角三角形全等时，应根据情况选择不同的判定方法，而不能只记得HL。 练习：判断，满足下列条件的两个三角形是否全等？为什么？ A．一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形。 B．一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形。 C．两直角边对应相等的两个直角三角形。 D、有两边对应相等的两个直角三角形。 三、运用所学、解决问题 例3 已知：如图5-24，D 是 △ABC 的边BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE = DF .求证：△ABC 是等腰三角形. 例4 已知一直角边和斜边作直角三角形. 已知：线段 l，m（l＜m）. 求作：Rt△ABC，使它的直角边 AC 和斜边 AB 分别等于 l，m . 四、课内练习 1. 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且 BD= CE， 求证：△ABC 是等腰三角形. 2. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，EC 与 FB 相交于点O，AE = DF，EC = FB . 求证：OB = OC . 五、小结拓展、知识汇总 直角三角形全等的判定方法有哪些？ 六、课下作业：（一）作业精编P82、P83 1——16题 （二）1、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等 2、下列说法中，错误的是（ ） A、三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B、已知两个锐角不能确定一个直角三角形 C、已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形 D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形 3、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H， ( A B C D E H )且BH=AC，DH=DC，求∠ABC度数。 4、已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC. 5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。 ( A B C D E O ) 学科网（北京）股份有限公司 $$