第三章 幂、指数与对数（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03：对数概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 知识点04：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点05：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点06：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 03 题型归纳 题型一 根式化简求值　 例题1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一·上海·专题练习）化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 巩固训练 1．（23-24高一·全国·单元测试）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，化简： . 题型二 指数幂的运算　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若，则m的值为 ． 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 例题3．（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简. 2．（2024高一·上海·专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）. 3．（2024高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 题型三 指数幂的化简求值　 例题1．（23-24高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 例题2．（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 例题3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）(1)计算：； (2)已知，求的值. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）化简下列各式 （1） （2） 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 题型四 对数的概念判断与求值　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 题型五 指数与对数的相互转化　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024高一·全国·专题练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 题型六 对数运算　 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 例题3．（23-24高一·浙江·阶段练习）化简、求值： （1）化简：； （2）已知，求实数的值； （3）计算：． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：． 3．（2024高一上·上海·专题练习）求值： 题型七　对数运算性质及其应用 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）若正实数满足，可以用的代数式表示，即 例题2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值． 巩固训练 1．（2024·上海奉贤·三模）若，则 ．（结果用的代数式表示） 2．（2024·上海·三模）已知，，则 （用、表示） 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 题型八 换底公式　 例题1．（23-24高一下·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值． ； ； ． 2．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03：对数概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 知识点04：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点05：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点06：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 03 题型归纳 题型一 根式化简求值　 例题1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误. 【详解】对于A，，所以，错误； 对于B，因为，所以，则，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误． 故选：C． 例题2．（2024高一·上海·专题练习）化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）-4；（2）4；（3）当x≥-2时，原式=x+2，当x<-2时，原式=-x-2. 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【详解】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4. （3）原式=|x+2|= 巩固训练 1．（23-24高一·全国·单元测试）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的知识可得答案. 【详解】等式成立的条件是，即. 故选：D 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，化简： . 【答案】 【分析】根据的运算性质，结合即可求解. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为：. 题型二 指数幂的运算　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】将两边平方后可求m的值. 【详解】因为，则且， 故，故， 故答案为： 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)7 (2)47 (3) 【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值； (2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值； (3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）∵，，， ∴， ∴． 例题3．（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)100 (3)3 (4) 【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . （4）原式. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算律进行运算化简. 【详解】 ， 所以化简结果为. 2．（2024高一·上海·专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）原式==. （2）原式===. （3）原式==. 【详解】（1）原式====. （2）原式======. （3）原式===. 3．（2024高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 题型三 指数幂的化简求值　 例题1．（23-24高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂化简即可. 【详解】=,选C. 【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题. 例题2．（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【答案】(1)；(2)100；(3)3；(4)；(5). 【分析】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【详解】(1)原式. (2)原式. (3)原式. (4)原式. (5)原式. 例题3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）(1)计算：； (2)已知，求的值. 【答案】(1)10；(2) . 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出． （2）由平方得，进而得，再利用即可得出． 【详解】(1)原式 (2)由 得 ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）化简下列各式 （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ） 【分析】（I）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【详解】（Ⅰ）原式. （Ⅱ）原式. 【点睛】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 题型四 对数的概念判断与求值　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【详解】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 题型五 指数与对数的相互转化　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 2．（2024高一·全国·专题练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 【答案】(1)log2 (2) (3)103＝1 000 (4) 【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可. 【详解】（1）由2－7＝，可得log2＝－7. （2）由，可得＝32. （3）由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. （4）由，可得e2＝x. 题型六 对数运算　 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 例题3．（23-24高一·浙江·阶段练习）化简、求值： （1）化简：； （2）已知，求实数的值； （3）计算：． 【答案】（1）（2）1000（3）2 【解析】（1）利用指数的运算法则计算即可（2）根据对数的性质化简即可（3）利用对数的运算法则化简求值即可. 【详解】（1） （2）， ， ， ， （3） 【点睛】本题主要考查了指数运算法则，对数运算法则，对数的性质，属于中档题. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值． 【答案】． 【分析】利用对数的运算性质化简已知等式可得，所以，注意到真数大于零，即可求出的值，从而求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，又，，， ∴即， ∴． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：． 【答案】. 【分析】利用指数运算律和指对数恒等式，来计算即可. 【详解】 ． 3．（2024高一上·上海·专题练习）求值： 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】 . 题型七　对数运算性质及其应用 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）若正实数满足，可以用的代数式表示，即 【答案】 【分析】根据对数运算性质求解出的关系式，然后可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得，即可求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又， 当且仅当，即时等号成立，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值． 【答案】． 【分析】利用对数的运算性质化简已知等式可得，所以，注意到真数大于零，即可求出的值，从而求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，又，，， ∴即， ∴． 巩固训练 1．（2024·上海奉贤·三模）若，则 ．（结果用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质化简即可. 【详解】. 故答案为：. 2．（2024·上海·三模）已知，，则 （用、表示） 【答案】/ 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算即可. 【详解】由，得， 又. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 【答案】/ 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 题型八 换底公式　 例题1．（23-24高一下·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，再利用对数运算法则及换底公式求解即得. 【详解】由都是非零常数，设，则， 所以 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换底公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） ； （2） ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值． ； ； ． 【答案】 2 6 2 【分析】由对数的运算性质计算即可. 【详解】第一空：； 第二空：； 第三空： 故答案为：2；6；2 2．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$