精品解析：辽宁省阜新市第四中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

2023—2024学年度（下）第四中学质量检测（月考） 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0或2 C. 0 D. 3. 下列各式：，，，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 下列各多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一次函数，的图象，观察图象，则当时的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，不含因式a+1的是（　　） A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣1 D. 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11 因式分解： _____． 12. 已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是______． 13. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 14. 如图，线段的两端点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至线段处，则____________． 15 有下列说法： ①平行四边形对边平行且相等； ②平行四边形是中心对称图形； ③平行四边形的对角线相等； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中说法正确的序号是____________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）解不等式组 （2）解方程 17. 先化简，再求值：，选择一个你喜欢整数代入求值 18. 如图，P是内的一点，，，垂足分别为点E，F，，求证： （1）； （2）如果，，求出四边形的面积 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）画出将先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，并写出的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到，并求出点走过的路径长． 20. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 21. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证： （2）若，，，求的长和的面积． 22. 我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； （2）已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：． ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：． （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）第四中学质量检测（月考） 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．理解中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0或2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：C． 3. 下列各式：，，，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式，据此可得答案． 【详解】解：在式子，，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 4. 如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 5. 下列各多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的判断，将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将这个多项式分解因式，方法有提公因式法，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键 【详解】解：A. ，提公因式错误，故计算错误，不符合题意； B.等号左边是三项，而等号右边是两项，两边不相等，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. 根据完全平方公式分解，正确，符合题意， 故选：D 6. 如图是一次函数，的图象，观察图象，则当时的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数交点问题，比较一次函数值大小，当，即的图象在图象的上方，根据图象直接得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象知，一次函数，的图象交点横坐标为1， 当，即的图象在图象的上方时，， ∴当时的x的取值范围为， 故选：D． 7. 下列各式中，不含因式a+1的是（　　） A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. 2a2+2a=2a(a+1) ，故不符合题意； B. a2+2a+1=(a+1)2 ，故不符合题意； C. a2﹣1=(a+1)(a-1) ，故不符合题意； D. =(a+)2，故符合题意； 故选D. 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到位置，使，则旋转角的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得， ∴， ∴， 在中，， ∴旋转角的度数为，   故选：C ． 9. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题关键是正确找出题目中的等量关系，用代数式表示出等量关系中的各个数量． 设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意列方程即可． 【详解】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均每小时走千米， 根据题意可列方程为． 故选：D． 10. 如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】分析：连接BO，CO，可以证明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，从而判断①正确； 通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②错误； 由△OBD≌△OCE，得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积，从而判断③正确； 过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE= ．在Rt△DIE中，DE== =，△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，从而判断出④正确． 详解：连接BO，CO，过O作OH⊥BC于H． ∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°． ∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确； 当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误； ∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2． ∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面积==． ∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=，故③正确； 过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=． ∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=．在Rt△DIE中，DE== = =，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．故④正确． 故选C． 点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质．解题的关键是证明△OBD≌△OCE． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用．根据分解因式的方法，首负先提负，放进括号里的各项要变号，再提取公因式，括号里的剩下项，考虑完全平方公式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】a＜﹣3 【解析】 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限， ∴， 解得a＜﹣3． 故答案为：a＜﹣3． 【点睛】本题考查了点的坐标与一元一次不等式组的解法，解题的关键是根据点在第四象限列出一元一次不等式组求解即可． 13. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 14. 如图，线段的两端点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至线段处，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，由平移的性质可得点A到的平移方式与点B到的平移方式相同，则，据此求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至线段处， ∴点A到的平移方式与点B到的平移方式相同， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 有下列说法： ①平行四边形对边平行且相等； ②平行四边形是中心对称图形； ③平行四边形的对角线相等； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中说法正确的序号是____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中心对称图形的定义，根据平行四边形的性质和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：①平行四边形对边平行且相等，原说法正确； ②平行四边形是中心对称图形，原说法正确； ③平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，原说法正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）解不等式组 （2）解方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握各解法是解题的关键： （1）先分别求出每一个不等式的解集，即可得到不等式组的解集； （2）先去分母解整式方程，再检验即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组解集为 【小问2详解】 去分母，得， 解得， 检验：当时， ∴分式方程的解是． 17. 先化简，再求值：，选择一个你喜欢的整数代入求值 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴，且， ∴当时，原式． 18. 如图，P是内的一点，，，垂足分别为点E，F，，求证： （1）； （2）如果，，求出四边形的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）根据证明，即可得到； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，得到，根据勾股定理列得，求出，即可求出多边形的面积 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， 和中 ∴, ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得（负值舍去） ∴四边形的面积 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）画出将先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的，并写出的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到，并求出点走过的路径长． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，求弧长： （1）根据所给平移方式求出A、B、C对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点得到对应点，再顺次连接，再根据弧长公式求出对应的路径长即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由题意得点走过的路径长即为的长， 由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴的长为， ∴点走过的路径长为． 20. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗． 【解析】 【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可； （2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元， 依题意有， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解， x+10=30+10=40， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元； （2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有 30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500， 解得y≤11， ∵y为整数， ∴y最大为11， 答：他们最多可购买11棵乙种树苗． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键. 21. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证： （2）若，，，求的长和的面积． 【答案】（1）见解析 （2），的面积为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 证明：在中，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ； 过作交的延长线于， ，， ， ， ， ， 的面积． 22. 我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； （2）已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①；② （2）14 【解析】 【分析】此题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）①将放为一组，根据平方差公式分解因式； ②将3拆为，根据完全平方公式和平方差公式分解因式 （2）将原等式化为，求出a，b，c的值，即可得到周长． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴的周长为． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：． ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：． （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）77 【解析】 【分析】(1)①在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②过A作交延长线于G，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； (2) 在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，则可得出结论； (3) 过A作于H，证明，得出，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①选择小辉同学的思路， 证明：如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②选择小龙同学的思路， 证明：过A作交延长线于G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∵， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵是边上的中线， ∴平分， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）过A作于H， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$