压轴题04 圆锥曲线的离心率（五大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题04 圆锥曲线的离心率 目录 解题知识必备 3 压轴题型讲练 3 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 3 类型二、焦点三角形求离心率 4 类型三、焦点弦求离心率 5 类型四、双曲线渐近线求离心率 6 类型五、离心率的取值范围 6 压轴能力测评（10题） 8 椭圆的离心率 1.椭圆离心率公式1： 2.椭圆离心率公式2：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 3.椭圆离心率公式3：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点，=，=β，则 4.椭圆离心率公式4：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时， 注：而不是 5.椭圆离心率公式5:若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有 双曲线的离心率 1.双曲线离心率公式1：e= e= 2.双曲线离心率公式2： 已知双曲线方程为两焦点分别为为双曲线上一点，设焦点三角形，则. 3.双曲线离心率公式3： 以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率 （） 4.双曲线离心率公式4：或者 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜 率，，(注：而不是)则 (1) 当曲线焦点在x轴上时，e= (2) 当曲线焦点在y轴上时，e= 5.双曲线离心率公式5：若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 【例题讲解】 例1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线与C交于A，B两点（不在坐标轴上），坐标原点为O，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________. 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 3.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 4.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 类型二、焦点三角形求离心率 【例题讲解】 例1.已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆T上一点，且，若的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率 ． 2.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.椭圆Γ：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线 y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于_______ 类型三、焦点弦求离心率 【例题讲解】 例1.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C．2 D． 【变式训练】 1.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 2.点分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为 ． 3.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（       ）. A． B． C． D． 5.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 6.已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率 类型四、双曲线渐近线求离心率 【例题讲解】 例1.已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 类型五、离心率的范围 【例题讲解】 例1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 2.已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 3.已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且与轴垂直的直线与交于点，且，则该双曲线离心率的取值范围是 . 4.已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 2.已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 3.记椭圆：与圆：的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 5.直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 6.已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 7.设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线的离心率 目录 解题知识必备 3 压轴题型讲练 3 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 6 类型二、焦点三角形求离心率 9 类型三、焦点弦求离心率 15 类型四、双曲线渐近线求离心率 16 类型五、离心率的取值范围 19 压轴能力测评（10题） 27 椭圆的离心率 1.椭圆离心率公式1： 2.椭圆离心率公式2：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 3.椭圆离心率公式3：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点，=，=β，则 4.椭圆离心率公式4：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时， 注：而不是 5.椭圆离心率公式5:若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有 双曲线的离心率 1.双曲线离心率公式1：e= e= 2.双曲线离心率公式2： 已知双曲线方程为两焦点分别为为双曲线上一点，设焦点三角形，则. 3.双曲线离心率公式3： 以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率 （） 4.双曲线离心率公式4：或者 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜 率，，(注：而不是)则 (1) 当曲线焦点在x轴上时，e= (2) 当曲线焦点在y轴上时，e= 5.双曲线离心率公式5：若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 【例题讲解】 例1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线与C交于A，B两点（不在坐标轴上），坐标原点为O，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆定义得，又，故， 因为，故，故， 又， 故，即⊥， 设，则，， 由勾股定理得，即， 解得或， 当时，，则， 由勾股定理得，即，解得， 此时A，B两点不在坐标轴上，满足要求， 当时，，则， 此时A在轴上，不合要求，舍去， 综上，离心率为. 【变式训练】 1.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________. 【答案】 【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O， 又因为， ，故， 又，所以，，取C的左焦点为 ，连接 ，则， 所以，所以，所以C的离心率为，故答案为： 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【解析】依题意，，而O为线段的中点，且，所以P是的中点， 所以OP是中位线，所以，又，则， 由，所以点P在双曲线C的右支上，由， 令，则， 又，所以点Q在双曲线C的左支上， 由，又P是的中点， 所以，所以， 在中，由勾股定理可得，， 即，整理可得， 在，由勾股定理可得，， 即，化简，又， 所以，则． 故答案为： 3.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】点为线段的中点，且，则, 设，则， 又为直角三角形，，即， ，，由双曲线的定义可得，，，， ，又，在中，由余弦定理可得 ，，离心率.故选：A 4.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：由双曲线定义知， 则，，所以， ∴的周长为，∴，， 由， 所以，故，∴，∴，，∴， 在中，，故.故选：A. 类型二、焦点三角形求离心率 【例题讲解】 例1.已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆过椭圆的两个焦点， 因为为圆与椭圆的交点，所以， 因为， 设，可得，， 所以， 所以， 在中，， 即，解得或， 解得或（舍去）， 此时点为椭圆短轴的顶点， 又，解得（负值舍去）， 且，， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以． 故选：B． 【变式训练】 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆T上一点，且，若的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率 ． 【答案】 【解析】 因为，且，， 所以 ， 所以， 所以的面积． 设的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， 由正弦定理可得，可得． 易知的周长， 利用等面积法可知，解得． 又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即， 所以，即， 所以，故离心率． 故答案为： 2.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，若，，， ∴，即，得， ∵，得， ∴在中，，即， ∴.故选：A 3.椭圆Γ：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线 y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于_______ 【解法一】∵由y＝(x＋c)知直线的倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°. ∴∠F1MF2＝90°.∴MF1＝c，MF2＝c. 又MF1＋MF2＝2a，∴c＋c＝2a，即. 【解法二】===-1。 类型三、焦点弦求离心率 【例题讲解】 例1.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】：设，则，从而，进而.过作，则.如图：在中，，； 在中，，即，所以.故选：A 【变式训练】 1.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】 令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 2.点分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题可得，如图， 取的中点，连接，则． 设，则， 所以，所以． 因为直线的斜率为，所以． 又，所以， 则， 所以． 在中，， 即，解得， 即双曲线的离心率． 故答案为：. 3.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：由题意，如图： 设，因，则， 由椭圆的定义知，，， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 在中，由余弦定理得：， 即，即，即， 所以，椭圆的离心率为.故选：A. 4.已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：由题意作出草图，如下图所示， 由椭圆的定义可知， ， ，则， ，，，则， 在中由余弦定理可得， 在中有余弦定理可得， ，，， 化简得，.所以椭圆的离心率为．故选：C 5.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 6.已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率 【答案】 【详解】利用和差化积公式可得：. 由两边同时乘以可得：，即. 设，，，则. 在中，由正弦定理可得， 所以. 所以该椭圆离心率. 故答案为： 类型四、双曲线渐近线求离心率 【例题讲解】 例1.已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：渐近线方程为，设切线方程为，联立得： ，由得：， 解得：，所以切线方程为，令得：，所以，联立与，解得：，联立与，解得：，因为N为MQ的中点， 所以，解得：，所以离心率为故选：A 【变式训练】 1.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. 2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【解析】易知关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴，∴． 故答案为: 2. 类型五、离心率的范围 【例题讲解】 例1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确. 故选：D 【变式训练】 1.已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 【答案】B 【解析】法一：设直线方程， 与联立得， 设两交点坐标为， 则， 解得，即， 离心率; 法二：易知渐近线方程为,由题意得，离心率， 故选:B. 2.已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题，， 设，由中点坐标公式得， 代入中，得，整理得， 又，得，得． 故答案为：. 3.已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且与轴垂直的直线与交于点，且，则该双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为， 如图， 由题意，，， 则． 由，得， 即． ． 故答案为： 4.已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限， 到渐近线的距离为， 即，设，则，， 由得， 故，， . 故选:C 5.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义 在中，由正弦定理得，因为，所以，所以， 因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得， 因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C 1.已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为， 抛物线的准线过双曲线的焦点， ， 又到的距离，即， ，， ，则， ，得， 过作轴，则， 故， 因此 由于在抛物线上，所以即， ，故， 故． 故选：C． 2.已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，设，圆的圆心为，半径为， 过点的直线与圆相切于点，则，， ，则，所以， 因为轴，所以易得，， 化简得，即，解得， . 故选：D. 3.记椭圆：与圆：的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可知点，分别为椭圆的左右顶点，所以，， 设点在第一象限，设点，所以， ， 所以，. 故选：. 4.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接，依题意可得，所以， 所以， 所以， 所以， 则的坐标为，所以，即， 可得，化简得，解得，即． 故选：A 5.直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得，又、关于原点对称， 故，，， 则， 由，故，故有， 化简可得，即有，， 由，则有，即， 即. 故选：B. 6.已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得， 又由双曲线定义得，即，又， 故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入， 解得，即，又，则，故， 又，则，，在中，由余弦定理得， 即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为. 故选：A. 7.设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知，即存在点使得． 记短轴端点为顶点和焦点，所对应的角为，因此， 即．而． 故选：A． 8.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而，而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ，从而，，即， 故选：B． 9.已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设的焦距为，点，由的离心率为2可知， 因为，所以，将代入的方程得，即， 所以， 故． 故选:A． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即为，即为，可得．所以． 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示， 由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，． 又，所以． 设，则，所以， 所以切点D为双曲线的右顶点，所以， ． 在中，由勾股定理得， 整理得，即，解得， 又因为，所以C的离心率为，故答案为：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$