1.4 用一元二次方程解决问题（第3课时，行程（或动点）问题）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第三课时 行程（或动点）问题 1.4 用一元二次方程解决问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.找出几何图形动点的等式，建立一元二次方程的数 学模型. （难点） 2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点） 4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点） 情景导入 动点问题是一般几何问题的延伸，要用运动的观点看待问题。 ！！！ 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30 km的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75 km/h的速度在B处将可疑船只拦截.缉私艇从C处到B 处需航行多长时间？ 北 A C B 用一元二次方程解决行程问题 新知探究 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30 km的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75 km/h的速度在B处将可疑船只拦截.缉私艇从C处到B 处需航行多长时间？ 北 A C B 分析：设缉私艇从C 处到 B 处需航行 xh，则 AB = 60x km，BC= 75x km. 根据题意，可知△ABC 是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程. 解：设缉私艇从C处到 B 处需航行xh， 则 AB = 60x km，BC =75x km. 根据题意，得 ABC是直角三角形，AC=30 km. 于是 （60x）²+30²=（75x）². 解这个方程，得（不合题意，舍去）。 答：缉私艇从C处到B处需航行号h. ④求解（舍去不合题意的解） ⑤验算 ①审题意明确动点起点终点速度路线 ②用含时间的式子正确表达 ③列方程理清等量关系 例1.如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile (海里) 处有一目标B,在B的正东方向200n mile(海里)处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 东 北 A B C D F 典例剖析 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题1:小岛D与小岛F相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF= AB， ∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile, ∴DF⊥BC, DF =100n mile. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 东 北 A B C D F 问题2.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？ E 解: 设相遇是补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile, EF=AB +BF-(AB + BE) =(300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理得： 3x2 - 1200x + 100000 = 0 , 解方程得 (舍去) 1.如图，一艘巡洋舰从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该巡洋舰的速度为80海里/时． （1）求点B、D之间的距离； （2）试判断CD与AC的数量关系. 练一练 （2）∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC， ∵∠ACB+∠BAC=∠CBD=60°， ∴∠BAC=∠ACB=30°， ∴CD= AC 1.如图，一艘巡洋舰从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该巡洋舰的速度为80海里/时． （1）求点B、D之间的距离； （2）试判断CD与AC的数量关系. 练一练 用一元二次方程解决几何图形动点问题 新知探究 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC = 12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿 BC 以 2 cm/s 的速度向点C 移动.几秒钟后DPQ的面积等于 28 cm？？ 分析：设xs后△DPQ的面积为28 cm²， 则AP、PB、BQ、QC 的长度分别可用含x 的代数式表示， 从而Rt△DAP、Rt△PBQ、 Rt△QCD的面积也都可用含x的代数式表示，于是可以列出方程。 D C B Q A P 解：设xs后△DPQ的面积等于 28 cm²，则△DAP、△PBQ、QCD的面积分别为 . 根据题意，得 整理，得x2-6x+8 = 0.解这个方程，得 =2， = 4. 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28 cm². 例2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于6 cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由. 典例剖析 解：（1）设x秒后，△PBQ的面积等于6cm2， 依题意得：（5一x）2x=6， 解得：x1=2，x2=3. 故2秒或3秒后，OPBQ的面积等于6 cm2； （2）设x秒后，PQ的长度等于5cm， 依题意，得：（5-x）2+（2x）2=52， 解得：x1=0（舍）x2=2. 故2秒后，PQ的长度等于5 cm； （3）设x秒后，△PQB的面积等于8cm2. 依题意，得：（5-x）2x=8， 化简得x2-5x+8=0， △=（-5）2-4x8=-7< 0，则该方程实数无解。 故△PQB的面积不能等于8 cm2. 2.如图，过点A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是M，N，若点P从0点出发，沿OM做匀速运动，1分钟可到达M点，同时点Q从M点出发，沿MA做匀速运动，1分钟可到达A点，问点P，Q出发多长时间后，线段PQ的长度为2？ 解：设点P，Q出发x分钟后，线段PQ的长 度为2， 依题意得：（2-2x）2+（4x）2=22， 解得：x1=0（舍），x2=0.4. 练一练 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ A B C D Q P 解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 . 答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2. (6 - t) 2t 练一练 4.等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，动点P从A点出发，沿AB向B移动，通过点P引平行于BC，AC的直线与AC，BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？ 练一练 解：设AP=x，PB=8-x 则S=底×高 由题意，得方程：CQ×PB=16 即得方程：x×（8-x）=16 整理：x2-8x+16=0 整理：x1=x2=4 则当AP=4cm，平行四边形PQCR的面积等于 16cm2. 概念归纳 几何图形问题中常见的等量关系有： ①题目中有直角三角形时， 借助勾股定理建立一个一元二次方程； ②题目中涉及图形面积时， 通过图形的面积公式建立方程. 概念归纳 根据一元二次方程求解几何图形动点问题时， 1.要利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题. 2.要利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程. 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=7cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距5cm？ 解：设运动x秒时，它们相距5cm，则CP=xcm，CQ=（7-x）cm，依题意有 x2+（7-x）2=52， 解得x1=3，x2=4， 故运动3秒或4秒时，它们相距5cm 随堂练 2.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 随堂练 解：设经x秒二人在B 处相遇， 这时乙共行AB=3x，甲共行AC+BC=7x， ∵AC=10， ∴BC=7x−10， 又∵∠A=90°， ∴BC2=AC2+AB2， ∴(7x−10)2=102+(3x)2， ∴x=0(舍去)或x=3.5， ∴AB=3x=10.5， AC+BC=7x=24.5， 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步. 随堂练 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动（点Q到达点C运动停止）.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发 t s（t>0）. （1）当t为何值时，PQ=6 cm？ （2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8 cm？？ 随堂练 解:根据题意，得 BP=AB-AP=6-t（cm），BQ=2t（cm）. （1）在Rt△PBQ中，根据勾股定理，得PQ²=BP² + BQ²=（6-t）²+（2t）² = 36，即 5t²-12t=0. ∵t≠0，∴t=2.4. ∴当t为2.4 时，PQ=6 cm. （2）根据题意，得PB·BQ=8， 则 t（6-t）= 8，即 t²-6t+8=0，解得 =2， =4. 故当t为2或4时，△PBQ的面积等于8 cm². 随堂练 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=16 cm，BC=6cm，点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，沿CD以2 cm/s的速度向点D移动，当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ. （1）当t=2 时，求 PQ 的长； （2）当 PQ=10 cm 时，求 t 的值. 随堂练 解（1）如答图，过点Q 作QH ⊥AB，垂足为H，则QH=BC=6 cm. 当t=2时，AP=3×2=6（cm），QC=2×2=4（cm）， ∴BH=QC=4 cm， ∴PH=AB-AP-BH=16-6-4=6（cm）， ∴PQ=. （2）如答图，当 PQ=10 cm 时，QH=BC= 6 cm， HP =AB-AP-BH=16-5t（cm）. ∴（16-5t）²+6² = 10²，解得 =4.8， =1.6. 故当PQ=10 cm时，t的值为1.6或4.8. 随堂练 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8 cm，点P从点A出发，沿AC边以1cm/s的速度向点C移动，在点C停止，点 Q 从点C 出发，沿CB 边以 2 cm/s的速度向点 B 移动，在点 B 停止. （1）如果点P，Q分别从点A，C同时出发，经过2s后， = cm². （2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问：点Q移动几秒后，=4 cm²？ （3）如果点P，Q分别从点A，C同时出发，经过几秒后，PQ=BQ？ 8 随堂练 （2）设点P 出发t s 时 =4 cm²，则点 Q 运动的时间为（t-2）s. 由题意，得（6-t）·2（t-2）=4， ∴t²-8t+16=0，解得 = =4. ∴当t=4时，PA=1×4=4（cm）， QC=2×（4-2）=4（cm），符合题意. ∴t-2=2. 故点Q移动2s后， =4cm². 随堂练 （3）设经过xs后，PQ=BQ， 则PC=（6-x）cm，QC=2x cm， ∴PQ=BQ=（8-2x）cm， 即（6-x）²+（2x）²=（8-2x）²， 解得=-10+8 ， =-10- （不符合题意，舍去）. 故经过（-10+8 ）s后，PQ=BQ. 随堂练 7．如图，在 Rt△ACB 中，∠ C = 90°，点 P，Q 同时由 A，B 两点出发分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速移动（到点 C 为止），它们的速度都是 1 m/s．经过几秒 △ PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？ 解：经过X秒 △ PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半。 则由已知条件可得： （8-X）（6-X）=1/2 ×6×8 化简得 X2-14X+24=0 解得 x1=2, x2=12(舍) 随堂练 A 课堂反馈 根据一元二次方程求解几何图形动点问题时， 1.要利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题. 2.要利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程. 课堂小结 3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A、B出发，ts后四边形APQB的面积是△ABC面积的eq \f(2,3)，求t的值． 解：由题意得AP＝2t，BQ＝t，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝6，则PC＝AC－AP＝8－2t，CQ＝6－t.∵S四边形APQB＝eq \f(2,3)S△ABC，∴S△PQC＝eq \f(1,3)S△ABC，即：eq \f(1,2)(8－2t)·(6－t)＝eq \f(1,2)×6×8×eq \f(1,3)，解得t1＝2，t2＝8(不符合题意，舍去)，∴t＝2.　 会利用几何图形性质建立一元二次模型解决问题． 【例1】如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( ) A．2－eq \r(3)　　　　 B．2＋eq \r(3) C．2＋eq \r(5) D．eq \r(5)－2 $$