专题12 解三角形（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题12 解三角形 命题解读 考向 考查统计 1.高考对解三角形的考查，重点是 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形。 （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 正余弦定理解三角形、三角形面积公式 2024新高考Ⅰ卷·15 2022新高考Ⅱ卷·18 2024新高考Ⅱ卷·15 解三角形结合基本不等式 2022新高考Ⅰ卷·18 解三角形结合三角形的中线问题 2023新高考Ⅱ卷·17 解三角形结合三角形的垂线问题 2023新高考Ⅰ卷·17 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解三角形，主要知识点就是使用正余弦定理及其变形来解三角形，其中也蕴含了三角函数的知识，例如辅助角公式等，难度是属于较易和一般的。其实解三角形主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主，它侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力。预计2025年主要还是考查正余弦定理解三角形，但是考生务必注意，不能只把精力放在大题的练习中，小题也需要兼顾练习。 试题精讲 一、解答题 1．（2024新高考Ⅰ卷·15）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 2．（2024新高考Ⅱ卷·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 一、解答题 1．（2022新高考Ⅰ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 3．（2022新高考Ⅱ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 4．（2023新高考Ⅱ卷·17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 一、基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 二、相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 三、实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【解三角形常用结论】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 一、单选题 1．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圆的半径． 【详解】因为，， ，由余弦定理可得：， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，则． 故选：B． 2．（2024·河南·三模）在中，，且交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求出，再利用余弦定理求出及即可得解. 【详解】由，得， 而为锐角，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：B    3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 4．（2024·山西太原·三模）已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用中线得到，结合不等式得出，进而得到面积的最大值. 【详解】因为所以， 因为是中线，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立； 面积为. 故选：A 5．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由正弦定理得，再通过两角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即. 所以， 显然必为正（否则和都为负，就两个钝角）， 所以， 当且仅当，即取等号. 所以. 故选：B. 二、多选题 6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（    ） A． B．的外接圆面积为 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题. 先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得，则，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可. 【详解】对于A选项，依题意，， 则， 由正弦定理，， 因为，且， 故，故， 因为，故，故A错误； 对于B选项，由选项A可知，，故其外接圆面积为，故B正确； 对于C、D选项，因为，记， 所以，，，， 在中，由正弦定理，，即， 在中，由余弦定理，， 故，解得， 因为，则，，故C、D正确； 故选：BCD. 7．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，故，所以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误； 对于C，因为，两边平方得， 由余弦定理得， 由两式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故为直角三角形，故C正确； 对于D，因为为锐角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（    ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化简得，即可判断A；将代入化简成，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化角可得，再由的范围可得的范围，即可判断C；由正弦定理求出，再由余弦定理可得，即可判断D. 【详解】由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得， 则，当时，，即， 当时，，又，所以， 所以，所以， 所以，故选项A错误； 由，则，当且仅当时，故选项B正确； 在中，，由正弦定理，， 若为锐角三角形，又，则，故， 所以，所以，则， 所以，故选项C正确； 在中，由正弦定理，又，，， 得，则 由余弦定理，， 得， 整理得，解得，或， 当时，有，又，所以， 因为，则不成立，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（2024·新疆·三模）在中，，.则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理可得，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解. 【详解】由正弦定理，， 所以由可得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 10．（2024·江西南昌·三模）在中，，则 . 【答案】1 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换以及正弦定理的应用求出结果. 【详解】在中，，利用正弦定理：， 所以，整理得， 所以或， 由于，所以，故，由于， 所以， . 故答案为：1. 11．（2024·重庆九龙坡·三模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则 ；的最大值为 . 【答案】 / 【分析】由正弦定理边化角结合诱导公式求解角C；利用余弦定理结合基本不等式求面积最大值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理知， 所以，因为，所以， 又，所以，所以，所以； 由已知及余弦定理得：， 所以，当且仅当时，等号成立， ， 则面积的最大值为. 故答案为：； 12．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解. 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题. 13．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 // 【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算数量积，从而求出取值范围. 【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知， 又，． ，，由余弦定理得，， 与的夹角的余弦值为． 又，， 且， ，， ， 故答案为：， 四、解答题 14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角； (2)已知点在边上，且，，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可； （2）先确定长度，再确定，即可判断三角形形状，确定面积． 【详解】（1），由正弦定理可得 ， ， ， ，， ； （2）设，，，或4， 当时，，，此时三角形为正三角形， 当时，，， 满足，此时三角形为直角三角形，． 15．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【详解】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． （2）由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16．（2024·天津滨海新·三模）在中，内角所对的边分别为，，，． (1)求角的大小： (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合已知即可求出B的大小； （2）利用余弦定理即可求出b的值； （3）根据求出sinA，cosA，从而可求sin2A、cos2A，再根据正弦的差角公式即可计算． 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 又由，得 即， ∴，∴，∴． 又因为，可得； （2）在中，由余弦定理及，，， 有，故； （3）由，可得， 因为，所以，故为锐角，故， 因此，． 所以，． 17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 18．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 19．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且． (1)求A； (2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值． 【答案】(1). (2)4 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果； （2）方法一：根据题意，分别在与中由正弦定理化简，即可得到，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 所以，所以， 因为，所以，因为，所以. （2）方法一：设，则： 在中，，①，在中，，② ：，所以，所以，所以AD的最大值是4 解法二：在中，由余弦定理得，=， 因为， 所以四边形存在一个外接圆，所以圆的直径为 因为，即，当AD为圆O直径时取等号，故的最大值为4. 20．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②， ③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）选①，由余弦定理可得的值，再由角的范围，得到角的大小即可；选②，由正弦定理及辅助角公式，可得的值，再由角的范围，得到角的大小即可；选③，由三角形内角和定理及半角公式得到角的大小即可； （2）由角平分线的性质结合等面积法列出方程，得到的值即可． 【详解】（1）选①，因为， 则由余弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 可得，因为，所以； 选②，， 所以， 整理可得：， 因为， 所以，因为，可得； 选③，，可得， 可得， 因为，所以，可得； （2）在中，， 可得，记为①， 又，记为②， 由①②可得， 解得或（舍去）， 所以边长． 21．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，求的面积; (2)若，求使得恒成立时，实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】（1）因为，即，所以， 即，则，所以， 所以，且，由正弦定理可得，则， 所以，则. （2）因为，由余弦定理可得， 又，则，即， 所以，化简可得， 因为，所以，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，故即可，所以的最小值为. 22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且______． (1)求角的大小； (2)已知，是边的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；若选②，利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式求出，即可得解；若选③，利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及二倍角公式计算可得； （2）首先求出，由中线的性质得到，由面积公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）方案一：选条件①．因为 由正弦定理得，即， 由余弦定理得． 又，所以． 方案二：选条件②．因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，又，所以，又，所以． 方案三：选条件③．因为， 由正弦定理得， 因为，所以，所以． 在中，，可得， 故，因为，则， 所以，故，所以，则． （2）解法一：因为D是边AB的中点，所以，由（1）知， 因为，所以，故，故． 由余弦定理得， 故，因为，所以，． 在中，，， 所以，即的长为． 解法二：由（1）知，因为，所以， 因为，D是边AB的中点，所以 设，则，在中，①， 在中，由正弦定理，即②， ①②两式相除可得，即，得， 所以，所以 解法三：以C为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设，因为D是边AB的中点，所以． 因为，所以直线的斜率为，则，所以． 又，所以， 所以，故的长为． 23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且． (1)若的面积为，，求； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，由余弦定理，求得，再由正弦定理求得，进而求得的值； （2）设，分别在和中，利用余弦定理，列出方程求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为的面积为，且为的中点， 可得， 又因为，可得，所以 在中，由余弦定理得 ，所以， 由正弦定理，可得， 因为且， 可得， 即为钝角，所以为锐角，所以. （2）解：设，分别在和中， 由余弦定理， 即，同理可得， 所以，可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以周长的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解三角形 命题解读 考向 考查统计 1.高考对解三角形的考查，重点是 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形。 （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 正余弦定理解三角形、三角形面积公式 2024新高考Ⅰ卷·15 2022新高考Ⅱ卷·18 2024新高考Ⅱ卷·15 解三角形结合基本不等式 2022新高考Ⅰ卷·18 解三角形结合三角形的中线问题 2023新高考Ⅱ卷·17 解三角形结合三角形的垂线问题 2023新高考Ⅰ卷·17 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解三角形，主要知识点就是使用正余弦定理及其变形来解三角形，其中也蕴含了三角函数的知识，例如辅助角公式等，难度是属于较易和一般的。其实解三角形主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主，它侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力。预计2025年主要还是考查正余弦定理解三角形，但是考生务必注意，不能只把精力放在大题的练习中，小题也需要兼顾练习。 试题精讲 一、解答题 1．（2024新高考Ⅰ卷·15）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 2．（2024新高考Ⅱ卷·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 一、解答题 1．（2022新高考Ⅰ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 3．（2022新高考Ⅱ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 4．（2023新高考Ⅱ卷·17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 一、基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 二、相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 三、实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【解三角形常用结论】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 一、单选题 1．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）在中，，且交于点，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西太原·三模）已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D．4 二、多选题 6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（    ） A． B．的外接圆面积为 C．若，，则 D．若，，则 7．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 8．（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（    ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 三、填空题 9．（2024·新疆·三模）在中，，.则 . 10．（2024·江西南昌·三模）在中，，则 . 11．（2024·重庆九龙坡·三模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则 ；的最大值为 . 12．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 13．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ． 四、解答题 14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角； (2)已知点在边上，且，，，求的面积． 15．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 16．（2024·天津滨海新·三模）在中，内角所对的边分别为，，，． (1)求角的大小： (2)求的值； (3)求的值． 17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 18．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 19．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且． (1)求A； (2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值． 20．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②， ③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值． 21．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，求的面积; (2)若，求使得恒成立时，实数的最小值. 22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且______． (1)求角的大小； (2)已知，是边的中点，且，求的长． 23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且． (1)若的面积为，，求； (2)若，求的周长的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$