精品解析：广东省深圳高级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

深圳高级中学2023-2024学年第二学期期末测试卷 初二数学 命题人：陈鹏、王剑 审题人：赵丽丽 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1-10题，共30分，第Ⅱ卷为第11-22题，共70分，全卷共计100分．考试时间为90分钟． 第I卷（本卷共计30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、是中心对称图形，此选项符合题意； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合． 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义进行判断即可 【详解】解：A、，从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 4. 如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，①满足题意； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，②不满足题意； ③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，③满足题意； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，④不满足题意； 故满足题意的有①③； 故选：A． 5. 用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案． 【详解】解：、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项正确； 、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项错误； 故选：． 6. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】∵小刚的位置从A点运动到了点， ∴， ∴，， ∴， ∴秋千旋转的角度为 故选D． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 是的中点，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 8. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式 的解集为， 故选：A． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 顺次连接矩形四边中点形成的图形是菱形 C. 对角线相等的矩形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定．熟练掌握菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定是解题的关键． 根据菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，A错误，故不符合要求； 顺次连接矩形四边中点形成的图形是菱形，B正确，故符合要求； 对角线互相垂直的矩形是正方形，C错误，故不符合要求； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D错误，故不符合要求； 故选：B． 10. 如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长，过点C作，交于点E，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长，过点C作，交于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（本卷共计70分） 二、填空题（每小题3分，共15分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 若m是一元二次方程的一个解，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 由题意知，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴ 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 14. 关于的不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解题的关键解集． 先解不等式组，用m的代数式表示，再有且仅有3个整数解，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为：， ∵解集中有且仅有3个整数解， ∴整数解为2，3，4， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接，先根据矩形的判定与性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的最小值为的长，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键． 三、解答题（共7题，合计55分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 16. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和解不等式，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和解不等式的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将 代入得： 原式 ． 18. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD． ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴． ∴BE＝AF． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵BC＝2AB， ∴AB＝BE． ∴平行四边形ABEF是菱形． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中解直角三角形即可； 【详解】（1）略 （2）过点O作OG⊥BC于点G． ∵E是BC的中点，BC＝8， ∴BE＝CE＝4． ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OE＝2，∠OEB＝60°． ∴GE＝1，OG＝． ∴GC＝5． ∴OC＝2． 【点睛】考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 19. 某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元? （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 【答案】（1）甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需万元 （2）甲种农机具最多能购买件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元 根据题意得： ； 解得： ； 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴一台甲种农机具需万元． 答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需万元； 【小问2详解】 解：设甲种农机具购买件， 由题意得； 解得； ∵为正整数，则的最大值为； 答：甲种农机具最多能购买件． 20. 仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹) （1）在图中，作出面积最大的平行四边形． （2）在图中，是中点，在边上找到点，连接，使． （3）在图中，在边上找到点，连接，使平分． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照平行四边形的性质作图即可． （2）按照平行四边形的性质和中位线的性质作图即可． （3）构造等腰三角形，取的中点Q，连接，延长交一点E，线段即为所求． 【小问1详解】 以为底，平移到，令且，从而连接和，当平行线与之间的距离最大时，平行四边形的高最大，即面积最大，作图如下所示： 【小问2详解】 取点和点，连接，，，， 可得四边形为平行四边形， ∴和为对角线， ∴点是边上中点， 又∵是中点， ∴且， 作图如下所示： 【小问3详解】 作图如下所示： 【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，能够将平行四边形的性质与作图相结合是解决本题的关键． 21. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】（1）6，（或，6） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【小问1详解】 解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． 【小问2详解】 解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． 【小问3详解】 解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． 22. 解答下列问题： （1）【问题感知】如图1，在四边形中，，且，①请直接写出 、、 的数量关系： ； ②证明： 平分； （2）【迁移应用】如图2，四边形中，，，，，，计算的长度； （3）【拓展研究】如图3，正方形中，E为边上一点，连接，F为边上一点，且，垂直交 于点G，，，直接写出正方形的边长． 【答案】（1）①； ②将绕点逆时针旋转至， ， ∴、、三点共线， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴ 平分； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①延长使，连接，证明，得出，，证出，在中，根据勾股定理即可求解； ②将绕点逆时针旋转至，证明、、三点共线，证出是等腰直角三角形，得出，即可证明； （2）连接 ，将绕点逆时针旋转至，根据旋转的性质得出，证明、、三点共线，从而证出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，平分，得出，根据直角三角形的性质和勾股定理得出，设则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （3）过点作交于点 ，作交于点，根据四边形是正方形，得出，从而得出，结合，得出，，即可得出，根据，得出，证出，，即可得，证出四边形是正方形，得出，证明，得出，设，则，，，在中，根据勾股定理列式计算即可求解； 【小问1详解】 解：①， 证明：延长使，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②证明：略； 【小问2详解】 解：连接，将绕点逆时针旋转至， ， 在四边形中，， ， ∴、、三点共线， 又， 所以是等边三角形， ， ∴平分， ， ， 设则， 在中，， 则， 解得(舍)， ， ； 【小问3详解】 解：过点作交于点 ，作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， 故， 解得：或， ∴正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学2023-2024学年第二学期期末测试卷 初二数学 命题人：陈鹏、王剑 审题人：赵丽丽 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1-10题，共30分，第Ⅱ卷为第11-22题，共70分，全卷共计100分．考试时间为90分钟． 第I卷（本卷共计30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 4. 如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 5. 用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 顺次连接矩形四边中点形成的图形是菱形 C. 对角线相等的矩形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 10. 如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 第Ⅱ卷（本卷共计70分） 二、填空题（每小题3分，共15分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 11. 因式分解：=_____． 12. 若m是一元二次方程的一个解，则 ________． 13. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 14. 关于的不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围为______． 15. 如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（共7题，合计55分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分） 16. 计算： （1） ； （2）． 17. 先化简， 再求值： ， 其中． 18. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 19. 某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元? （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 20. 仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹) （1）在图中，作出面积最大的平行四边形． （2）在图中，是中点，在边上找到点，连接，使． （3）在图中，在边上找到点，连接，使平分． 21. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 22. 解答下列问题： （1）【问题感知】如图1，在四边形中，，且，①请直接写出 、、 的数量关系： ； ②证明： 平分； （2）【迁移应用】如图2，四边形中，，，，，，计算的长度； （3）【拓展研究】如图3，正方形中，E为边上一点，连接，F为边上一点，且，垂直交 于点G，，，直接写出正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $