精品解析：广东惠州市仲恺高新区2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学

2025—2026学年度第二学期仲恺期末考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年10月，深中通道超宽海底隧道沉管建成出坞，展示了我国在基建领域的世界领先水平．在建造过程中，工程师需验证海底沉管安装的垂直精度．现有四组测量数据（单位：米），其中可构成直角三角形以确保安装精度的是（　　） A. 6，8，10 B. 5，6，7 C. 7，8，9 D. 10，12，15 5. 央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按1：3：6的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为90分、80分、85分，则小文的最终成绩为（ ）分 A. 83 B. 84 C. 85 D. 86 6. 如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 2.4 D. 无法确定 7. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如图：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ） 甲 乙 A. 仅甲正确 B. 甲、乙均错误 C. 甲、乙均正确 D. 仅乙正确 9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间为8时，对应的高度为（ ） … 1 2 3 … … … A. B. C. D. 10. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 计算：______． 12. 已知点都在一次函数的图象上，则___________．（填“>”或“＜”） 13. 某校举办了一次“我爱数学”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示．则成绩比较集中的班级是_____班． 14. 如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为．则最大的正方形的面积是_________ 15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 18. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升学生的安全意识，惠州市某中学组织七、八年级的学生参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（成绩：x，单位：分，满分100分），现随机抽取了七、八年级各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 七年级15名学生的测试成绩中，的成绩：91，92，94，90，93． 八年级15名学生的测试成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 【整理数据】： 班级 七年级 1 2 3 5 4 八年级 1 1 3 4 6 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 87 c 50.2 八年级 a b 93 41.1 （1）根据以上信息，可以求出 ， ， ； （2）若规定测试成绩在92分及以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的900名七年级学生中，成绩为优秀的共有多少名； （3）根据以上数据，你认为七、八两个年级中，哪个年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一条即可）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 项目化学习 项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系． 研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； （2）从种植开始每隔两天记录一次数据； （3）数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决：请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 21. 【综合与实践】 背景素材：随着人工智能技术的爆发，算力需求正呈指数级增长，算力与电力的协同发展已成为2026年数字经济领域的核心主线.某科技企业积极响应国家“东数西算”工程，计划在西部绿电资源丰富的地区部署一座智算中心. 素材1 采购中心通过市场调研发现，购买3台A型设备和4台B型设备共需11万元；购买5台A型设备和2台B型设备共需9万元． 素材2 采购中心需要采购服务器（A型）和智能电力调度系统（B型），共需20套．设采购A型设备m台，总费用为W万元．在本次批量采购中，总费用W与采购数量m满足一次函数关系． 素材3 由于项目总预算限制，m的取值范围为，且m为整数． 任务解决 （1）任务1：确定价格，求A，B两种型号设备的单价． （2）任务2：探究函数关系，求W与m之间的函数关系式． （3）任务3：拟定购买方案，应如何选择购买方案，才能使总费用最低？并求出最低总费用． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得， 【类比应用】 （1）化简： ； = ； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 如图①，已知黄金矩形的宽． （2）黄金矩形的长 ； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论： （4）在图②中，请连接，求出点D到线段的距离． 23. 【方法回顾】 如图1，过正方形的顶点A作一条直l交边于点P，于点E，于点F，猜想，，三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想． 【问题解决】 如图2，菱形的边长为，过点A作一条直线l交边于点P，且，点F是上一点，且，过点B作，与直线l交于点E，若，求的长． 【思维拓展】 如图3，在正方形中，点P在所在直线上的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则的值为 （用含m的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期仲恺期末考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， ∴． 2. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 4. 2025年10月，深中通道超宽海底隧道沉管建成出坞，展示了我国在基建领域的世界领先水平．在建造过程中，工程师需验证海底沉管安装的垂直精度．现有四组测量数据（单位：米），其中可构成直角三角形以确保安装精度的是（　　） A. 6，8，10 B. 5，6，7 C. 7，8，9 D. 10，12，15 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理， 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，满足勾股定理，能构成直角三角形； B．，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； C．，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； D．，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； 故选：A． 5. 央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按1：3：6的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为90分、80分、85分，则小文的最终成绩为（ ）分 A. 83 B. 84 C. 85 D. 86 【答案】B 【解析】 【分析】根据三项得分的权重，利用加权平均数求最终成绩即可． 【详解】解：由题意，得三项权重和为 ， 根据加权平均数公式计算小文最终成绩： （分）． ∴小文的最终成绩为84分． 6. 如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 2.4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，，D为的中点，， ∴． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接利用图象法，找到直线在直线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集为； 故选B． 8. 四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如图：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ） 甲 乙 A. 仅甲正确 B. 甲、乙均错误 C. 甲、乙均正确 D. 仅乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定，证明甲作出的四边形为菱形，证明乙作出的图形是菱形，即可得出答案． 【详解】解：根据甲的作图可知，EF垂直平分BD， ∴BO=DO，，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵DE=BE， ∴四边形BFDE是菱形， 即甲的做法正确； 根据乙的做法可知，BF平分∠ABC，AB=BE， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在△ABF和△EBF中， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴四边形ABEF为菱形； 综上分析可知，甲、乙均正确，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定方法，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握:有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的平行四边形是菱形． 9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间为8时，对应的高度为（ ） … 1 2 3 … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求出一次函数解析式，然后零，求出函数值即可． 【详解】解：∵水位是时间的一次函数， ∴设一次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 10. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、海伦 - 秦九韶公式的应用，熟练掌握海伦 - 秦九韶公式中半周长的计算及面积公式的代入运算是解题的关键．先依据三角形三边长度，利用公式算出半周长，再把以及三边与的差值代入海伦 - 秦九韶公式计算面积 ． 【详解】解： ∵ ，，， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 故选：A ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点都在一次函数的图象上，则___________．（填“>”或“＜”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据函数解析式可得y随x增大而减小，由即可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 13. 某校举办了一次“我爱数学”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示．则成绩比较集中的班级是_____班． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的意义，解题的关键是从箱线图中获取数据的波动范围，并通过极差判断数据的集中程度． 从箱线图中读取一班和二班成绩的波动范围，一班在50到140之间，二班在70到130之间；分别计算两班成绩的极差，一班极差为，二班极差为；比较极差大小，极差越小，数据越集中，因此二班成绩更集中． 【详解】解：由箱线图可知，一班成绩在50到140之间波动，二班成绩在70到130之间波动． ∵，，． ∴二班成绩的极差更小， ∴二班成绩更集中． 故答案为：二． 14. 如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为．则最大的正方形的面积是_________ 【答案】16 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够得出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义， 可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2， S1+S2=S3， 即S3=S1+S2=4+6+2+4=16． 故答案是：16． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．也考查了正方形的面积． 15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 18. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升学生的安全意识，惠州市某中学组织七、八年级的学生参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（成绩：x，单位：分，满分100分），现随机抽取了七、八年级各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 七年级15名学生的测试成绩中，的成绩：91，92，94，90，93． 八年级15名学生的测试成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 【整理数据】： 班级 七年级 1 2 3 5 4 八年级 1 1 3 4 6 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 87 c 50.2 八年级 a b 93 41.1 （1）根据以上信息，可以求出 ， ， ； （2）若规定测试成绩在92分及以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的900名七年级学生中，成绩为优秀的共有多少名； （3）根据以上数据，你认为七、八两个年级中，哪个年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）92；100；91 （2）420名 （3）解：八年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下： ∵八年级平均分与七年级相同，但八年级众数、中位数都高于七年级，且八年级方差小于七年级方差，成绩更稳定． ∴八年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）用900乘以样本中成绩为优秀的学生人数占比即可得到答案； （3）根据八年级众数、中位数都高于七年级，且八年级方差小于七年级方差可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得； ∵八年级15名学生的测试成绩中，成绩为100分的人数最多， ∴八年级15名学生的测试成绩的众数为100分，即； 把七年级15名学生的测试成绩按照从低到高的顺序排列，第8名的成绩为91分， ∴七年级15名学生的测试成绩的中位数为91分，即； 【小问2详解】 解：名， 答：估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的900名七年级学生中，成绩为优秀的共有420名； 【小问3详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，得出结论即可； （2）先证明是等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，（平行四边形的对角线互相平分） ， （等角对等边）， 即， 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ， ， 是矩形， ，（矩形的四个角都是直角） 在中 ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 20. 项目化学习 项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系． 研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； （2）从种植开始每隔两天记录一次数据； （3）数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决：请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】（1）作图如解图； （2）与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为 （3）甲种菜苗先开花， 理由如下：由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时（即与的交点处）都未达到的高度，达到相同高度后的图象始终在的图象上方，∴甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，故答案为：甲种菜苗先开花． 【解析】 【分析】（1）根据数据，应用描点法，即可求解， （2）设，代入点，解得，，将代入，即可求解， （3）根据两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解， 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 解：设与x的函数关系式为，代入点， 得，解得， ∴与x的函数关系式为， 当时，， ∴第18天甲种菜苗的高度为 故答案为：与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为， 【小问3详解】 （3）略 21. 【综合与实践】 背景素材：随着人工智能技术的爆发，算力需求正呈指数级增长，算力与电力的协同发展已成为2026年数字经济领域的核心主线.某科技企业积极响应国家“东数西算”工程，计划在西部绿电资源丰富的地区部署一座智算中心. 素材1 采购中心通过市场调研发现，购买3台A型设备和4台B型设备共需11万元；购买5台A型设备和2台B型设备共需9万元． 素材2 采购中心需要采购服务器（A型）和智能电力调度系统（B型），共需20套．设采购A型设备m台，总费用为W万元．在本次批量采购中，总费用W与采购数量m满足一次函数关系． 素材3 由于项目总预算限制，m的取值范围为，且m为整数． 任务解决 （1）任务1：确定价格，求A，B两种型号设备的单价． （2）任务2：探究函数关系，求W与m之间的函数关系式． （3）任务3：拟定购买方案，应如何选择购买方案，才能使总费用最低？并求出最低总费用． 【答案】（1）A型号设备的单价为1万元、B型号设备的单价为2万元 （2） （3）当采购A型号设备7台，B型号设备13台时总费用最低，为33万元 【解析】 【分析】（1）设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，根据“购买3台A型设备和4台B型设备共需11万元；购买5台A型设备和2台B型设备共需9万元”，列方程组求解即可； （2）根据总费用=A型号设备的费用+B型号设备的费用求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元， 根据题意，得，解得， 答：A型号设备的单价为1万元、B型号设备的单价为2万元； 【小问2详解】 解：采购A型号设备m台，则采购B型号设备台， 所以， 所以W与m的函数关系式为； 【小问3详解】 解：在中，因为，所以W随m的增大而减小， 又因为，且m为整数， 所以当整数m取最大值7时，W的值最小， ，此时（台）， 答：当采购A型号设备7台，B型号设备13台时总费用最低，为33万元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得， 【类比应用】 （1）化简： ； = ； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 如图①，已知黄金矩形的宽． （2）黄金矩形的长 ； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论： （4）在图②中，请连接，求出点D到线段的距离． 【答案】（1）；， （2） （3）矩形是黄金矩形，理由如下： 由题意得，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 所以矩形是黄金矩形； （4）点D到线段的距离为 【解析】 【分析】（1）仿照例题计算过程求解即可； （2）根据黄金矩形定义进行计算即可； （3）根据题意求得，进而求得和，证明和的比值是即可； （4）连接，，过D作于G，根据三角形的等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：． 原式； ． 【小问2详解】 解：∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴黄金矩形的长为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，连接，，过点D作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∴点D到线段的距离为． 23. 【方法回顾】 如图1，过正方形的顶点A作一条直l交边于点P，于点E，于点F，猜想，，三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想． 【问题解决】 如图2，菱形的边长为，过点A作一条直线l交边于点P，且，点F是上一点，且，过点B作，与直线l交于点E，若，求的长． 【思维拓展】 如图3，在正方形中，点P在所在直线上的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则的值为 （用含m的式子表示） 【答案】[方法回顾]，理由见解析；[问题解决]；[思维拓展] 【解析】 【分析】[方法回顾]如图1，利用“AAS”证明，则，，然后利用得到． [问题解决]证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可． [思维拓展]如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设，，设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】[方法回顾] ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． [问题解决] ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． [思维拓展] 如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $