精品解析：云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附属中学2023-2024学年七年级下学期5月月考数学试题

昆明师专附中2023−2024学年下学期5月学业质量监测 初一数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题2分，共30分） 1. 将如图所示的图案，通过平移后可以得到的图案是（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查比较适合全面调查方式的是（ ） A. 端午节期间市场上的粽子质量情况 B. 长江流域水污染情况 C. 某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命 D. 乘坐地铁的安检 3. 已知，下列不等式变形中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在实数：，，，，，， （两个之间依次增加一个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 一个不等式组中两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 若点在第四象限，则m取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A. B. C. D. 10. 用代入消元法解方程组时，把②代入①，得（ ） A. B. 3x－1－2x＝2 C. D. 11. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ） A 30° B. 25° C. 20° D. 15° 12. 某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的是（ ） A. 一共调查了40名学生 B. 该频数分布直方图的组距为2 C. 该频数分布直方图的组数为2 D. 随机抽取的学生中参加社会实践活动时间不少于的有32名的学生 13. 下列命题中： ①对顶角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等； ④立方根等于它本身的实数只有或； ⑤二元一次方程的整数解只有组． 其中真命题有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 14. 某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若m的平方根是，则______． 17. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______． 18. 如图，已知的边在x轴上，，且，．若将在x轴上平移，使点B到y轴的距离为3个单位长度，则平移后点A的对应点的坐标为_______． 19. 把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为____. 三、解答题（8题，共62分） 20. 计算：． 21. 解方程组：（1） （2） 22. 解不等式组，并把解集表示数轴上． 23. 如图，，， （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 24. 2023年5月30日神舟十六号发射成功，载荷专家桂海潮是飞天的宇航员之一．近期，昆明市某校学生参加了“筑梦航空”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，分成、、、四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生共有______名，并补全条形统计图； （2）等级所在扇形的圆心角度数为______°； （3）若该校共有2400名学生，估计全校成绩在等级的学生有多少名？ 25. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求面积． 26. 某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种.环保节能公交车共12辆．若购买A型公交车1辆、B型公交车2辆，共需440万元；若购买A型公交车2辆、B型公交车1辆，共需400万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为64万人次和120万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1660万元，且确保这12辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于910万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 27. 酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且． （1）______，_______； （2）若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行； （3）如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______（用含的代数式表示）； ②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明师专附中2023−2024学年下学期5月学业质量监测 初一数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题2分，共30分） 1. 将如图所示的图案，通过平移后可以得到的图案是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：平移不改变图形的大小、形状和方向，故平移后得到的图案是选项C． 故选C． 【点睛】本题考查了平移的概念，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 2. 下列调查比较适合全面调查方式的是（ ） A. 端午节期间市场上的粽子质量情况 B. 长江流域水污染情况 C. 某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命 D. 乘坐地铁的安检 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A、端午节期间市场上的粽子质量情况，数量太多，且具有破坏性，适合抽样调查，故不合题意； B、长江流域水污染情况，调查量巨大，无法全面调查，适合抽样调查，故不合题意； C、某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故不合题意； D、乘坐地铁的安检，事关重大，必须全面调查，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 已知，下列不等式变形中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，不符合题意； B．∵，∴，原变形错误，不符合题意； C．∵，∴，正确，符合题意； D．∵，∴，原变形错误，不符合题意． 故选C． 4. 实数：，，，，，， （两个之间依次增加一个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； ，整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无理数； （两个之间依次增加一个）是无理数； 综上所述，无理数共个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数以及像等有这样规律的数． 5. 平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照点的平移“上加下减，左减右加”的规律解答即可． 【详解】解：按照点的平移“上加下减，左减右加”的规律， 向左平移个单位长度，再向上平移个单位后的点为． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的平移的性质的应用，点的平移“上加下减，左减右加”的规律是解题关键． 6. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在2和3之间． 故选：C 7. 一个不等式组中两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就组成的不等式组就满足条件． 【详解】由数轴得出， 这个不等式组的解集为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 8. 若点在第四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】∵点在第四象限， ， 解得：， 故选：D． 9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等可求出的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 用代入消元法解方程组时，把②代入①，得（ ） A. B. 3x－1－2x＝2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据代入法进行计算即可求解． 【详解】解：用代入消元法解方程组时，把②代入①， ． 故选A． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 11. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ） A 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行公理的推论可得，再根据平行线的性质可得，然后根据即可得． 【详解】如图，过点E作 由题意得： 又 解得 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质等知识点，熟记平行线的性质是解题关键． 12. 某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的是（ ） A. 一共调查了40名学生 B. 该频数分布直方图的组距为2 C. 该频数分布直方图的组数为2 D. 随机抽取的学生中参加社会实践活动时间不少于的有32名的学生 【答案】B 【解析】 【分析】根据直方图的意义和信息，逐一判断即可． 【详解】解：A. 一共调查了50名学生，不符合题意； B. 该频数分布直方图的组距为2，符合题意； C. 该频数分布直方图的组数为5，不符合题意； D. 随机抽取的学生中参加社会实践活动时间不少于的有42名的学生，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，熟练掌握直方图的意义是解题的关键． 13. 下列命题中： ①对顶角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等； ④立方根等于它本身的实数只有或； ⑤二元一次方程的整数解只有组． 其中真命题有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等、平行线的判定、实数的乘方、立方根的概念、二元一次方程的解判断即可． 【详解】解：对顶角相等，是真命题； 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是真命题； 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，故本小题命题是假命题； 立方根等于它本身的实数只有或或，故本小题命题是假命题； 二元一次方程的整数解有无数组，故本小题命题是假命题； 故选：． 【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉课本中以上知识的性质定理． 14. 某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据1个底面和4个侧面可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答． 【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究问题；根据题意，分别求得点运动前几秒的路程，得到点的坐标，找到规律，横坐标为序数，纵坐标4次一循环，进而即可求解． 【详解】解：半径为个单位长度的半圆的周长为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点每秒走当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， …， ∵， ∴的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若m的平方根是，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，由平方根的定义解答可得． 【详解】解：由题意知：， 解得：， 故答案为：16． 17. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得每一个不等式的解集，后根据小小取小的法则，确定m的范围即可． 【详解】∵的解集为；的解集为；且不等式组的解集是， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了根据不等式组解集确定待定字母的范围，熟练掌握解不等式组，准确确定解集是解题的关键． 18. 如图，已知的边在x轴上，，且，．若将在x轴上平移，使点B到y轴的距离为3个单位长度，则平移后点A的对应点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点B的平移方式，得到点A的平移方式，从而得出平移后点A的坐标． 【详解】∵在x轴上平移，使点B到y轴的距离为3个单位长度， ∴平移后点B的坐标为或． 若平移后点B的坐标为，则向右平移了5个单位长度， ∴平移后点A的对应点的坐标为． 若平移后点B的坐标为，则向左平移了1个单位长度， ∴平移后点A的对应点的坐标为． 综上，平移后点A的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标系中的点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 19. 把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为____. 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，整式的加减，设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程，解方程即可得到结论，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：，即， 整理得：， 小长方形的长与宽的差是5， 故答案为：5． 三、解答题（8题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【分析】解： ． 21. 解方程组：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解答即可； （2）原方程组整理后，再利用加减消元法解答即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得：2（y-1）+y=4，解得：y=2， 把y=2代入①，得：x=2-1=1， ∴原方程组的解为：； （2）原方程组整理得：， ①+②×2，得：11x=22，解得x=2， 把x=2代入②，得：8-y=5，解得：y=3， 故原方程组的解为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 22. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】根据解不等式组的基本步骤规范求解即可． 【详解】解： 解：由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了不等式组的解法，解集的数轴表示法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 23. 如图，，， （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，进而证明，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，则由，可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 24. 2023年5月30日神舟十六号发射成功，载荷专家桂海潮是飞天的宇航员之一．近期，昆明市某校学生参加了“筑梦航空”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，分成、、、四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生共有______名，并补全条形统计图； （2）等级所在扇形的圆心角度数为______°； （3）若该校共有2400名学生，估计全校成绩在等级的学生有多少名？ 【答案】（1）60；图见解析 （2） （3）480名 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知，用A的人数除以可得样本容量；利用样本容量B组人数即可补全条形统计图； （2）求出D所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数； （3）用2400乘样本中C组所占比例即可． 【小问1详解】 本次被抽取的学生共有：（名）； B组人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：60； 【小问2详解】 被抽取的学生成绩在D组的人数对应扇形圆心角的度数为：， 故答案为：36； 【小问3详解】 （名）， 答：估计全校成绩在C等级的学生有480名． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确简单的前提． 25. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质即可画出，进而可以写出点的坐标； （2）根据平移的性质结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据网格即可求的面积． 【小问1详解】 如图，即为所求，点的坐标； 【小问2详解】 点的坐标； 【小问3详解】 的面积． 26. 某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种.环保节能公交车共12辆．若购买A型公交车1辆、B型公交车2辆，共需440万元；若购买A型公交车2辆、B型公交车1辆，共需400万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为64万人次和120万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1660万元，且确保这12辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于910万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）购买A型公交车每辆需要120万元，购买B型公交车每辆需要160万元；（2）该公司有3种购车方案，方案1：购买7辆A型公交车，5辆B型公交车；方案2：购买8辆A型公交车，4辆B型公交车；方案3：购买9辆A型公交车，3辆B型公交车．方案3购买9辆A型公交车，3辆B型公交车总费用最少，最少总费用为1560万元． 【解析】 【分析】（1）设购买A型公交车每辆需要x万元，购买B型公交车每辆需要y万元，根据“若购买A型公交车1辆、B型公交车2辆，共需440万元；若购买A型公交车2辆、B型公交车1辆，共需400万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型公交车，则购买（12﹣m）辆B型公交车，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1660万元，且确保这12辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于910万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各购车方案，设购车总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设购买A型公交车每辆需要x万元，购买B型公交车每辆需要y万元， 依题意，得：， 解得：． 答：购买A型公交车每辆需要120万元，购买B型公交车每辆需要160万元． （2）设购买m辆A型公交车，则购买（12﹣m）辆B型公交车， 依题意，得：， 解得：6≤m≤9． 又∵m为正整数， ∴m可以为7，8，9， ∴该公司有3种购车方案，方案1：购买7辆A型公交车，5辆B型公交车；方案2：购买8辆A型公交车，4辆B型公交车；方案3：购买9辆A型公交车，3辆B型公交车． 设购车总费用为w万元，则w＝120m+160（12﹣m）＝﹣40m+1920， ∵k＝﹣40＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝9时，w取得最小值，最小值＝﹣40×9+1920＝1560， ∴方案3购买9辆A型公交车，3辆B型公交车总费用最少，最少总费用为1560万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数最值的应用．准确找到题中等量关系列出方程组、不等式组及函数解析式是解题的关键． 27. 酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且． （1）______，_______； （2）若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行； （3）如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______（用含的代数式表示）； ②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）3，1 （2）15 （3）①；②，见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可得，进而得出a、b的值； （2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质可知，解方程求得x的值即可； （3）①过点C作，则由得到，则可得，经过秒，，得到； ②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：3，1； 【小问2详解】 由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒， 设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质， 可知， 解得； ∴转动15秒． 故答案为：15； 【小问3详解】 ①过点C作， 则 ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 经过秒，， 故答案为：； ②，理由如下： 由题意可知，点一定在的右侧，，即， ， ， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质和数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$