精品解析：河南省信阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2023—2024学年普通高中高二（下）期末教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2. 数列满足，已知，则的前19项和（ ） A. 0 B. 8 C. 10 D. 19 3. 2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（ ） A. 0.009 B. 0.027 C. 0.243 D. 0.27 4. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 5. 如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（ ） A 6种 B. 12种 C. 15种 D. 60种 6. 2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 意大利数学家斐波那契提出了一个著名兔子问题，得到了斐波那契数列.数列满足，.现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 展开式的有理项为（ ） A. 第1项 B. 第2项 C. 第5项 D. 第8项 10. 设，是两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 11. 设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 12. 某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________.（附：，） 13. 曲线在处的切线方程为_________. 14. 为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 80 20 100 男 30 70 100 合计 110 90 200 根据列联表的数据，计算得_________；依据小概率值_________的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”. 附：临界值表： 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 16. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. （1）求； （2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 17. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； （2）若恒成立，求取值范围. 18. 华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. （1）求； （2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； （3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 19. 绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为. （1）求的分布列与期望； （2）若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年普通高中高二（下）期末教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 2. 数列满足，已知，则的前19项和（ ） A. 0 B. 8 C. 10 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 3. 2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（ ） A. 0.009 B. 0.027 C. 0.243 D. 0.27 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用独立重复试验的概率公式计算即得. 【详解】由，，得， 每个收费口每天通过的小汽车超过700辆的概率为0.1， 所以这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为. 故选：B 4. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验可得正确选项. 【详解】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”， 则选项D正确，其余都是错误的. 故选：D. 5. 如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 15种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】由于是相同元素的排列，只需要用组合思想即可解决问题. 【详解】从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的4个位置放奥运会吉祥物），. 故选:C. 6. 2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A 7. 意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列.数列满足，.现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8，从而得到前2023项中被3除余1的有项，得到概率. 【详解】根据斐波那契数列的定义知，， 被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 余数数列为周期数列，周期为8，， 所以数列的前2023项中被3除余1的有项， 故所求概率为. 故选：D. 8. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数表达出数列中的各项，并利用求出答案. 【详解】由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 展开式的有理项为（ ） A. 第1项 B. 第2项 C. 第5项 D. 第8项 【答案】BCD 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，再由的指数为实数得到有理项. 【详解】展开式通项， 由，得，所以展开式的有理项为第项. 故选：BCD. 10. 设，是两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用概率的性质、独立事件的判定和条件概率的公式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，即，得，选项A正确； 对于B，由，故，且， 故，所以与相互独立，选项B正确； 对于C，由，选项C正确； 对于D，因为与相互独立，所以与，与相互独立， 所以；，即，选项D错误. 故选：ABC. 11. 设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项. 【详解】对于A，由，知得在递增，因，所以，选项A正确； 对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知， 随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小， 所以，，选项B错误； 对于C，D，设，， 由切线的几何意义知，， 即， 即.选项C错误D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 12. 某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________.（附：，） 【答案】91 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得到，进而得到，求出答案. 【详解】依题意，，， ， ，. 故答案为：91 13. 曲线在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，切点坐标，即得切线方程. 【详解】记求导得，， 于是，，又， 则曲线在处的切线方程为：，即. 故答案为：. 14. 为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 80 20 100 男 30 70 100 合计 110 90 200 根据列联表数据，计算得_________；依据小概率值_________的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”. 附：临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】 ①. 50.505 ②. 0.001 【解析】 【分析】根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表进行对比，即可判断高三学生的性别和身高有关联. 【详解】， 根据小概率值独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”. 故答案为：50.505；0.001. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】（1）8 （2）①255，②（也正确） 【解析】 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【小问1详解】 首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； 【小问2详解】 在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 16. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. （1）求； （2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式列出方程，求出； （2）利用条件概率求出答案. 【小问1详解】 记事件A：任取一件产品是次品，记事件：第批的产品，.2. 则，，，， 由，解得. 【小问2详解】 . 已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率. 17. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导思想，求出函数的最小值，即可以判断零点情况； （2）利用分离参变量思想，求出函数的最值，即可得到参数的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由，得，由，得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 因为只有一个极小值点，也是最小值点，且， 所以，不存在零点. 【小问2详解】 ，即. 令 构造函数， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 则. 故的取值范围为. 18. 华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. （1）求； （2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； （3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 【答案】（1） （2），线性相关较强 （3）， 【解析】 【分析】（1）由样本中心点在回归直线上，解出； （2）由相关系数的公式，结合回归系数的值及公式求得的值，进而得到线性相关性； （3）根据公式求得的值. 【小问1详解】 ，， 将代入，得，解得. 【小问2详解】 由，得， 由，得. 所以， . 所以，手机销量与月份的线性相关较强. 【小问3详解】 ， 所以，，. 19. 绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为. （1）求的分布列与期望； （2）若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算种两种、三种、四种花卉的种植方法，得到总共的种植方法，再进一步得到概率、分布列、数学期望； （2）利用分步乘法计数原理，第一步先给中间的涂色有5种方式，第二步中，每个区域都不能与同色，进而有个区域，有4种花卉可选，共有种方式，要保证与不同色，进而得到与的递推关系，转化为数列问题，构造等比数列得到，再结合第一步得到答案. 【小问1详解】 的所有可能值为2，3，4. 若种两种花卉，则种植方法有； 若种三种花卖，则种植方法有； 若种四种花卉，则种植方法有； 所有的种植方法有. 所以，，， 所以的分布列为 2 3 4 的期望. 【小问2详解】 分两步， 第一步种植区域，有种种植方法； 第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种. 显然，； 当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），所以共有种种植方法， 其中包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，则共有个区域，即种种植方法， 所以，可得， 所以，数列是以为公比的等比数列，又， 所以，，. 又，，也适合上式， 所以，当时，. 由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$