精品解析：吉林省吉林市田家炳高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林市田家炳高级中学2023-2024学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：杨辉 杨凤姝 审题人：刘明波 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷为非选择题．所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A与B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 2. “”是“函数是增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 19 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 4. 函数与的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的图象关于原点对称， 即函数与的图象的图象关于原点对称， 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助中间数比较大小. 【详解】，，且， 所以， 故选：D 6. 已知函数满足对都有，，则 （ ） A. 1 B. 2024 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的周期为3，以及，即可求出结果． 【详解】由，令，可知，即， 又因为，所以函数的一个周期为3， 则. 故选：C． 7. 若函数的单调递增区间是，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，由，可得，可求. 【详解】， 若，则可得在上单调递减， 若，令，可得， 所以在上单调递增， 又因为的单调递增区间是，所以. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 有最小值 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例得到AC错误，根据不等式性质知BD正确，得到答案. 【详解】对选项A：取，则，错误； 对选项B：据不等式性质知正确； 对选项C：取，则，错误； 对选项D：，则，正确； 故选：BD. 10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 11. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 单调递减区间为 D. 的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值. 【详解】∵，则为偶函数，A正确，B错误； 又∵R上单调递增，且 则当时，则，当时，则 ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，C正确； 则，即的最小值为a，D错误； 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可. 【详解】由全称命题的否定为特称命题可知， 命题“，”的否定是，. 故答案为：， 13. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性得到函数的单调性和奇偶性，再由得到，解不等式即可得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以，即，则关于对称， 因为在上为增函数，且时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 由得，即， 则，解得或， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14. 已知函数,函数,分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且.若,则的取值范围为______；若不等式恒成立,则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 先构造函数,由已知时,,从而可得函数在区间上单调递减,又因为奇函数,故, ,则,从而得出的取值范围.对函数求导得,根据的单调性,可以得出的取值范围. 【详解】解:由题意构造函数, 当时,,则, 则在区间上单调递减, 又为奇函数, 在区间上单调递减, ,所以, 则,即，所以的取值范围为. ,则在上单调递减,在上单调递增, 的最小值为， 所以. 故答案为: (1). (2). 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,函数奇偶性的运用,构造函数,并根据已知求解出该函数的性质是解答本题的关键,体会转化思想、构造的方法. 四、解答题 15. 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【小问1详解】 命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 17 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【小问1详解】 当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． 【小问2详解】 令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程 （2）当时，求函数的极值 （3）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为，又，由直线的点斜式可得切线方程； （2）利用的正负讨论的单调性，即可求得函数的极值； （3）由在上是单调增函数，所以在上恒成立，则在上恒成立，又在上为单调递减函数，所以，可得. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ，令，解得， 当时，，当时，， 所以 在上是减函数，在上是增函数， 所以在处取得极小值，无极大值. 【小问3详解】 因为在上是单调增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上为单调递减函数， 所以当时，取得最大值，即， 所以. 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果； （2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为． 当时，不等式等价于，显然满足条件； 当时，不等式等价于，即， 解得． 综上，的解集为， 即当的取值范围为时，成立． 【小问2详解】 （ⅰ）令 原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）． 当时，即为，所以至多一个实根①； 当时，即为，所以至多两个实根②． 由①知，，所以，此时①有一解； 由②知，所以即求的交点个数， 即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点， 当过点时，；当过点时，； 所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根；若或时，②有两个根； 综上所述，当时，的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为， 显然，所以． 易得函数在上单调递减，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林市田家炳高级中学2023-2024学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：杨辉 杨凤姝 审题人：刘明波 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷为非选择题．所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数是增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 19 B. C. 1 D. 4. 函数与的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对都有，，则 （ ） A. 1 B. 2024 C. 2 D. 2025 7. 若函数的单调递增区间是，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 有最小值 D. 上单调递增 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（ ） A B. C. D. 11. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的单调递减区间为 D. 的最大值是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题“，”的否定是______. 13. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 14. 已知函数,函数,分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且.若,则的取值范围为______；若不等式恒成立,则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若时，的最小值为，求的值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程 （2）当时，求函数的极值 （3）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 19 已知函数． （1）若，求取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$