精品解析：2024年内蒙古自治区通辽市科尔沁区第二中学中考模拟预测数学试题

九年级数学统练试卷（二） 一、单选题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂线段最短； ③的小数部分是； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；⑤坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 在同一坐标系内，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面直角坐标系中，反比例的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为．若将向下平移若干个单位长度后，A、C两点同时落在反比例函数图像上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 5 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且点与原点重合，边在轴上，点的横坐标为，现将菱形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为（秒），菱形位于轴右侧部分的面积为，则关于的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 13. 水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.00000000018米，用科学记数法表示为_______________米． 14. 两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，，．若，则______． 15. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为______． 16. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______． 17. 如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的有__________．（填写正确的序号） 三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18. 计算：； 19. 化简求值，其中从不等式组的整数解中选取． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；扇形统计图中，圆心角________， ②请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3600名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 如图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，枪柄与枪身之间的夹角为120°（即），肘关节与枪身端点之间的水平宽度为25.3cm（即的长度），枪身． （1）求的长； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 23. 临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元． （1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？ （2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？ 为期末加油！ 2B涂卡铅笔 4元/支 黑色水笔 2.5元/支 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，延长至，使得． （1）求证：为的切线； （2）过点作交于点，若的半径，，求的长． 25. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，，，点D为延长线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接交于点F，若，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在正方形中，点E是对角线延长线上的一点，连接，将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F，交于点G，连接．若，，直接写出的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学统练试卷（二） 一、单选题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂线段最短； ③的小数部分是； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；⑤坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行公理判断①；根据垂线段最短判断②；估算无理数的大小判断③；根据算术平方根和立方根的定义判断④；根据坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的判断⑤，即可求解． 【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②垂线段最短，原命题是真命题； ③因为，所以的小数部分是，原命题是假命题； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，原命题是真命题； ⑤坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，原命题是真命题； 所以真命题有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了判断命题的真假，平行公理及推论，垂线段最短，无理数的估算，坐标与图形性质，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 5. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，， 、这组数据的中位数是，原选项不符合题意； 、这组数据的平均数是，原选项不符合题意； 、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意； 、∵这组数据的平均数是， ∴， ∴原选项符合题意； 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，解一元一次不等式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0且二次项系数不为0，求出a的范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解不等式得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 7. 在同一坐标系内，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择． 【详解】A、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，则a＜0， ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； B、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴a＞0，−a＜0，即a＞0 ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项正确； C、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，−a＜0，a无解，故错误； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，则a＜0， ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与一次函数图象，应该熟记正比例函数y＝kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设有个人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴实际乘坐的车辆数为，总人数等于每车人数乘乘坐车辆数，可得方程； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴总人数等于乘车人数加步行人数，乘车人数为，步行人数为9，可得方程； 因此所列方程组为： 9. 如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键． 根据题意主视图和左视图判断只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可． 【详解】解：只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可， ∴至少放2块正方体， 故选：B． 10. 如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、C、A共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积进行计算即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到， ∴， ∴点B′、C、A共线， ∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质． 11. 如图，平面直角坐标系中，反比例的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为．若将向下平移若干个单位长度后，A、C两点同时落在反比例函数图像上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解； 【详解】解：∵AB=AC=，BC=4，点A（3，5） 由等腰三角形的性质及勾股定理可知： B（1，），C（5，）， 将△ABC向下平移m个单位长度， ∴A（3，5-m），C（5，-m）， ∵A，C两点同时落在反比例函数图象上， ∴k=3（5-m）=5（-m）， ∴m=； ∴k=, 故选择：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且点与原点重合，边在轴上，点的横坐标为，现将菱形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为（秒），菱形位于轴右侧部分的面积为，则关于的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，垂足为点，如图所示，由菱形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当时；②当时；③当时；④当时；四种情况，作图求解关于的函数解析式，作出图像即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点，如图所示： 菱形的边长为4，且点与原点重合，边在轴上，点的横坐标为， ， ， ，， ①当时，如图（1）所示： ； ②当时，如图（2）所示： ； ③当时，如图（3）所示： ，， ， ， ， ， ， ； 当时，； 综上所述， 第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于轴的射线， 故选：A． 【点睛】本题考查求函数解析式及判断函数图像，涉及菱形性质、勾股定理、含直角三角形的三边关系、函数解析式及图像，题目综合性强，难度较大，根据题意分类讨论求出关于的函数解析式是解决问题的关键． 二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 13. 水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.00000000018米，用科学记数法表示为_______________米． 【答案】1.8×10﹣10 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据米用科学记数法表示米． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，，．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、余角，找到图中的角的关系是解题的关键． 根据题意得出，再根据余角的定义得出，然后根据平行线的性质得出，最后再根据余角的定义即可得出答案． 【详解】由题意得， ， 故答案为：． 15. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由作法得平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则证明得到，接着计算出得到，然后把点向右平移单位得到点坐标． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质． 16. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解得出，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴这三个整数解是2，3，4， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的有__________．（填写正确的序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，对称轴判断①，对称性判断②，最值判断③；对称轴结合特殊点判断④，抛物线与轴的交点个数结合特殊点判断⑤．从图象中有效的获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴；故①错误； ∵，且关于直线对称， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向上， ∴当时，函数值最小， ∴， ∴；故③错误； 由图象可知，当时，， ∵， ∴，即：，故④正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有2个交点， ∴， ∵， ∴；故⑤错误； 故答案为：④． 三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18. 计算：； 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数的运算．先算负整数指数幂，特殊角的锐角三角形值，绝对值，零指数幂，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 19. 化简求值，其中从不等式组的整数解中选取． 【答案】， 【解析】 【分析】先运用完全平方公式进行分式化简，再求取不等式组的解集，最后从不等式组的解集中取合适的整数解代入原式求值即可． 【详解】解： ， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组解集为，其中整数解有0和1， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求出和不等式组，熟练分式的运算法则是解题的关键． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；扇形统计图中，圆心角________， ②请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3600名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400，； ②补全条形统计图如下： （2）1260； （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形图，条形图，树状图求概率． （1）①有B组人数即占比可求得总人数，先求出C组人数，再求其圆心角即可；②把A、C组人数求出即可补全条形统计图； （2）先求样本中D组所占比例，再估计其人数即可； （3）先画出树状图，再求其概率即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取的学生为（人） A组人数为， C组人数为 扇形统计图中，圆心角， 故答案为：400，； ②略 【小问2详解】 （人） 答：估计该校参加组（阅读）的学生人数为1260人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的结果有2种，故其概率为 ． 21. 如图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，枪柄与枪身之间的夹角为120°（即），肘关节与枪身端点之间的水平宽度为25.3cm（即的长度），枪身． （1）求的长； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 【答案】（1）； （2） 在规定范围内， 理由：延长交于点，由题意的：， ∵，由（1）可知， ∴， 又， ∴在RtNMI中，， ∴ ∵小红与测温员之间距离为50cm， ∴， ∵， ∴此时枪身端点与小红额头的距离在规定范围内． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在RtBMH中，利用含30°直角三角形三边关系，即可解答； （2）延长交于点，，在RtNMI中，利用三角函数的定义即可求出的长，比较即可判断． 【小问1详解】 解：过点作于点，由题可知四边形为矩形，如下图： ∴， ∵cm，， ∴， 在RtBMH中，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题关键是添加辅助线和熟记锐角三角函数的定义． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）， 【解析】 【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由矩形的性质得，进而由勾股定理求出，求出，再由勾股定理求，最后根据求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 是的中点， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在直角三角形中， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 23. 临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元． （1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？ （2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？ 为期末加油！ 2B涂卡铅笔 4元/支 黑色水笔 2.5元/支 【答案】（1）每支铅笔3元，每支水笔2元． （2）商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元． 【解析】 【分析】（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验； （2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出费用关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元， 由题意可得： ， 解得，x=3， 经检验，x=3是原分式方程的解， ∴每支铅笔3元，每支水笔2元． 【小问2详解】 解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支， 由题意可得，a+2a+60≤360， 解得 a≤100， 总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60） =2a+30 ∵k=2>0， ∴W随a的增大而增大， 故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元）， 所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元． 【点睛】本题考查方程、不等式、一次函数的综合，准确理解题意是解题的关键，分式方程易忘记检验，需要注意． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，延长至，使得． （1）求证：为的切线； （2）过点作交于点，若的半径，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径 ，即， ， ， ，即，即半径， 为的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，为的直径可得，进而可得，结合已知可得，进而可得，由切线的判定定理即可得出结论； （2）接，在中，由勾股定理可求，再证明，得，可求，由即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， 是的直径，， 在中，由勾股定理可得， ， ， 为的切线 ， ，即， ， ． 25. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，，，点D为延长线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接交于点F，若，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在正方形中，点E是对角线延长线上的一点，连接，将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F，交于点G，连接．若，，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明≌； （2）证明，利用勾股定理求出的长，再证明，进而可得则可得出答案； （3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ，， ， ，， ， ∵， ∴， ∴， 设，， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使得， 由（1）得， ，， ， 连接交于点， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得， ，， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【解析】 【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式; (2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论； （3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可. 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+． 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为； （3）设点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC==|m|，QO=． △QOC为等腰三角形分三种情况： ①当OC=QC时，3=|m|， 解得：m=±， 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）； ②当OC=QO时，3=， 解得：m=3或m=0（舍去）， 此时点Q的坐标为（3，0）； ③当QC=QO时，有|m|=， 解得：m=， 此时点Q的坐标为（，﹣）． 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $