精品解析：2024年河南省驻马店市西平县模拟预测数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若x的相反数是3，则x的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 画如图所示物体的左视图，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查，适合采用普查的是（ ） A. 全国中学生对“社会主义核心价值观”的了解程度 B. 郑州市全体中小学生对“甲流”相关知识的知晓程度 C. 全市中小学生每天睡眠时间情况 D. 某校九年级（1）学生的心理健康情况 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着科技发展，柔性屏幕逐渐应用于高端智能手机．某公司生产的柔性屏幕厚度0.00256毫米，用科学记数法表示为毫米，则n是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 7. 中央电视台的“中国诗词大会”是同学们非常喜爱的一档节目，其中唐代诗人刘禹锡的《秋词》的四句诗被打乱了顺序：①我言秋日胜春朝；②便引诗情到碧霄；③自古逢秋悲寂寥；④晴空一鹤排云上；现在已知③是首句，小明对其余三句诗的顺序进行随机调整，第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 9. 河阴石榴原名安石榴，距今已有2100多年的历史．河阴石榴具有籽粒大、色紫红、甜味浓、无核软渣等独特的品种优势，吃时甜汁欲滴，满腮生津，广得人们喜爱．某果园计划种植一批河阴石榴，原计划总产值4.5万公斤，为满足市场需求，该果园决定改良河阴石榴品种，改良后平均亩产量是原来的1.4倍，总产量比原计划增加了0.7万公斤，种植亩数减了12亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，点E沿着A→B→C的路径以的速度匀速运动，到达点C停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点F，记线段的长度为，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式的解集为______． 12. 请写出一个图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点的一次函数的解析式：______． 13. 如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是______． 14. 如图，在平行四边形中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，求阴影部分的面积______． 15. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两条边分别在坐标轴上，点M为边上中点，连接，点P是线段上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边交于点E（点E不与C重合），若四边形是等腰直角四边形，则点的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 17. 每年4月23日为“世界读书日”．2023年4月23日我国首届全民阅读大会在北京开幕，习近平总书记发来贺信，希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长．某初级中学为了解本校七年级学生每周的课外阅读时间情况，随机抽取本校七年级部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制了如下统计图． （1）被抽样的学生总数有______人，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m的值为______，本次调查中，每周课外阅读时间的中位数落在______（填字母）组； （3）根据调查结果，请你对该校七年级学生课外阅读情况作出评价，并提出两条合理化建议． 18. 如图，四边形与四边形均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，，双曲线的图象过点，交边于点． （1）填空：______，______； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点M，求线段的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） （3）求菱形的面积． 19. 河南地处中原，历史悠久，文物丰富，是中华文明重要的发源地．河南博物院位于郑州市金水区农业路，为国家级重点博物馆，是中国建立较早的博物馆之一，也是首批中央地方共建国家级博物馆．某校数学兴趣小组想知道博物馆的高度，于是走到博物馆右侧点C处，测得此时顶部点A的仰角是，向前走了14.6米至点F处，测得此时点A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮该小组求出博物馆的高度．（参考数据：，，） 20. 万邦国际农产品批发市场是河南省最大的水果蔬菜粮油调料干果水产及肉食品的批发集散地，现有甲、乙两种货车17辆恰好同时将205t的水果与蔬菜运往洛阳与开封两地，两种货车载重量及到洛阳、开封两地的运输成本如下表： 货车类别 载重量/（t/辆） 运往洛阳的成本/（元/辆） 运往开封的成本/（元/辆） 甲种 15 1600 1000 乙种 10 1200 800 （1）求甲、乙两种货车分别用了多少辆； （2）如果前往洛阳的甲、乙两种货车共11辆，所运物资不少于120t，其余货车将剩余水果与蔬菜运往开封．设甲、乙两种货车到洛阳、开封两地的总运输成本为w元，前往洛阳的甲种货车为a辆． ①写出w与a之间的函数解析式； ②当a为何值时，w值最小？最小值是多少？ 21. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中． （1）求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式； （2）小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为，请判断小颖此次投掷能否成功进壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围． 22. 在古代西方，智慧的美索不达米亚人做出了世界上第一个木轮车，其原理是将圆的木轮固定在木架上，就形成了最初的车子．如图，一辆木轮车放置在地面上，小明想利用三角形的稳定性将小车固定住，他准备分别从点A，O，F处拉三根绳子，拉紧固定在地面上点C处，已知木轮与水平地面相切于点E，推杆与交于点F，交于点A，与相切于点A，与交于点D． （1）求证：； （2）若木轮的半径为0.5米，米，求点A到绳的距离． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． （1）问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； （2）类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （3）拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若x的相反数是3，则x的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于3的相反数是-3，则由题意可求得x的值． 【详解】∵3的相反数是-3，x的相反数是3 ∴x=－3 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握相反数的概念是关键． 2. 画如图所示物体的左视图，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，掌握从左面，正面和上面看物体的图形是解题的关键． 【详解】解：物体的左视图为： 故选A． 3. 下列调查，适合采用普查的是（ ） A. 全国中学生对“社会主义核心价值观”的了解程度 B. 郑州市全体中小学生对“甲流”相关知识的知晓程度 C. 全市中小学生每天睡眠时间情况 D. 某校九年级（1）学生的心理健康情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性得调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、调查全国中学生对“社会主义核心价值观”的了解程度，适合抽样调查，故本选项不合题意； B、调查郑州市全体中小学生对“甲流”相关知识的知晓程度，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查全市中小学生每天睡眠时间情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； D、调查某校九年级（1）学生的心理健康情况，适合全面调查，故本选项合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方法则，完全平方式，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方法则，完全平方式逐项判断即可求解． 【详解】A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 5. 随着科技发展，柔性屏幕逐渐应用于高端智能手机．某公司生产的柔性屏幕厚度0.00256毫米，用科学记数法表示为毫米，则n是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式得到，再解不等式得到k的取值范围，在对选项进行判断． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， 解得，故k可取3． 故选：D． 7. 中央电视台的“中国诗词大会”是同学们非常喜爱的一档节目，其中唐代诗人刘禹锡的《秋词》的四句诗被打乱了顺序：①我言秋日胜春朝；②便引诗情到碧霄；③自古逢秋悲寂寥；④晴空一鹤排云上；现在已知③是首句，小明对其余三句诗的顺序进行随机调整，第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列举法力求概率，列举出所有等可能发生的情况，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵已知③是首句， ∴另3句的顺序可能为：，，，，，，， ∴共有6种等可能发生的情况，其中符合题意的情况有1种， ∴小明第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性是． 故选B． 8. 如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选： A. 9. 河阴石榴原名安石榴，距今已有2100多年的历史．河阴石榴具有籽粒大、色紫红、甜味浓、无核软渣等独特的品种优势，吃时甜汁欲滴，满腮生津，广得人们喜爱．某果园计划种植一批河阴石榴，原计划总产值4.5万公斤，为满足市场需求，该果园决定改良河阴石榴品种，改良后平均亩产量是原来的1.4倍，总产量比原计划增加了0.7万公斤，种植亩数减了12亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是，由种植亩数减了12亩列分式方程即可． 【详解】设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是 由题意得： 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，，点E沿着A→B→C的路径以的速度匀速运动，到达点C停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点F，记线段的长度为，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，理清题意，利用数形结合的方法得出相关线段的长是解答本题的关键；由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，根据勾股定理求出，再证明即可求解． 【详解】作，交于M，作，交于点N，如图， ∵ ∴四边形是平行四边形 由题意知，， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是熟知一元一次不等式的基本解法． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 请写出一个图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点的一次函数的解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由题意可以得到k、b的正负情况；根据一个一次函数的图象经过第一、二、四象限且与x轴交于点可以得到k、b的正负情况，然后即可写出一个符合要求的一次函数解析式，注意本题答案不唯一． 【详解】∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴ ∵一次函数与x轴交于点 ∴符合条件的一个函数解析式是 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是______． 【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行． 14. 如图，在平行四边形中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，求阴影部分的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，锐角三角函数的应用，本题的关键是理解阴影部分的面积的面积−扇形的面积的面积．过点作于点，可求和的高，观察图形可知阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积，计算即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵在平行四边形中，，，， ∴，，， ∴， ，，， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 15. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两条边分别在坐标轴上，点M为边上中点，连接，点P是线段上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边交于点E（点E不与C重合），若四边形是等腰直角四边形，则点的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握新定义是解题的关键． 分，两种情况，分别画图，利用全等三角形和相似三角形进行解题即可． 【详解】解：如图，当，且时， 过点P作于点D，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，是中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴ ∴， ∴； 当，且时，延长交于点F， 则四边形是矩形， ，， ∴， ∴，即，解得； 故答案为：1或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算以及分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质、负整数指数次幂、零指数幂的性质分别化简，合并得出答案； （2）先把分式的除法转化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 每年4月23日为“世界读书日”．2023年4月23日我国首届全民阅读大会在北京开幕，习近平总书记发来贺信，希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长．某初级中学为了解本校七年级学生每周的课外阅读时间情况，随机抽取本校七年级部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制了如下统计图． （1）被抽样的学生总数有______人，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m的值为______，本次调查中，每周课外阅读时间的中位数落在______（填字母）组； （3）根据调查结果，请你对该校七年级学生课外阅读情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）， 补全频数分布直方图为： （2）40，C （3） ①七年级学生每天的平均课外阅读量大多数同学不到小时，建议七年级学生要加强课外阅读； ②七年级学生的主动阅读习惯差，建议学校组织与阅读有关的活动，调动学生阅读积极性． 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，得到相关信息计算解题． （1）根据频数统计表中的数据，可以计算出这次被调查的总人数，然后计算出C组得人数，补图即可； （2）根据C组人数除以抽查的总人数计算m的值，把这组数据排列后居于中间的两个数都落在C组中，即可得出中位数落在C组； （3）对课外阅读情况作出评价并提出建议即可． 【小问1详解】 解：抽样的学生总数有人， C组人数为：人， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵排列后第个与第个数据的平均数是中位数，求这两个数据都落在C组， ∴中位数落在C组； 【小问3详解】 略 18. 如图，四边形与四边形均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，，双曲线的图象过点，交边于点． （1）填空：______，______； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点M，求线段的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） （3）求菱形的面积． 【答案】（1）， （2） 如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）先利用尺规作角的平分线，然后利用勾股定理求出长，然后利用解题即可； （3）先证明，然后根据点的坐标得到相似比，然后求出菱形的底和高，计算面积即可． 【小问1详解】 解:∵反比例函数 的图象过点, ， 即反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数 得， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，即为所作； 由作图可得到的距离等于长， ∵点的坐标为, ， ∵ 四边形 为菱形, ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（1），可知点的坐标为 ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形, ， ． 【点睛】本题考查图形与坐标，反比例函数得解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作角的平分线，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 19. 河南地处中原，历史悠久，文物丰富，是中华文明重要的发源地．河南博物院位于郑州市金水区农业路，为国家级重点博物馆，是中国建立较早的博物馆之一，也是首批中央地方共建国家级博物馆．某校数学兴趣小组想知道博物馆的高度，于是走到博物馆右侧点C处，测得此时顶部点A的仰角是，向前走了14.6米至点F处，测得此时点A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮该小组求出博物馆的高度．（参考数据：，，） 【答案】博物馆的高度约为45.4米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作垂线交的延长线于点G，可得四边形，四边形，四边形均为矩形，设米，则米，根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：过点A作垂线交的延长线于点G， 由题意得： 则四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米， 在中，，即 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴米， ∴（米）， 答：博物馆的高度约为45.4米 20. 万邦国际农产品批发市场是河南省最大的水果蔬菜粮油调料干果水产及肉食品的批发集散地，现有甲、乙两种货车17辆恰好同时将205t的水果与蔬菜运往洛阳与开封两地，两种货车载重量及到洛阳、开封两地的运输成本如下表： 货车类别 载重量/（t/辆） 运往洛阳的成本/（元/辆） 运往开封的成本/（元/辆） 甲种 15 1600 1000 乙种 10 1200 800 （1）求甲、乙两种货车分别用了多少辆； （2）如果前往洛阳的甲、乙两种货车共11辆，所运物资不少于120t，其余货车将剩余水果与蔬菜运往开封．设甲、乙两种货车到洛阳、开封两地的总运输成本为w元，前往洛阳的甲种货车为a辆． ①写出w与a之间的函数解析式； ②当a为何值时，w值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）甲种货车用辆，则乙种货车用辆 （2）① ②时，w最小，最小值为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲种货车用辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）①根据表格信息列出与之间的函数解析式； ②根据所运物资不少于120t列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆． 根据题意，得． 解得． ∴． 答：甲种货车用辆，则乙种货车用辆． 【小问2详解】 ①； ②由题可得：，解得：， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，最小值为元， 21. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中． （1）求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式； （2）小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为，请判断小颖此次投掷能否成功进壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围． 【答案】（1） （2）小颖此次投掷不能成功进壶，移动距离的范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，则解方程，求出x值比较即可解题． 【小问1详解】 由题可得抛物线的对称轴为直线经过点, ， 设小明投掷时箭头运动路线的表达式为,由题意可得： ，解得 ， 而由题意可知箭飞行的范围是到，即 ∴小明投掷时箭头运动路线的表达式为； 【小问2详解】 小颖此次投掷不能成功进壶，理由： ， ∴当时, 即， 解得：(不符合题意，舍去)， ， ∴小颖此次投掷不能成功进壶， 小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖方向移动，移动距离的范围是． 22. 在古代西方，智慧的美索不达米亚人做出了世界上第一个木轮车，其原理是将圆的木轮固定在木架上，就形成了最初的车子．如图，一辆木轮车放置在地面上，小明想利用三角形的稳定性将小车固定住，他准备分别从点A，O，F处拉三根绳子，拉紧固定在地面上点C处，已知木轮与水平地面相切于点E，推杆与交于点F，交于点A，与相切于点A，与交于点D． （1）求证：； （2）若木轮的半径为0.5米，米，求点A到绳的距离． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，是的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据证明，即可解题； （2）先根据勾股定理求出长，然后得到，求出长，再根据勾股定理求出长。然后连接，根据求出长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵米，米， ∴米， ∴米，米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 连接， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形得判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质是解题的关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． （1）问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； （2）类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （3）拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）不变，； （3）长的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形，是的中点，根据等边三角形的性质得出，，再根据即可求解； （2）在等边中，，证明，得出，即可得出； （3）根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 得出当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值，当圆心点和点之间时， 即时，有最大值，分别画图计算即可； 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不变， ∵在等边中，， 又由条件得． ， ， ； 【小问3详解】 解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 连接，连接并延长交于 ，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值， 此时； 当圆心点和点之间时， 即时，有最大值， 此时． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识点．解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $