精品解析：四川省眉山市仁寿县三校2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

仁寿县23级高一下期期末三校联考 数学试卷 一、单选题 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 甲；乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是；且两人的面试结果相互之间没有影响；则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，点为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，，，则； B. 若，，则； C. 若，，则； D. 若，，，，则. 7. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若为共扼复数，则为实数 B. 若i为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 12. 已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人. 14. 已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则______. 15. 四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为_________. 16. 在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为______． 四、解答题 17. 目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，. （1）求频率分布直方图中的值. （2）利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表) 18. 一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字． （1）求两次数字之和为7的事件的概率； （2）两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率． 19. 如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． （1）试用向量表示向量； （2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 20. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 21. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，是侧棱PB上的点，是底面对角线AC上的点，且，． （1）求证：； （2）求证：平面PAD； （3）求点到平面PAD的距离． 22. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的零点和单调递增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县23级高一下期期末三校联考 数学试卷 一、单选题 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题得,即得复数的虚部. 【详解】由题得. 所以复数的虚部为. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 3. 甲；乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是；且两人的面试结果相互之间没有影响；则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】由题意可得：甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率. 故选：D. 4. 已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理可求的值. 【详解】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且； 由题意，所以； 所以，解得. 故选：B. 5. 在中，点为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 【详解】设分别是的中点， 由于的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点， 所以. 故选：B. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，，，则； B. 若，，则； C. 若，，则； D. 若，，，，则. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理判断A；利用线面平行的性质及线面垂直的性质可判断B；根据空间中线线，线面的位置关系判断C；根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】若，，，，，根据线面平行判定定理可知，故A正确； 过作一平面，，若，则， 又，，则，所以，故B正确； 若，，则可能平行，也可能异面，故C错误； 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故D正确. 故选：C. 7. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果. 【详解】由，可得， 因为底面为矩形，，，， 所以，， 又 ， 所以，则. 故选：B 8. 一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得袋中黑球的个数为，红球个数为，根据对立事件结合古典概型列式求解即可. 【详解】由题意可知：袋中黑球的个数为， 设红球个数为， 从袋中任意摸出2个球，没有白球的概率为， 因为至少得到1个白球的概率是，则，解得， 所以红球的个数为1. 故选：A. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若为共扼复数，则为实数 B. 若i为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的相关定义，即可结合选项求解. 【详解】对于A,若为共扼复数，则，故，故A正确， 对于B, ，故B错误， 对于C, 在复平面内对应的点为，在第三象限，故C正确， 对于D, 不能得到，比如，但是，故D错误， 故选：AC 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有种， 表示事件“两次掷出的点数相同”, 表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数” ，故B正确； 表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种： ，故C正确； 事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；， 事件“两次掷出的点数相同”共6种：， 表示事件“两次为相同的偶数”共3种： ， 即，与相互独立，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图可知，求得，可判断A；由结合求得，可判断B；利用三角函数的单调性求解可判断C；求出的解析式，进而求出对称轴，可判断D. 【详解】由图可知，则，故A正确. 因为，所以，即. 因为，所以，则B正确. 令，解得，此时单调递增； 令，解得，此时单调递减. 由，得在上单调递减，在上单调递增，则C错误. 因为，所以. 令，，得，. 当时，，则的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 12. 已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】在△ABD中，根据AE是中线可得，再根据D是AC中点即可表示出，从而判断A；设，得到，根据，，三点在一条直线上及三点共线定理的推论可得k的值，从而可判断B；用表示出，根据向量数量积运算方法即可计算，从而判断C；根据E是BD中点及D是AC中点可得，，从而可判断D． 【详解】如图， ，故A正确； 设，则， 又，，三点在一条直线上，故，故， 即，， 故，故B正确； ，故，故C错误； ， ， 故，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人. 【答案】1800 【解析】 【分析】利用比例求出学生总数. 【详解】，故该校高中学生总数是1800人. 故答案为：1800 14. 已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算. 【详解】依题意得，， 由三点共线可知，存在，使得，即， 由于，是两个不共线的向量，则， 解得. 故答案为：1. 15. 四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为_________. 【答案】0.8784 【解析】 【分析】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作，再由独立事件的乘法公式，即可得出答案. 【详解】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作， 所以该电路正常工作的概率为. 故答案为：0.8784 16. 在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行六面体的几何性质，选定一组基底，表示两个垂直的向量，利用垂直向量数量积为零，建立方程，可得答案. 【详解】设，则构成空间的一个基底， 设，因为，所以， 因为， 所以，即， 即，解得． 故答案为：. 四、解答题 17. 目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，. （1）求频率分布直方图中的值. （2）利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由各频率和为1列方程可求出的值； （2）直接利用平均数的定义和频率分布直方图中的数据求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 解得 【小问2详解】 样本的平均数约为 18. 一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字． （1）求两次数字之和为7的事件的概率； （2）两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率． 【答案】（1）； （2）两次数字之和为的事件概率最大，概率为. 【解析】 【分析】（1）列举法求两次数字之和为7的事件的概率； （2）列举出数字之和为的对应事件并确定概率，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，2次所得数字，且分别表示第一次、第二次的对应数字， 基本事件有，，，共16种； 其中两次数字之和为7的事件有，共2种； 所以两次数字之和为7的事件的概率为. 【小问2详解】 由（1），数字之和为， 有，概率为； 有，概率为； 有，概率为； 有，概率为； 有，概率为； 有，概率为； 有，概率为； 所以两次数字之和为的事件概率最大，概率为. 19. 如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． （1）试用向量表示向量； （2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】（1）， （2） 因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 【解析】 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【小问1详解】 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． 【小问2详解】 略 20. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【小问1详解】 设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件， . 【小问2详解】 设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”， 所以， 则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为． 21. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，是侧棱PB上的点，是底面对角线AC上的点，且，． （1）求证：； （2）求证：平面PAD； （3）求点到平面PAD的距离． 【答案】（1） 侧面底面ABCD，且平面PAB与平面ABCD的交线为AB，，平面ABCD， 平面PAB，平面PAB，． （2） 法一：过作交PA于点，过作交AD于点，连接ST， ，，同理可得， ，， 是平行四边形，， 又平面PAD，平面PAD，平面PAD． 法二：过作交AB于点，连接EN， ，又，，  ， 又平面PAD，平面PAD，平面PAD， ，平面PAD，平面PAD，平面PAD， 又，平面MEN， 平面平面PAD，又平面MEN，平面PAD． 法三：连接BN并延长交直线AD于点， ，， ，， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD． （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得面PAB，即可得出结论； （2）法一：过作交PA于点，过作交AD于点，证明MNTS是平行四边形，推出，由线面平行的判定定理，即可得出结论； 法二：过作交AB于点，可得平面PAD，平面PAD，从而平面平面PAD，由面面平行的性质可得结论； 法三：连接BN并延长交直线AD于点，可得，由线面平行的判定定理，即可得出结论； （3）法一：平面PAD，点到平面PAD的距离是点到平面PAD的距离，在平面PAB内过作于，可证得平面PAD，则MH是点到平面PAD的距离，求解即可； 法二：设点到平面PAD的距离为，取AB的中点，则底面ABCD，利用等体积法，由求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：平面PAD，点到平面PAD的距离是点到平面PAD的距离， 在平面PAB内过作于， 平面PAB，平面PAB，， ，平面PAD，平面PAD， 是点到平面PAD的距离， 在中， ，  ，， 所以点到平面PAD的距离为． 法二：设点到平面PAD的距离为h，取的中点，连接，则， 侧面底面，侧面底面，侧面， 底面， ，， ， 即点到平面的距离为． 22. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的零点和单调递增区间． 【答案】（1） （2）零点为和；单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式，辅助角公式，将化简为，利用周期公式即可求解.（2）将零点转化为方程的根即可求解，根据整体法代入正弦函数的单调递增区间中即可求解. 【小问1详解】 由向量，，函数得 ． 所以的最小正周期为． 【小问2详解】 令，∴， ，解得，， ∵，所以的零点为和． 令，，得，． 又，所以的单调递增区间为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $