压轴题01 集合与逻辑八种题型-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

压轴题01 集合与逻辑八种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一：集合的表示法 2 题型二：元素与集合关系的判断 4 题型三：集合的包含关系判断及应用 8 题型四：子集与真子集 10 题型五：并集及其运算 15 题型六：交集及其运算 17 题型七：交、并、补集的混合运算 19 题型八：充分条件与必要条件 22 压轴能力测评（7题） 24 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 一．集合的表示法 1．（2021秋•金山区校级期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　 　 （请用列举法表示）． 2．集合，满足条件，，2，3，4，，当时，我们将和视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对共有　 　个． 3．已知集合，满足，集合，，，，则，两个集合的关系：　　（横线上填入，或 二．元素与集合关系的判断 4．（2023秋•宝山区校级月考）设集合，对任意、、，运算“⊕具有如下性质： （1）⊕； （2）⊕； （3）⊕⊕⊕⊕ 给出下列命题： ① ②若，则⊕⊕； ③若，且⊕，则； ④若、、，且⊕，⊕⊕，则． 其中正确命题的序号是　 　（把你认为正确的命题的序号都填上）． 5．（2024春•浦东新区校级期末）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 6．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　 ． 7．（2023秋•徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 三．集合的包含关系判断及应用 8．（2021春•杨浦区校级期中）设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是 　 　． 9．（2020秋•徐汇区校级期中）已知集合，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 10．（2024•浦东新区校级模拟）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有　　 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四．子集与真子集 11．（2022秋•徐汇区校级期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是　　 A．13 B．14 C．15 D．16 12．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 13．（2022秋•浦东新区校级期中）对于集合，定义，，，设，2，3，，． （1）设，4，，，5，，求，； （2）若是的子集且，，，0，1，2，，求满足条件的的个数； （3）设是正整数，若对的任意一个元子集，都有，2，，求的最小值． 14．（2022秋•徐汇区校级期中）（1）已知集合，且，任意从中取出个四元子集，，，，均满足的元素个数不超过2个，求的最大值．（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合，且，任意从中取出个三元子集，，，，均满足的元素个数不超过一个，求的最大值． 五．并集及其运算 15.已知集合，2，，，，若，求实数． 16．（2022秋•宝山区校级月考）已知集合，集合，且，试求的取值范围． 17．（2022秋•思明区校级月考）已知，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和为56，求　　． 六．交集及其运算 18．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是 　　． 19．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，，若，求实数的值及． 20．（2021秋•宝山区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （Ⅰ）若集合，，直接写出集合，； （Ⅱ）若集合，，，，，且，求证：； （Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 七．交、并、补集的混合运算 21．（2022秋•徐汇区校级期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　 ． 22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 八．充分条件与必要条件 23．（2022秋•虹口区校级期中）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 24.（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 25．（2021秋•黄浦区校级月考）设集合，，． （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值． 2．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 3．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，2，，，，求集合和； （2）已知为有限集，若，证明：． （3）若，求的值． 4．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合，，，，或1，，2，，，对于，，，，，，，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，，，，，，，定义：，，，．求证：对任意的，，，有以下结论成立： ①，，； ②、、三个数中至少有一个是偶数． 5．（2023春•浦东新区校级月考）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： ①对于任意，，若，都有； ②对于任意，，若，则． （1）分别对，2，和，4，，求出对应的； （2）如果当中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：中最小的元素是1； （3）如果恰有4个元素，求的元素个数． 6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，求证：，并直接写出集合； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 7．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合，2，3，，，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和，是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题01 集合与逻辑八种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一：集合的表示法 2 题型二：元素与集合关系的判断 4 题型三：集合的包含关系判断及应用 8 题型四：子集与真子集 10 题型五：并集及其运算 15 题型六：交集及其运算 17 题型七：交、并、补集的混合运算 19 题型八：充分条件与必要条件 22 压轴能力测评（7题） 24 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 一．集合的表示法 1．（2021秋•金山区校级期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　 　 （请用列举法表示）． 【考点】集合的表示法 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【解答】解：根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题． 2．集合，满足条件，，2，3，4，，当时，我们将和视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对共有　 　个． 【考点】15：集合的表示法 【分析】，2，3，4，，可得，均为集合，2，3，4，的子集．由，可得，不为．对集合（B）分类讨论即可得出． 【解答】解：，2，3，4，， ，均为集合，2，3，4，的子集． 由，可得，不为． ①当为一元集时，不妨令，则，2，3，4，， 此时对子有个； ②当为二元集时，不妨令，，则，2，3，4，，或，3，4，，或，3，4，， 此时对子有个； ③当为三元集时，不妨令，2，，则，2，3，4，，或，2，4，，或，3，4，，或，3，4，，或，4，，或，4，，或，4，． 此时对子有个； ④当为四元集时，，2，3，，则，2，3，4，，或，2，3，，或，2，4，，或，3，4，，或，3，4，，或，2，，或，4，，或，4，，或，4，，或，3，，或，3，，或，，或，，或，，或，，或， 此时对子有个； ⑤当为五元集时，，2，3，4，，的个数为个． 综上满足条件，2，3，的不同对子有个． 故答案为：211． 【点评】本题考查了集合的运算性质、组合数的计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 3．已知集合，满足，集合，，，，则，两个集合的关系：　　（横线上填入，或 【考点】15：集合的表示法；18：集合的包含关系判断及应用 【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论． 【解答】解：根据题意，集合，， 表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3， ，，表示所有比7的整数倍小4的整数， 也表示所有比7的整数倍大3的整数， 故； 故答案为：． 【点评】本题考查集合的表示法，需要注意集合、中的取值范围不同． 二．元素与集合关系的判断 4．（2023秋•宝山区校级月考）设集合，对任意、、，运算“⊕具有如下性质： （1）⊕； （2）⊕； （3）⊕⊕⊕⊕ 给出下列命题： ① ②若，则⊕⊕； ③若，且⊕，则； ④若、、，且⊕，⊕⊕，则． 其中正确命题的序号是　 　（把你认为正确的命题的序号都填上）． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】根据定义中所给的规则（1）⊕； （2）⊕； （3）⊕⊕⊕⊕，对四个命题逐一进行验证，得出正确命题． 【解答】解：①由（1）⊕； （2）⊕，，故①正确； ②由（2）⊕； （3）⊕⊕⊕⊕知，则⊕⊕，故②不正确； ③当时，若，且⊕，则显然成立，当时，若，且⊕，则在（3）中令，发现此时⊕⊕⊕⊕无意义，故，③正确； ④⊕或得，又⊕⊕，故有，所以④正确； 综上①③④正确 故答案为①③④ 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本题，关键是掌握并理解新定义中所给的规则，以及灵活选用规则判断命题是否正确．本题比较抽象，应好好总结做题规律． 5．（2024春•浦东新区校级期末）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可． 【解答】解：取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除． ，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除； ，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除； 故选：． 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，难度比较大． 6．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　 ． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】，设的元素乘积为，的元素和为，①若集合中只有一个元素，，，故不可能成立；②若集合中有两个元素，求出集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6，③若集合中有4个元素，集合中一定有元素1，2，分类讨论，能求出结果． 【解答】解：集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和， 中元素和为：， 设集合中元素乘积为，集合中元素和为， ①若集合中只有一个元素，，，故不可能成立； ②若集合中有两个元素，， 集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6， 若集合中的元素有4，设另一个元素为，则，在集合内无解； 若集合中的元素5，设另一个元素为，则，在集合内无解； 若集合中的元素有6，设另一个元素为，则，解得， 集合，； ③若集合中有三个元素， ，集合中的元素中，最小的元素不大于2， 若集合中较小的元素是1，4，设最大的元素为，则，解得， 若集合中较小的元素是1，5， 设最大的元素为，则，在集合内无解； 若集合中较小的元素是1，6， 设最大的元素为，则，在集合内无解； 若集合中较小的元素是2，3， 设最大的元素为，则，在集合内无解． 集合，4，， ③若集合中有4个元素， ，集合中一定有元素1， ，集合中一定有元素1，2， 若集合中较小的元素是1，2，3， 设最大的元素为，则，解得； 若集合中较小的元素是1，2，4，设最大的元素为，则，在集合内无解， 故集合，2，3，； 集合中不可能有5个及以上元素． 综上所述，满足条件的集合有，，，4，，，2，3，． 故答案为：，，，4，，，2，3，． 【点评】本题考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 7．（2023秋•徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，，的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合，的元素个数分别为3和4为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解答】解：（1）非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解， ，，又， 则集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现， 组和组不相交，且0，， 又，则中所在元素之积的所有可能值为或1． （2）非空实数集满足：任意，均有，且， ，且，又， 则集合中的元素是以，的形式，四个数为一组出现， 组和组不相交，且，0，， 若由四个元素组成，则，，，，且所有元素之和为3， ，整理得， 解得或， 当或或或时， ，，，， 综上，，，，． （3）由（1）（2）集合，的元素个数分别为3和4为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 和4互素，和中的各组最多只能有一个公共元素， 有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，， 此时从中选出5个元素属于， 则中至少有12个元素，此时中包含个元素， 例如，，，，2，， 选出3，，，，， 则，，，，，，，5，，，2，， 此有5个元素，有13个元素， 若，，，，，， 此时，从中选出5个元素属于，此时包含15个元素， 中包含个元素． 的元素个数的最小值为13． 【点评】本题考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 三．集合的包含关系判断及应用 8．（2021春•杨浦区校级期中）设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是 　 　． 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】按照中元素个数讨论可解决此题． 【解答】解：当集合中有10个元素时，不同的有序集合组，，有个； 当集合中有9个元素时，不同的有序集合组，，有个； 当集合中有0个元素时，不同的有序集合组，，有个； 总数为：． 【点评】本题考查组合应用、二项式定理，考查数学运算能力及数据分析能力，属于难题． 9．（2020秋•徐汇区校级期中）已知集合，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用 【分析】（1）由，所以，可得， （2）因为，所以， 讨论和的情况． 【解答】解：（1）由得或2，所以，， 由得或，所以，， 因为，所以， 所以或2，所以或3； （2）因为，所以， 当时，△，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当，时，，无解， 综上，实数的取值范围是，． 【点评】本题考查集合包含关系，注意空集的情况，属于难题． 10．（2024•浦东新区校级模拟）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有　　 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】空集及空集的性质；集合的包含关系判断及应用 【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数与图象来研究，分析可得答案． 【解答】解：由题意知函数、的图象如图所示， 设，，，， ，，， ，，则． 而，，故①错误． 对于②，若，，，则，，，， 则，故②错误． 设，，，， ，则． ，，，， ，，故③错误． ④由③的判断知，当，则是正确的．故④对． 故选：． 【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路． 四．子集与真子集 11．（2022秋•徐汇区校级期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【考点】子集与真子集；数列的应用 【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案． 【解答】解：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集， 假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即， 同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾， 再证满足要求，当时，， 可以分成2个破晓集的并集， 事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外， 剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：， 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列2个破晓集的并：， 最后，集合中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，， 则和是不相交的破晓集，且． 综上，的最大值为14． 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了反证法的应用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明． 【解答】解：（1），3，，，10，； （2）设，，，，，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集中元素个数的最小值为7； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，， 不妨设，则集合的生成集，，，，，； 则必有，，其4个正实数的乘积； 也有，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，． 【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题． 13．（2022秋•浦东新区校级期中）对于集合，定义，，，设，2，3，，． （1）设，4，，，5，，求，； （2）若是的子集且，，，0，1，2，，求满足条件的的个数； （3）设是正整数，若对的任意一个元子集，都有，2，，求的最小值． 【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集 【分析】第一问直接用列举法可得，第二，三问统一列表格，即可直观求出结果． 【解答】解：（1）由，4，，则如下表①，，5，，则如下表②，行表示，列表示， 3 4 6 3 0 1 3 4 0 2 6 0 ① 3 5 6 3 0 2 3 5 0 1 6 0 ② 则，，，0，1，2，，，，，0，1，2，； （2）由，2，3，，，则如下表：行表示，列表示，空白处为其它元素， 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 19 20 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3 4 0 1 2 5 0 1 6 0 7 8 9 10 11 12 3 13 2 3 14 1 2 3 15 0 1 2 3 16 0 1 2 3 17 0 1 2 3 18 0 1 2 19 0 1 20 0 要使是的子集且，，，0，1，2，，即在任选几个元素，它们在上表中所得的元素恰好为，，，0，1，2，3， 由上表知：最多只可取连续的4个元素，如：，2，3，、，3，4，等，否则会出现除，，，0，1，2，3之外的元素， 所以，取连续的4个元素时，集合共有17种： 以，4，5，为例，由（1）知：，4，、，5，有，，，0，1，2，，而，4，、，5，不符合要求， 所以4个连续元素中有两个3元子集符合要求，故取连续的4个元素中3个元素所得集合有种： 集合不可能小于3个元素，若小于3个元素，则的元素个数小于等于3个且必含元素0，不合要求； 综上，满足条件的的个数共有51个； （3）由（2）分析知：对的任意一个元子集都有，2，，可得中至少包括连续4项，由于奇数和偶数均为10个，则， 不能成立，，2，3，7，8，9，13，14，15，19，，最小值一定大于等于12，可利用反证法证明最小是12 所以的最小值为12． 【点评】本题考查子集定义、新定义，考察缜密的逻辑思维能力，属于难题． 14．（2022秋•徐汇区校级期中）（1）已知集合，且，任意从中取出个四元子集，，，，均满足的元素个数不超过2个，求的最大值．（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合，且，任意从中取出个三元子集，，，，均满足的元素个数不超过一个，求的最大值． 【考点】元素与集合关系的判断；子集与真子集 【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解； （2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解． 【解答】解：（1）由题意知：，2，3，4，5，，四元子集的个数一共有15个，如下： ，2，3，，，2，3，，，2，3，，，2，4，，，2，4，，，2，5，，，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，，4，5，， 要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2， 比如：，2，3，，，2，5，； （2）由题意知：，2，3，4，5，6，，三元子集的个数一共有35个，如下： ，2，，，2，，，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，4，，，5，，，5，，，6，，，3，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，4，，，4，，，4，，，4，，，5，，，5，，，5，，，6，，，5，，，6，，，5，，，5，，，6，，，6，， 对，则与中其他元素共构成6个含的二元数对，而在每个含的三元子集中，佮好含的有2个这种数对， 由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，所以至多属于三元集组，中的3个，即至多出现在3个三元集中， 由于的元素个数不超过一个，故在含的三元数对中，， 由的任意性，不妨取，包含1的三元集合不妨取，2，，，4，，，6，满足，，，2，， 去掉1，剩下6个元素为，3，4，5，6，，分为3组：，，，，，， 若选，这组中的2，则，中可选一个数字4或5，则满足至多一个元素的三元集合还有 ，4，，，5，，，4，，，5，，故，2，，，4，，，6，， ，4，，，5，，，4，，，5，， 故可取7． 由于，所以至多属于三元集组，中的3个，即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，则这7个元素总共出现的次数至多为， 当时，每个三元集中的元素出现3次，那么所有的三元集中的元素出现次数为，则，这与总次数21矛盾，故， 故的最大值为7． 【点评】本题考查了集合间的关系，属于难题． 五．并集及其运算 15.已知集合，2，，，，若，求实数． 【考点】并集及其运算 【分析】根据，得到，然后分为空集和不是空集讨论，为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1和2代入二次方程求解的范围，注意求出后需要验证． 【解答】解：由，得． ①若，则△，解得：； ②若，△，此时，满足，此时，符合题意； ③若，则，解得：，此时，，满足题意． ④若，则，解得：，此时，，满足题意． 综上所述，实数的值为：1，2，3． 16．（2022秋•宝山区校级月考）已知集合，集合，且，试求的取值范围． 【考点】并集及其运算 【分析】由说明集合是集合的子集，当集合是空集时，符合题目条件，求出此时的的范围，当不是空集时，由两集合端点值之间的关系列不等式组求出的范围，最后把两种情况求出的的范围取并集即可． 【解答】解因为，所以，所以可以是，此时，即； 当时，则，要使，所以且，即． 综上所述的取值范围是：，． 【点评】本题考查了并集及其运算，考查了集合之间的关系，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是由集合之间的关系得出它们的端点值之间的关系，是基础题也是易错题． 17．（2022秋•思明区校级月考）已知，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和为56，求　8　． 【考点】交集及其运算；并集及其运算 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【解答】解：由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于难题． 六．交集及其运算 18．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是 　　． 【考点】交集及其运算 【分析】根据题意中集合“长度”的定义，可得的长度为，的长度为，分析可得当集合的长度的为最小值时，即重合部分最少时，与应分别在区间，的左右两端，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，的长度为，的长度为， 当集合的长度的最小值时， 与应分别在区间，的左右两端， 故的长度的最小值是， 故答案为． 【点评】本题考查集合间的交集，应结合交集的意义，分析集合“长度”的定义，进而得到答案． 19．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，，若，求实数的值及． 【考点】：并集及其运算；：交集及其运算 【分析】由，，以及与的交集确定出的值，进而求出与的并集即可． 【解答】解：，，，，，，且，中， 或， 解得：或， ①当时，，1，，，，，不满足题意舍去； ②当时，，0，，，，，满足题意， 综上所述：实数的值为，，，0，1，． 【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 20．（2021秋•宝山区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （Ⅰ）若集合，，直接写出集合，； （Ⅱ）若集合，，，，，且，求证：； （Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【考点】：交集及其运算 【分析】（Ⅰ）根据题目定义，直接计算集合及； （Ⅱ）根据两集合相等即可找到，，，的关系； （Ⅲ）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，； （Ⅱ）由于集合，，，，，且， 所以中也只包含四个元素，即，，，， 剩下的，所以； （Ⅲ）设，， 满足题意，其中， 则， ，，， ，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 实际上当，675，676，，时满足题意， 证明如下： 设，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即，675，676，，时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347． 【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合的定义是解答的关键，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题． 七．交、并、补集的混合运算 21．（2022秋•徐汇区校级期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　或　． 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】根据题意得出，计算、和，从而求出． 【解答】解：因为，，， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以； 同理，，所以； 由（1），；；（2）；（3）； 所以； 所以，，； 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题． 22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】（1）由题意可知，，0，，分，为，0，，为，和，为0，三种情况，结合集合新定义，可得的所有可能结果． （2）由收敛集合的定义推出仍是收敛集合，分，两种情况，进行变换，可得结果． （3）先根据运算：，满足交换律和结合律，再取和，和，和，和，0和进行运算，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可知，，0，， 若取，为，0，则，所以，， 若取，为，，则，所以，， 若取，为0，，则，所以，， 综上，的所有可能结果有，，，． （2）对任意的收敛集合，，，，，， 其中两个元素，，都有，， 则 ， 即，所以仍是收敛集合， 若，则的元素个数比少2个， 若，则的元素个数比少1个， 所以对于含有10个元素的集合， 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素， 则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素， 则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 所以最多进行9次变换，最少进行5次变换． （3）由于，，，，，，，， 对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时， 对于满足，的实数，定义运算：， 因为，且， 所以，该运算满足交换律， 因为， 且， 所以，该运算满足结合律， 所以，运算满足交换律和结合律， 由于， 先取，进行运算，得到，，，，，，， 再取，进行运算，得到，，，，， 再取，进行运算，得到，，，， 再取，进行运算，得到，， 再取0，进行运算，得到， 所以， 综上，最终所得集合只有一个元素时，所有满足条件的集合． 【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题． 八．充分条件与必要条件 23．（2022秋•虹口区校级期中）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【分析】作出示意图，由于，可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可． 【解答】解：如图由于，可知两个阴影部分均为， 于是ⅠⅣⅤ，ⅢⅣⅤ，ⅠⅡⅢⅤ， （1）若，则Ⅴ， 所以ⅠⅣ， 而ⅠⅡⅣ， 所以成立， （2）反之，若， 则由于ⅠⅡⅣ，ⅠⅣⅤ， 所以ⅠⅣⅤⅠⅡⅣ， 所以Ⅴ， 所以， 故是的充要条件， 故选：． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 24.（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【考点】充分条件与必要条件 【分析】（1）将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案， （2）根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案． （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1），，，， 假设，，，则，且， ， 或， 显然均无整数解， ， ，，， （2）集合，，则恒有， ， 即一切奇数都属于， 又， ”的充分非必要条件是“”， （3）集合，、，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 25．（2021秋•黄浦区校级月考）设集合，，． （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 【考点】元素与集合关系的判断；充分条件、必要条件、充要条件 【分析】（1）可从中任意取出两个数为，，，这样便可得出，从而便可得出属于的两个整数之积属于． （2）先设，，，而，可以看出取，时，便可得到，这便可得出所有奇数都属于； （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1）证明：从里面随便选2个数：和； 作乘积， ； ，，，； ，； ； 即属于的两个整数之积属于． （2），，； 而，故， ，故， ，无整数，解，故， （3）集合，、， 成立，①当，同奇或同偶时，，均为偶数， 为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数， 为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 反之当，即，． 故“偶数属于”的一个充要条件为这个偶数为，． 【点评】考查描述法表示集合，平方差公式的运用，知道表示偶数，表示奇数，其中，判断一个数是否为的元素，只需判断这个数能否写成两个整数平方差的形式．是难题． 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值． 【考点】元素与集合关系的判断；集合的表示法 【分析】（1）结合集合的性质，利用列举法求出集合； （2）结合集合的性质，利用分类讨论思想和列举法，求出集合中元素的个数； （3）根据定义，首先证明时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并集，由此求出的最大值． 【解答】解：（1），2，， ． （2）取中每一个值时，中都有7个元素． 当时，中的元素为1，2，3，4，5，6，7，共7个； 当，3，5，6，7时，中的元素为无理数，且互不相同； 当时，中的元素为1，2，3，，其中1，2，3为重复出现元素， 综上，中共有个元素． （3）假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集， 设，为不相交的稀疏集，使， 设，由题意得，则，即， 同理，，， 又推得，但，与为 稀疏集矛盾， 时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，， 若，则时，不能分成两个稀疏集的并集， 事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，为稀疏集，且， 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合， 可分成下面两个稀疏集：，， 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合， 可分成下面两个稀疏集：，， 集合，且，4，中的数均为无理数， 它与中的任何其它数之和都不是整数， 则把集合，且，4，中的元素任意分成两个不相交的集合的并集均可， 令稀疏集为与， 令，， 和是不相交的稀疏集，且， 综上，所求的最大值为14． 【点评】本题考查涉及求符合某个条件的集合元素个数问题、集合中元素的互异性、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 2．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 【考点】数列的应用；元素与集合关系的判断 【分析】（1）根据集合的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定，，坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围． 【解答】解：（1）证明：由题设， 则，且，， 所以若，则，得证； （2）如下表取，，1，2，，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，，，则，以，，为顶点的三角形面积为； （3）同（2），将中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，的取值范围为，． 【点评】本题考查了集合的综合运用，是难题． 3．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，2，，，，求集合和； （2）已知为有限集，若，证明：． （3）若，求的值． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）根据给定的定义，求出集合及其元素个数作答． （2）分中至少含有一个不在中的元素，两种情况分别推理作答； （3）根据给定条件，确定集合，中元素个数即可计算作答． 【解答】解：（1）集合，，，而，2，，，， ，1，2，3，，． （2）证明：依题意，，，， ， 当且仅当时，取等号， 若中至少含有一个不在中的元素，则有， 当时，则有， 为有限集，且， 令的最小元素为，此时集合中最小的元素为，集合中最小的元素， 集合中最小的元素为，， ，有， ． （3），集合，，， 若或，则，不合题意， 或， 当集合，中有存在3元素的集合时，令，令，，，， 若，，， 则有， 若，则，满足，此时． 若，则，此时，不合题意， 的值为3或4． 【点评】本题考查元素与集合的关系、集合新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 4．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合，，，，或1，，2，，，对于，，，，，，，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，，，，，，，定义：，，，．求证：对任意的，，，有以下结论成立： ①，，； ②、、三个数中至少有一个是偶数． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）（2）由新定义计算； （3）由新定义与反证法证明． 【解答】解：（1）由题意得，，，，，， 则由已知定义可知，可能的值为0，1，2共3个值； （2）设，，，，4个元素中第1个位置共个1，个0，下面对的可能取值进行分类讨论如下： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0， 所以的最大值为； （3）①由题意得，，，，，2，，， 若，则，，， 若，则，，， 故，，， ②由①可设，，，，，，，，， 则中有个1，中有个1， 设是使得成立的的个数， 则， 假设，，均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立， 故、、三个数中至少有一个是偶数，即证． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合的关系，考查了逻辑推理的能力，属于难题． 5．（2023春•浦东新区校级月考）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： ①对于任意，，若，都有； ②对于任意，，若，则． （1）分别对，2，和，4，，求出对应的； （2）如果当中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：中最小的元素是1； （3）如果恰有4个元素，求的元素个数． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）根据定义，应用列表法分别求出，4，，，16，，再应用集合并运算能求出结果； （2）对于，，且，，，，列举出满足①时，，，且，再结合②及元素个数，讨论、，求出对应的元素个数，能证明中最小的元素是1； （3）对于，，且，，，，，，列举满足①时，，，，，且，，，结合②及元素个数，讨论，，，进而确定中的元素即可． 【解答】解：（1）对于，2，，集合的元素如下： 且 2 4 2 8 4 8 由表得：，4，，此时要满足有，如下表： 且 2 4 2 由题意2，满足要求，，4，，则，2，4，， 对于，4，，集合的元素如下： 且 8 16 8 32 16 32 由题意2，满足要求，，16，，则，4，8，16，． （2）证明：对于，，，且，，，，集合的元素如下： 且 由表得：，，且，此时要满足有，如下表： 且 其中，，，， 当，且时，此时必有，， ，，，，，，则，，，，满足要求； 当时，必有，，， ，，，，，，则，，，，，不满足条件， 综上，当中愉有三个元素时，恰有4个元素，中最小的元素是1． （3）对于，，，且，，，，，，集合的元素如下： 且 由表得：，，，，，且，，， 此时要满足，有，如下表： 且 当，上表第一列有且均属于集合，而，，，，矛盾； 当，上表第一列有，且均属于集合，而，，，，矛盾； 当时，则，且均属于集合， 而，，，，此时只需满足，则， 可得，，，，且，，，，， 注意， ，，，，，，，故共有7个元素． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，求证：，并直接写出集合； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合、即可； （2）根据相等集合的概念即可得到结果； （3）设，，，满足题意，其中，从而可得，，，即可得，从而可得，再判断，675，，时满足题意即可． 【解答】解：（1）根据题意，，， ，4，，，， 故，，； （2）证明：是集合中的最小元素，，， ，，，，， 故，即， 故，，，， 故，故， 故； （3）设，，，满足题意，其中， 则， 故， 而， 故， ，， 中最小元素为0，最大元素为， ， 故， 故， 且当，675，，时， ，，，，，，1，2，3，，， ，， 故的最大值为1348． 【点评】本题考查了集合中元素互异性的应用，考查了集合中新定义的学习应用，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题． 7．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合，2，3，，，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和，是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断 【分析】（1）当时，，2，3，4，5，6，7，8，9，，，由题中所给新定义直接判断即可； （2）当时，，2，3，，2019，，， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证 即可说明集合具有性质； ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有1个不超过1010，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010，然后利用性质的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得． 【解答】解：（1）当时，集合，2，，，，11，12，，19，不具有性质， 因为对任意不大于10的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得么成立， 集合，具有性质， 因为可取，．对于该集合中任一元素， ，，，，都有， （2）当时，集合，2，3，，2019，，， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质． 首先因为，任取，其中． 因为，所以，2，3，，． 从而，即，所以． 由具有性质，可知存在不大于1010的正整数， 使得对中的任意一对元素、，都有． 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中，，则有． 所以，集合具有性质； ②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，那么集合一定具有性质． 任给，，则与中必有一个不超过1010． 所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010． 不妨设中有个元素、、、不超过1010． 由集合具有性质，可知存在正整数． 使得对中任意两个元素、，都有． 所以一定有、、，． 又，故、、、． 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，得． 当，2，，672，673，，，2019，时，取，则易知对集合中的任意两个元素，，都有，即集合具有性质． 而此时集合中有1346个元素，因此，集合元素个数的最大值为1346． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查学生的综合分析能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$