15.3 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

分式 分式方程 分式 从分数到分式 新知一览 分式的运算 分式的基本性质 分式方程及其解法 分式方程的应用 第十五章 分 式 15.3 分式方程 15.3 第1课时 分式方程及其解法 人教版八年级（上） 2 新课导入 引言：为了探寻古迹，小明早上坐轮船从白帝城到江陵，晚上再坐轮船返回到白帝城. 已知轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km，与最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为 v 千米/时，根据题意可列方程为 . 探究新知 知识点1：分式方程的概念 合作探究 问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程 分母中含有未知数． 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ ① 追问1：方程 与上面的方程有什么共同特征？ 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 定义总结 动手写几个分式方程吧！ 练一练 想一想 分式方程与整式方程的区别是什么？ 未知数不在分母中 ②③ ① 1. 下列式子中，属于分式方程的是________； 属于整式方程的是_______. 知识点2：分式方程的解法 合作探究 类比解整式方程 如何转化？ 动手解一解！ 去分母 探究1：如何解分式方程 合作探究 方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v). 解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得 90(30 - v) = 60(30 + v)， 解得 v = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 v = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 v = 6 是原分式方程的解. 归纳总结 解分式方程的基本思路： 整式方程 去分母 分式方程 (方程两边同乘 最简公分母) 合作探究 探究2：下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 检验： x = 5 代入 分式无意义 x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 分母 分式方程无解 x = 5 是整式方程的解 不是分式方程的解 想一想 上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 对比探究 x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 区别 ？ 整式方程的解是否使最简公分母为0 ① ② 用图框的方式总结为： 当 x = a 时 最简公分母是 否为零 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 否 x = a 不是 分式方程的解 是 归纳总结 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验. 典例精析 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. ①将分式方程转化为整式方程 ②求整式方程的解 ③把解代入到最简公分母中，看是否为零 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. ①化整式方程 ②求解 ③检验 练一练 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得 4(x + 1) = 2x + 6. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 1. (西安校考)解方程： . 2. (武汉开学考) 如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______. 解：将方程两边同乘 (x－2) 得 ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2. 因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2， 所以 a＝1 或 2. 1 或 2 当堂小结 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 x = a 解整式方程 x = a 是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 x = a 不是分式方程的解 检验 当堂练习 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( ) D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　) A. B. C. D. D 基础练习 3. 解方程： 解：去分母，得 解得 所以原方程的解为 检验：把 代入最简公分母，得 4. 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________． 解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1. ∵ 关于 x 的方程 的解是正数， ∴ x＞0 且 x≠1. ∴ -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2. ∴ a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2. a＜-1 且 a≠-2 能力提升 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$