第14章 综合专题-整式的乘法与因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解 综合专题讲解 人教版八年级（上） 1 专题目录 专题二：十字相乘法求因式分解 专题三：分组求因式分解 专题四：因式分解的应用 专题一：乘法公式的几何背景 专题一 乘法公式的几何背景 1. 平方差公式的几何背景 例1 如图①，从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( ) A．a2 + ab = a(a + b) B．(a－b)2 = a2 －2ab + b2 C．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 D．a2－b2 = (a + b)(a－b) b a 图① a 图② b D 练一练 1.(东台市期中)如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80 ，则阴影部分的面积是( ) A．30 B．40 C．50 D．60 B A B C D E 解析：用割补法，设大正方形边长为 a ，小正方形边长为 b ， S阴 = S△ACD - S△ECD = a(a + b)－ b(a + b). 2. 完全平方公式的几何背景 例2 如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是( ) A．(a + b)(a－b) = a2－b2 B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 C．(a－b)2 = a2 －2ab + b2 D．ab · ab = a2b2 B b a a b 2.(沙坪坝区校级期中)如图所示，大正方形边长为 a ，小正方形边长为 b ，已知 a2 + b2 = 16，ab = 2，则阴影部分的面积是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 练一练 B 3. 如图，将两个边长为 b 的小正方形，放到边长为 a 的大正方形内，若长方形 ABCD 的面积为 80 ，两个正方形重叠部分面积为 48 ， 求 a2 + b2 的值. A B C D a b b 解：由题意得：长方形 ABCD 的面积为 S长 = ab = 80 ， 两个正方形重叠部分的面积为 S重 = b(2b－a) = 48， 即 2b2－ab = 48， 解得：b = 8，a = 10，a2 + b2 = 164. [解题策略] 根据题干，找出面积与边长的关系. 已知条件(整式的值)整体带入求值. 专题二 十字相乘法求因式分解 例3 将式子 x2－x－6 分解因式. 解析：常数项 －6 = 2×(－3) ， 一次项系数 －1 = 2 + (－3) ， (x + 2)(x − 3) . 解：原式 = (x + 2)(x − 3) . 4.(张店区校级期末)已知，多项式 x2－mx + n 可因式分解为 (x + 3)(x－4)，则 m 的值为( ) A．－1 B．1 C．－7 D．7 解析：方法一：根据十字相乘法因式分解的性质， B -m = 3 + (-4) = -1 m = 1. 方法二：(x + 3)(x－4) = x2－x－12 5.(万州区期末)若 A、B、C 均为整式，如果 A · B = C ， 则称 A 能整除 C . 例如 (x + 3)(x－2) = x2 + x－6，可知 (x－2) 能整除 x2 + x －6 . 若 x－3 能整除 x2 + kx－12， 则 k 的值为( ) A．－1 B．1 C．－4 D．4 B 解析： x2 + kx－12 能被 x－3 整除 常数项为 -12 k = -12÷(-3)+(-3) [解题策略] ①观察多项式的常数项可以分解成哪几组因式相乘. ②找出“和”等于多项式一次项的那组，因式分解. 专题三 分组求因式分解 例4 因式分解：x3 + x2－x－1. 解析：把多项式适当分组 ，变形成符合乘法公式的 形式，再运用公式因式分解. 解：(1) 原式 = x3－x + x2－1 = x(x2－1) + (x2－1) = (x + 1)(x2－1) = (x + 1)2(x－1) . 1. 公式法分组求因式分解 练一练 6. 把下列各式分解因式：(1) x2 + y2－z2－2xy； (2) a3－a2b－a + b. 解：(1) 原式 = x2－2xy + y2－z2 = (x－y)2－z2 = (x－y + z)(x－y－z) (2) 原式 = a2(a－b)－a + b =a2(a－b)－(a－b) = (a2－1)(a－b) = (a + 1)(a－1)(a－b) 6. (射洪市期末)分解因式： (1) 25(m + n)2－9(m－n)2； (2) 4a2－b2－4a + 1. 解：(1) 原式 = [5(m + n)]2－[3(m－n)]2 = (5m + 5n + 3m－3n)(5m + 5n－3m + 3n) = (8m + 2n)(2m + 8n) (2) 原式 = 4a2－4a + 1－b2 =(2a－1)2－b2 = (2a + b－1)(2a－b－1) = 4 (4m + n)(m + 4n) 2. 十字相乘法分组求因式分解 例5 (徐汇区期末)因式分解：xy + (x + 1)(y + 1)(xy + 1). 解析：先把多项式乘出 ，再分组变形成符合十字相乘法的形式，最后因式分解. 解：原式 = xy + (xy + x + y + 1)(xy + 1) = xy + [(xy + 1) + x + y](xy + 1) =(xy + 1)2 + (x + y)(xy + 1) + xy =(xy + 1+ x)(xy + 1 + y) [解题策略] 把多项式适当分组 ，变形成符合乘法公式、十字相乘法的形式， 再运用公式因式分解. 专题四 因式分解的应用 7. (禅城区校级期中) 若 a + b－1 = 0，则： 3a2 + 6ab + 3b2 的值是 ( ). A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：a + b－1 = 0 D a + b = 1 3a2 + 6ab + 3b2 3(a + b)2 3a2 + 6ab + 3b2 = 3 8. (容城县校级一模) 小李在计算 20232023－20232021时，发现其计算结果能被连续三个整数整除，则这三个整数是 ( ). A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 B 9. (罗湖区期中修改) 生活中人们经常用到密码，某种设置密码的方法是，将多项式分解因式，如某多项式分解因式后的结果是：(x2＋1)(x＋1)(x－1)，当 x 取 10 时，各个因式的值是：x2＋1 = 101，x＋1 = 11，x－1 = 9. 于是就得到六位数密码“101119”.那么对于多项式 x8－y8 ，当取 x = 3 ，y = －2 时，用上述办法可以产生的六位数密码为( ) A．971315 B．891315 C．971015 D．139715 A 10. (怀集县一模) 如果一个正整数能表示为两个连续奇数 的平方差，那么称这个正整数为“相数”. 如：8 = 32 - 12，16 = 52 - 32，24 = 72 - 52，因此 8，16，24 都是“相数”. (1)判断 32 是相数吗？____.(填“是”或“不是”) (2)求证：所有的“相数”都是 8 的倍数. (提示：两个连续的奇数可以表示为 2n - 1， 2n + 1，其中 n 为正整数.) 解：(1) 32 = 92－72， 所以 32 是相数. (2) 2n - 1， 2n + 1 可以表示两个连续的奇数. (2n + 1)2－(2n - 1)2 (1)判断 32 是相数吗？____.(填“是”或“不是”) (2)求证：所有的“相数”都是 8 的倍数. 是 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n ∴所有的“相数”都是 8 的倍数. [解题策略] 把多项式适当分组 ，变形成符合乘法公式、十字相乘法的形式， 再运用公式因式分解. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$