第14章 整式的乘法与因式分解 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解 小结与复习 人教版八年级（上） 1 知识结构图 整式的乘法 整式的除法 乘法公式 (a + b)(a－b) = a2－b2 a2±2ab + b2 = (a±b)2 相反变形 因式分解 提公因式法 公式法 相反变形 特殊形式 互逆运算 am · an = am+n (am)n = amn (ab)n = anbn 幂的运算性质 am ÷ an = am-n 知识回顾 一、幂的乘法运算 1. 同底数幂的乘法：底数______，指数______. am · an = am+n 不变 相加 2. 幂的乘方：底数_______，指数______. 不变 相乘 3. 积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____. 乘方 相乘 (am)n = amn (ab)n = anbn (1) 把它们的_____、________分别相乘， 二、整式的乘法 1. 单项式乘单项式： 系数 同底数幂 (2) 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的_____作为积的一个因式. 指数 (1) 用单项式去乘多项式的_______； 2. 单项式乘多项式： (2) 再把所得的积______. 每一项 相加 3. 多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 _______，再把所得的积______. 每一项 相加 单项式乘多项式，实质是转化为_______乘 _______的运算. 多项式乘多项式，实质是转化为_______乘 _______的运算. 单项式 单项式 单项式 多项式 三、整式的除法 同底数幂相除，底数_______，指数_______. 1. 同底数幂的除法： am-n 不变 相减 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于_____. 1 a0 = am÷am = ____. (a≠0) 1 a m a n ÷ =_____. (a≠0，m，n 都是正整数，且 m ＞ n ). 2. 单项式除以单项式： 单项式相除，把______、__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连它的______作为商的一个因式. 系数 同底数幂 指数 3. 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 四、乘法公式 1. 平方差公式 两个数的______与这两个数的______的积，等于这两个数的________. 和 差 平方差 2. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的_______，加上(或减去)它们的______的 2 倍. 平方和 积 五、因式分解 把一个多项式化为几个______的______的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 1. 因式分解的定义 整式 积 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法 (2) 公式法 ① 平方差公式：____________________. ② 完全平方公式：____________________. a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2±2ab + b2 = (a±b)2 考点讲练 考点一 幂的运算 例1 下列计算正确的是 ( ) A．(a2)3＝a5 B．a · a3＝a3 C．(2a)2＝2a2 D．a2 · a3＝a5 D 例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4. 解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2b2. = 2a3-3b6-4 练一练 1. 下列计算不正确的是（ ） A. 2a3÷a = 2a2 B. (-a3)2 = a6 C. a4·a3 = a7 D. a2·a4 = a8 D 解：原式 = [0.25×(-4)]2023 - (23)100×0.5300×0.5 = -1 - (2×0.5)300×0.5 = -1 - 0.5 = -1.5. 2. 计算：0.252023 ×(-4)2023 - 8100×0.5301. 3. (邗江区期中)根据题意，解答下列各题： (1) 已知 am = 2，an = 5，求 a2m+n 的值； (2) 如果 2x+2 + 2x+1 = 24，求 x 的值. 解：(1) ∵ am = 2，an = 5， ∴ a2m+n = a2m · an = (am)2 · an = 22×5 = 20. (2) 原式 = 2 · 2x+1 + 2x+1 = 3 · 2x+1， 3 · 2x+1 = 24 = 3×8 ， 2x+1 = 8 = 23 x +1 = 3 ，x = 2. 考点二 整式的运算 解：原式 = (x3y2 - x2y - x2y + x3y2)÷3x2y = (2x3y2 - 2x2y)÷3x2y 当 x = 1，y = 3 时， 例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y， 其中 x = 1，y = 3. = xy - . 原式= ×1×3 - = . 4. 已知多项式 2x3 - 4x2 - 1 除以一个多项式 A，所得商为 2x，余式为 x - 1，求这个多项式. 解：由题意得 2x · A = (2x3 - 4x2 - 1)- (x - 1) A = (2x3 - 4x2 - x)÷2x A = x2 - 2x - 练一练 解析：由题意得 (2x3 - 4x2 - 1)÷A = 2x …… (x - 1) ， 即 (2x3 - 4x2 - x )- (x - 1) = 2x · A，解 A 的方程. 5. (庐阳区校级期中)一个长方形把它的宽增加 2 cm，长减少 3 cm ，这个长方形 恰好变成一个与它等面积的正方形，求这个长方形的周长. 解：设正方形边长为 x cm， 由题意得：x2 = (x - 2)(x + 3)， 解得 x = 6，则长方形宽为 4 cm、长为 9 cm， 则长方形的宽为 (x - 2) cm，长为 (x + 3) cm， 长方形周长为 26 cm. 考点三 乘法公式的运用 例4 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]÷2x，其中 x = 3，y = 1.5. 解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法. 原式 = 3－1.5 = 1.5. 解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)÷2x = (2x2－2xy)÷2x = x－y. 当 x = 3，y = 1.5 时， 6．下列计算中，正确的是 ( ) A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 练一练 C 7. 计算： (1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)； 解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2) (2) 原式＝[a＋(b－3)][(a－(b－3)] ＝(x2－4y2)2 ＝ x4－8x2y2＋16y4. ＝a2－(b－3)2 ＝a2－b2＋6b－9. 8.(惠山区期中)已知 x＋y＝6，x2＋y2＝22 ，求： (1) xy 的值； (2) (x－y)2－4 的值. 解析：题 (1) 运用完全平方公式 (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，变形得到：2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)； 题 (2) 运用完全平方公式 (x－y)2＝x2－2xy＋y2， 已知 x2＋y2 和 xy 的值，整体带入求解. (1) xy 的值； 解：(1) 根据完全平方公式： (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， 2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)， xy＝ (x＋y)2－ (x2＋y2)， 把 x＋y＝6，x2＋y2＝22，整体带入， xy＝ ×62－ ×22＝7. 解：(2) 根据完全平方公式： (x－y)2＝x2－2xy＋y2， (x－y)2－4＝(x2＋y2)－2xy－4， 由 (1) 得， xy＝7， (2) (x－y)2－4 的值. (x－y)2－4＝22－2×7－4＝4. x2＋y2＝22，整体带入， 考点四 因式分解及其应用 例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B 9.把多项式 2x2－8 分解因式，结果正确的是 ( ) A．2(x2－8) B．2(x－2)2 C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ ) C 练一练 解析：因式分解的一般步骤是： 先提公因式、再套公式，注意因式分解得到的一定是整式的乘积. 10.(花都区期末)下列因式分解正确的是 ( ) A．2a2－4a = 2(a2＋2a) B．a2－2a＋1 = (a－1)2 C．－a2＋4 = (a＋2)(a－2) D．a2－5a－6 = (a－2)(a－3) B 11.把下列各式因式分解： (1) 16x2－64； (2)－4a2＋24a－36. 解：(1) 原式＝16(x2－4). (2) 原式＝－4(a2－6a＋9). ＝16(x＋2)(x－2). ＝－4(a－3)2. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$