第12章 综合专题2—全等三角形手拉手模型（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

综合专题讲解—手拉手模型 第十二章 全等三角形 人教版八年级（上） 1 一、手拉手模型的定义 1. 定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形.(左手拉左手，右手拉右手) 2. 满足条件： 两个等腰三角形(也可以是等边三角形、正方形等)； 共顶点； 顶角相等. A(头) B(左手) C(右手) A(头) B(左手) C(右手) 二、手拉手模型的类型 手拉手模型的类型主要有：“等腰△+等腰△”；“等腰直角△+等腰直角△”；“等边△+等边△”；“正方形+正方形”、“正方形+等腰直角△”. A B C D E A B C D E 等腰△+等腰△ 等腰直角△+等腰直角△ B A C D E A B C D E A B C D E 等边△+等边△ 正方形+正方形 正方形+等腰直角△ “等腰△+等腰△” 观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中，△ABD 与△ACE 是否一直全等？  A B C D E A B C D E A B C D E 证明以下重要结论： △ABD≌△ACE  BD = CE  ∠BFC = ∠BAC = ∠DAE A B C D E F 例1 已知：△ABC、△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE，连接 CE，BD，线段 BD 与 AC 交于 G 点，且其延长线交 CE 于 F 点. G 解：∵△ABC、△ADE 都是等腰三角形， ∴ AB = AC，AD = AE. 又∵∠BAC = ∠DAE， ∴∠BAC + ∠CAD =∠DAE +∠CAD， 即∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中 ∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD = CE. ∴ ∠ABD =∠ACE. ∵ ∠BGC =∠ABD +∠BAC = ∠ACE + ∠BFC， ∴ ∠BFC = ∠BAC =∠DAE. A B C D E F G 1. 如图，已知 AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠BAD = 22°，∠ACE = 30°，则∠ADE 的度数是_______. A B C D E F 52° 练一练 A B C D E A B C D E A B C D E “等腰直角△+等腰直角△” 观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中，△ABD 与△ACE 是否一直全等？  证明重要结论： △ABD≌△ACE；  BD = CE；  BD 的延长线 BF⊥CE； 例2 已知：△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 CE，BD，线段 BD 延长线交 CE 于 F 点. A B C D E F A B C D E F 解：∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形， ∴ AB = AC，AD = AE. 在△ABD 和△ACE 中， ∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD = CE. ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠BDC = ∠ABD + ∠BAC =∠ACE + ∠BFC， ∴ ∠BFC = ∠BAC = 90°. ∴ BF⊥CE. 练一练 2. 如图，△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 BD、CE 交于点 F. (1) 求证：BD = CE； (2) 求证：BD⊥CE. 解：(1)∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形， ∴ AB = AC，AD = AE. ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°， ∴ ∠BAC +∠DAC = ∠DAE + ∠DAC， 即∠BAD = ∠CAE. A B C D E F 在△ABD 和△ACE 中 ∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD = CE. A B C D E F AB = AC， ∠BAD =∠CAE， AD = AE， (2)∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD =∠ACE. ∵∠CGB = ∠ABD + ∠CAB =∠ACE + ∠CFG， ∴∠CFG = ∠CAB = 90°. ∴ BD⊥CE. G B A C D E B A C D E “等边△+等边△” 典型图形讲解 重要结论： △ABD≌△ACE  BD = CE  BD 与 CE 的夹角(锐角)为 60° △ABH≌△ACG(BH = CG)  △AEG≌△ADH(EG = DH) FA 平分∠CFD  GH∥CD  CF = AF + BF B A C D E F G H ∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴ AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2 = 60°. ∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3，即∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中 ∴△ABD≌△ACE (SAS). ∴ BD= CE，∠4=∠5，∠7=∠8. ∵∠BGC = ∠2 +∠4 =∠5 +∠6， ∴∠2=∠6=60°，即 BD 与 CE 所成的夹角(锐角)为 60°. B A C D E F G H 1 4 2 8 5 6 7 AB = AC， ∠BAD =∠CAE， AD = AE， 3 ∵∠1 =∠2 = 60°， ∴∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 60°. ∴∠1 = ∠2 = ∠3. 在△ABH 和△ACG 中， ∴△ABH≌△ACG (ASA). ∴ BH = CG，AH = AG. B A C D E F G H 1 4 2 8 5 6 7 ∠3 =∠2， AB = AC， ∠5 =∠4， 3 在△AEG 和△ADH 中 ∴△AEG≌△ADH(ASA). ∴ EG = DH. ∵ AG = AH，∠3 = 60°， ∴△AGH为等边三角形. ∴∠AGH = 60°. ∴∠AGH = ∠2. ∴ GH∥CD. B A C D E F G H 1 4 2 8 5 6 7 ∠3 =∠1， AE = AD， ∠7 =∠8， 3 过 A 点作 AN⊥BD，AM⊥CE，垂足分别为 N，M. ∵△ABD≌△ACE， ∴S△ABD = S△ACE. ∵ S△ABD = BD · AN， S△ACE = CE · AM 又∵ BD = CE，∴ AN = AM. ∵ AN⊥BD，AM⊥CE，且 AN = AM， ∴ FA 平分∠CFD. B A C D E M N F 在△BAF 和△BCK 中， ∴△BAF≌△BCK(SAS). ∴ AF = CK. ∴CF = CK + KF = AF + BF. 在线段 CF上截取 KF = BF. ∵ KF = BF，∠6 = 60°， ∴△BFK 是等边三角形 ∴ BF = BK，∠KBF = 60°. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴ BA = BC，∠CBA = 60°. ∴∠5 +∠10 = ∠9 +∠10 = 60°.∴∠5 = ∠9. B A C D E F G H 1 4 2 8 5 6 7 K BA = BC， ∠5 =∠9， BF = BK， 9 10 3. 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△ECD，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，则有以下五个结论： ① AD = BE； ② PQ∥AE； ③ AP = BQ； ④ DE = DP； ⑤∠AOB = 60°． 其中正确的结论有___________. ①②③⑤ 练一练 B A C D E P Q O 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$