第12章 综合专题1——全等三角形的辅助线和动态问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

综合专题讲解 —全等三角形辅助线和动态问题 第十二章 全等三角形 人教版八年级（上） 1 专题一：构造全等三角形常见辅助线的添法 专题二：全等三角形动态型问题 专题目录 专题一 构造全等三角形常见辅助线的添法 类型一：利用“倍长中线法”构造全等三角形 【常见模型】 A B C D E A B C D E A B C D E F A B C D E F M 例1 如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝6，AC＝4，求中线 AD 的取值范围. E 作辅助线 ( DE＝AD，连 BE ) 分析： △ADC≌△EDB(SAS) AC = EB 在△ABE 中， AB - BE＜AE＜AB+BE C A B D AB - AC＜2AD＜AB+AC 1＜AD＜5 例2 已知，如图，△ABC 中，D 是 BC 中点，DE⊥DF，试判断 BE＋CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论. A B C E D F ∟ G 分析：倍长过中点的线段 DE，使 DG＝DE，证明△FED≌△FGD, △EDB≌△GDC，把 BE、CF 与 EF 线段转化到△FCG 中，利用两边之和大于第三边可证. 证明：延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连接 DG、FG. 又∵ DE⊥DF， ∴ ∠FDE＝∠FDG. 在△FDE 和△FDG 中 ∴△FDE≌△FDG(SAS). ∴ FE＝FG . A B C E D F ∟ G ∵ D 是 BC 中点，∴ BD＝CD. 在△EDB 与△GDC 中 ∴△EDB≌△GDC(SAS). ∴ BE＝CG. ∵ CG＋FC＞FG， ∴ BE＋CF＞EF. A B C E D F ∟ G 归纳总结 “倍长中线法”构造全等三角形解决问题 (1) “倍长中线法”就是将三角形的中线延长一倍，构造出“ 8 字”全等三角形，从而用全等三角形的有关知识来解决问题的方法； (2) 利用“倍长中线法”的证明过程：延长已知中线到某点，使新线段(延长的那部分线段)的长度等于已知中线的长度，再利用 SAS 证两三角形全等(隐含条件是对顶角相等). 1. (大庆阶段练习) 如图，△ABC 中，AB＝12，AC＝20，求 BC 边上中线 AD 的取值范围为_____________． 练一练 4＜AD＜16 类型二：利用“截长补短法”构造全等三角形 例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B＝2∠C.求证：AC＝AB + BD. 方法一：“截长法” 分析： 做辅助线 (AE = AB) △ABD≌△AED(SAS) ∠B = ∠AED BD = ED ∠AED = 2∠C ∠B＝2∠C ∠EDC = ∠C EC = ED BD = ED AC＝AB + BD A B C D A B C E D 方法二：“补短法” 做辅助线(BE＝BD) 分析： ∠E =∠BDE ∠E =∠C △AED≌△ACD(AAS) AC＝AE AC＝AB + BD BE＝BD ∠ABC＝2∠C 例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B＝2∠C.求证：AC＝AB + BD. A B C D A B C E D “截长补短法”构造全等三角形解决问题 截长法：即在长线段上截取一段，使其等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段； 补短法：即延长短线段，使其延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段，或者延长短线段，使其等于长线段，然后证明延长的部分等于另一条短线段. 归纳总结 证明：在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE. ∵ AD 是△ABC 的角平分线， ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△AED 与△ACD 中， ∴△AED≌△ACD(SAS). ∴DE＝DC. 在△BED 中，BE＞BD－DC，即AB－AE＞BD－DC. ∴AB－AC＞BD－DC. 2. 如图，AD 为△ABC 的角平分线，AB >AC， 求证： AB﹣AC > BD﹣DC. A B C D 练一练 E 3. 如图，已知 AC∥BD，AE、BE 分别平分∠CAB和∠DBA，CD 过点 E，求证：AB = AC + BD. A B C E D F 1 2 3 4 解：如图，延长 AC 至点 F，使 AF = AB，连接 EF. ∵ AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA， ∴∠1 =∠2，∠3 =∠4. 在△AEF 和△AEB 中， AF = AB ∠1 =∠2 AE = AE ∴△AEF≌△AEB(SAS). 在△EFC 和△EBD 中， ∠FCE =∠D ∠F =∠4 EF = EB ∴△EFC≌△EBD(AAS). ∴∠F =∠3，EF = EB. ∵∠3 =∠4，∴∠F =∠4. ∵ AC∥BD，∴∠FCE =∠D. ∴ FC = BD. ∵ AF = AC + FC， ∴ AB = AC + BD. 尝试下截长法！ A B C E D F 1 2 3 4 类型三：利用“两条相等且垂直的线段”造全等三角形(一线三垂直) 例4 (贵州铜仁)如图，点 C 在 BD 上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB = CD. 求证：△ABC≌△CDE. 解：∵ AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B =∠D =∠ACE = 90°， ∴∠BAC +∠BCA = 90°=∠BCA +∠DCE， ∴∠BAC =∠DCE. 在△ABC 和△CDE 中， ∴△ABC≌△CDE(AAS). A B C D E 练一练 4. (福建阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，点 C 的坐标为(-2，0)，点 A 的坐标为 (-6，3)，求点 B 的坐标 ( ) A. (3，4) B. (2，3) C. (2，4) D. (1，4) D A B C 类型四：其他类的构造全等三角形 例5 如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且∠DAE＝∠FAE. 求证：AF＝AD＋CF. 证明： 作 ME⊥AF 于 M，连接 EF． ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ ∠C＝∠D＝∠EMA＝90°． 又∵∠DAE＝∠FAE， ∴ AE 为∠FAD 的平分线， ∴ ME＝DE． A B C D E F A B C D E F M 在Rt△AME 与Rt△ADE 中， ∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)． ∴ AD＝AM ． 又∵ E 为 CD 中点，∴ DE＝EC． ∴ ME＝EC． 在Rt△EMF 与Rt△ECF 中， ∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)． ∴ MF＝FC． 由图可知 AF＝AM＋MF， ∴ AF＝AD＋FC． A B C D E F M 例6 (全国单元测试) 如图，已知△ABC 中，∠A＝60°，D 为 AB上一点，且 AC＝2AD + BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB 的度数是_______． 20° 分析：如图，延长 AB 至点 E 使 BE = AD，连接 CE . AE = 2AD + BD AE = AC △AEC 是正三角形 设∠ACD = x 设∠ABC = 4x 易证△ADC≌△EBC ∠BCE = x ∠ABC = ∠E +∠BCE = 60° + x = 4x x = 20° ∠DCB = 20° A B C D A B C D E 专题二 全等三角形动态型问题 例7 如图 AB = 8 cm，∠A = ∠B = 60°，AC = BD = 6 cm. 点 P 在线段 AB 上以 1 cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动， 同时，点 Q 在线段 BD 上以 x cm/s 的速度由点 B 向点 D 运动，它们运动的时间为 t (s). 当△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值是( ) A. 2 B. 1 或 C. 2 或 D. 1 或 2 A B C D Q P 解：由题意知，AP = t，BP = 8 - t，BQ = xt， △ACP 与△BPQ 全等，分两种情况求解： ① 当△ACP≌△BPQ 时，AP = BQ， 即 t = xt，解得 x = 1. ② 当△APC≌△BPQ 时，AP = BP， 即 t = 8 - t，解得 t = 4. AC = BQ，即 6 = xt， 解得 x = . 综上所述，x 的值是 1 或 . 分析：由题意知当△ACP 与△BPQ 全等，分△ACP≌△BPQ 和△APC≌△BPQ 两种情况，根据全等的性质列方程求解即可. A B C D Q P 例8 在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 l 经过顶点 C，过 A，B 两点分别作 l 的垂线 AE，BF，垂足分别为 E，F. (1) 如图1 当直线 l 不与底边 AB 相交时， 求证：EF＝AE＋BF. 证明：(1)∵AE⊥l，BF⊥l， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， ∠1＋∠2＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3. A B C E F l 1 2 3 ∵在△ACE 和△CBF 中， ∴△ACE≌△CBF(AAS). ∴ AE＝CF，CE＝BF. ∵ EF＝CE＋CF， ∴ EF＝AE＋BF. A B C E F l 1 2 3 (2) 将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线 l 在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③ AD＜BD. (2) ①EF＝AE－BF， 理由如下： ∵AE⊥l，BF⊥l， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， ∠1＋∠2＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3. A B C E F l 1 2 3 D 图2-① A B C (F) D (E) l 图2-② A B C E F l D 图2-③ ∵在△ACE 和△CBF 中 ∴△ACE≌△CBF (AAS) ∴ AE＝CF，CE＝BF. ∵ EF＝CF－CE， ∴ EF＝AE―BF. ② EF＝AE―BF；③ EF＝BF―AE； 证明同①. A B C E F l 1 2 3 D 图2-① A B C (F) D (E) l 图2-② A B C E F l D 图2-③ 解决动态几何问题时要抓住以下几点： (1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用； (2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键； (3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化. 归纳总结 练一练 5. 已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF． (1) 当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合)，如图 1， 求证：CF＝BD. 证明：(1) ∵在正方形 ADEF 中， ∴ AD＝AF，∠DAF＝90°. ∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAF. A B C F D E 图 1 在△ABD 和△ACF 中， ∴ △ABD≌△ACF(SAS). ∴ BD＝CF. A B C F D E 图 1 (2) 当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2， 第(1) 问中的结论是否仍然成立，并说明理由. (2) 当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，仍有 BD＝CF. 此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAF. 在△ABD 和△ACF 中， ∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴ BD＝CF. A B C F D E 图 2 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$