第12章 全等三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

小结与复习 第十二章 全等三角形 人教版八年级（上） 1 知识结构图 全等三角形 三角形 对应边相等，对应角相等 应用 角的平分线 性质 判定 知识回顾 能够完全重合的两个图形叫全等形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的角叫做对应角. 重合的边叫做对应边， 一、全等三角形的定义和性质 B C E F 如图，若△ABC≌△DEF，则其中 点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 是对应顶点；AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边； ∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角. A D 点 D 点 E 点 F DE EF DF ∠D ∠E ∠F 如图，∵△ABC≌△DEF， ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF ( )， ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F ( ). A B C D E F 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 1. 三边分别相等的两个三角形全等 (可以简写为“边边边”或“SSS”). A B C 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). AB = DE， BC = EF， CA = FD， 用符号语言表示为： D E F 二、三角形全等的判定方法 用符号语言表示为： 在△ABC 与△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SAS). 2. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). F E D C B A AC = DF， ∠C =∠F， BC = EF， ∠A =∠D ， AB = DE， ∠B =∠E， 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). 3. 有两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 用符号语言表示为： F E D C B A 4. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 5. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). A B C D E F 注意：①分别相等； ②“HL”仅适用于直角三角形； ③书写格式应为： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). 三、角平分线的性质与判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 考点一 全等三角形的性质 考点讲练 例1 (南平期中) 如图，△CDF≌△BAE，BC = 15 cm，EF = 3 cm，那么 CE 的长为________cm. 分析： CE = CF + EF = CF + 3 △CDF≌△BAE CF = BE BC = CF + EF + BE = 15 CF = 6 CE = 9 9 归纳总结 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角；有对顶角的，两个对顶角一般是一对对应角； 有公共边的，公共边一般是对应边； 有公共角的，公共角一般是对应角. 练一练 1. (南京期中) 如图，△ABC 沿着直线 BC 向右平移得到△DEF ，则① BE = CF；② AB∥DE；③AG = DG； ④∠ACB = ∠DEF，其中结论正确的是( ) A. ①② B. ①②④ C. ②④ D. ①③④ A 例2 (广东阶段练习) 如图，已知 ∠ADB =∠ACB = 90°，AC = BD，AC，BD 相交于点 O，给出下列五个结论 ①AD = BC；②∠DBC =∠CAD；③AO = BO； ④AB∥CD；⑤DO = CO. 其中正确结论有(     ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 考点二 全等三角形的判定 A B C D O 分析： ∠ADB =∠ACB = 90° AC = BD AB = BA Rt△ADB≌Rt△BCA (HL) AD = BC 选项①正确 ∠DAB =∠CAB A B C D O ∠DOA =∠COB 选项②正确 ∠DBC =∠CAD △AOD≌△BOC(AAS) AO = BO，DO = CO 选项③⑤正确 ∠AOB =∠COD ∠OAB =∠OBA ∠ODC =∠OCD ∠OAB =∠OCD 选项④正确 AB∥CD 2. (广西南宁期中)下列说法正确的是（　　） ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ②有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 练一练 D 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用 例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F. 求证：∠DEC =∠FEC. A B C D F E G 分析： 证明∠DEC =∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC =∠DCE 只需要证明△DEG≌△DCG 证明：∵ CE⊥AD，∴∠AGE =∠AGC = 90°. 在△AGE 和△AGC 中， ∠AGE =∠AGC， AG = AG， ∠EAG =∠CAG， ∴△AGE≌△AGC (ASA). ∴ GE = GC. ∵ AD 平分∠BAC，∴∠EAG =∠CAG. A B C D F E G 在△DGE 和△DGC 中， EG = CG， ∠EGD =∠CGD， DG = DG， ∴△DGE≌△DGC (SAS). ∴∠DEG = ∠DCG. ∵ EF∥BC， ∴∠FEC = ∠DCG. ∴∠DEG = ∠FEC. A B C D F E G 归纳总结 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时需添加辅助线. 练一练 3. 如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为 B，C，OB = OC，那么∠BAO =∠CAO 吗？为什么？ O C B A 解：∠BAO =∠CAO. 理由如下： ∵ OB⊥AB，OC⊥AC， ∴∠B =∠C = 90°. 在 Rt△ABO 和 Rt△ACO 中， AO = AO， OB = OC， ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL). ∴∠BAO =∠CAO. 例4 (兰州) 如图 1 是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图 2 所示，AB = AE，AC = AD，∠BAD = ∠EAC；∠C = 50°，求∠D 的大小. A B C D E 考点四 利用全等三角形解决实际问题 分析： AB = AE， AC = AD， ∠BAD = ∠EAC ∠BAC =∠EAD △ABC≌△AED(SAS) ∠D = ∠C = 50° 4. (江西赣州市期中)数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具－卡钳，卡钳示意图如下，AD = BC，O 是线段 AD 和 BC 的中点．利用卡钳测量内径的步骤为： ①将卡钳 A、B 两端伸入在被测物内； ②打开卡钳，使得 A、B 两端卡在内壁； ③测量出点 C 与点 D 间的距离， 即为内径的长度. (1)请写出第③步的理由； 练一练 解：如图，连接 CD、AB， 由题意可得 OA = OD，OB = OC， 在△AOB 和△DOC 中， OA = OD， ∠AOB = ∠DOC OB = OC， ∴△AOB≌△DOC (SAS). ∴ AB = CD. (2)小组成员利用上述方法测得 CD = 12 cm， 同时测得外径为 16 cm，请求出花瓶内壁厚度 x． 解：由(1)知，连接 CD、AB， 由题意可得 AB = CD = 12 cm，故花瓶内壁厚度： x = (16 - 12)÷2 = 2 cm. 考点五 角平分线的性质与判定 分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型. 例5 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC. B A C N ) ) 1 2 P E F 证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. 又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°. ∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠EAP = ∠FCP. 在△APE 和△CPF 中， ∠PEA =∠PFC = 90°， ∠EAP =∠FCP， PE = PF， ∴△APE≌△CPF (AAS). ∴ AP = CP. B A C N ) ) 1 2 P E F 证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图). 则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证. A C N ) ) 1 2 P B 证明过程请同学们自行完成！ D 5. (例题变式)如图，∠1=∠2，点 P 为 BN 上的一点，PA = PC.求证：∠PCB +∠BAP = 180°. B A C N ) ) 1 2 P E F 证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. 又∵∠1 =∠2， ∴PE = PF， ∠PEA =∠PFC = 90°. PA = PC， PE = PF， 在Rt△APE 和Rt△CPF 中， ∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL). 练一练 ∴∠EAP =∠FCP =∠PCB. ∵∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠PCB +∠BAP = 180°. 想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB 与∠PAB 有怎样的数量关系呢？ B A C N ) ) 1 2 P E F 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$