精品解析：河南省省直辖县级行政单位济源市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下期期末质量调研试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列实数中属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 若a﹣b＜0，则下列不等式正确的是（　　） A. 3a＞3b B. ﹣2a＞﹣2b C. a﹣1＞b﹣1 D. 3﹣a＜3﹣b 3. 双减政策下，双十中学为了解初中部2400名学生的睡眠情况，抽查了其中400名学生的睡眠时间进行分析，下面叙述不正确的是（　　） A. 以上调查属于抽样调查 B. 抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体 C. 400名学生的睡眠时间是总体的一个样本 D. 2400是样本容量 4. 如图，直线、相交于点，平分则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某机器零件的设计图纸如图所示，在数轴上表示该零件长度（L）合格尺寸，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（ ） A. 80° B. 65° C. 60° D. 55° 8. 下列命题是真命题的有（ ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A. ①③ B. ①②③④⑤ C. ①②③④ D. ①③④ 9. 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（　　） A. 180° B. 270° C. 300° D. 360° 10. 如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样运动规律，动点第2024次运动到达的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是____________________． 12. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为__________． 13. 如图是《九章算术》中算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．如下图所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是． 类似地，下图所示的算筹图，可以表述为______． 14. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是__________． 15. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B，C分别落在点，的位置，下列结论： ①； ②若比大，则的度数为； ③； ④． 其中一定正确的结论的序号有__________． 三、解答题（共8道题，第16题10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分；第17-18题每题8分；第19-20题每题9分；第21-22题每题10分；第23题11分，共75分）． 16. （1）； （2）解不等式组，并判断、这两个数是否为该不等式组的解． 17. 劳动教育实践活动 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学开展了劳动教育实践活动．某个“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生的劳动实践活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： ××中学学生劳动实践活动情况调查报告 调查主题 ××中学学生劳动实践活动情况 调查方式 第一项 您平均每周参加劳动实践活动的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．6小时及以上； B．4~6小时； C．2~4小时； D．0~2小时． 平均每周参加劳动实践活动的时间调查统计图 数据的收集、 整理与描述 第二 项 您参加劳动实践活动主要项目是（可多选） E．整理自己的房间； F．在学校打扫卫生； G．做家务； H．参加社区组织的劳动实践活动． 参加劳动实践活动的主要项目调查统计图 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数； （2）估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数； （3）请你结合本次调查报告所提供的数据，给该校中学生提出一条合理化建议． 18. 如图，直线相交于点，，平分． （1）填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． （2）若，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，点是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为． （1）画出平移后的，写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上取一点M使得，求点M的坐标． 20. 如图1，，，． （1）__________度； （2）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． （3）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 21. 某小区物业决定在小区内安装垃圾分类的垃圾箱，需要购买大小、规格都相同的红色和蓝色垃圾箱．经过调查，获取信息如下： 购买数量低于5个 购买数量不低于5个 红色垃圾箱 原价销售 八折销售 蓝色垃圾箱 原价销售 九折销售 若购买红色垃圾箱4个，蓝色垃圾箱6个，则需付款860元；若购买红色垃圾箱10个，蓝色垃圾箱3个，则需付款940元． （1）红色垃圾箱与蓝色垃圾箱的单价各为多少元？ （2）经过测算，需要购置垃圾箱12个，其中蓝色垃圾箱的数量不少于红色垃圾箱数量的一半，并且不超过6个，如何购买能使总费用最少？请说明理由． 22. 综合与实践 随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分．学生用手机刷小视频的现象愈加严重．为了了解学生平均每周用于阅读课外书的时间和用手机刷小视频的时间的分配情况，老师借助平面直角坐标系对班里部分学生进行调查分析． （1）请你说出点A的实际意义； （2）经调查，小明一周用手机刷小视频的时间和用于阅读课外书的时间共为8小时，并且用于阅读课外书的时间是用手机刷小视频时间的2倍少1小时．请你计算出小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间，并在平面直角坐标系中描出表示小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点； （3）老师发现有几个学生用手机刷小视频时间与阅读课外书的时间之和都为10小时，并且用手机刷小视频的时间不小于阅读课外书时间的4倍．如果这两个时间均为整数，请你求出这几个学生用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点的坐标； （4）图中射线表示的角平分线．①射线上的点表示的含义为__________，②射线__________左上方的点表示的含义为__________． 23. 【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整． 如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期期末质量调研试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列实数中属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0）．根据无理数的定义逐项分析即可． 【详解】A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．3.14是小数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 若a﹣b＜0，则下列不等式正确的是（　　） A. 3a＞3b B. ﹣2a＞﹣2b C. a﹣1＞b﹣1 D. 3﹣a＜3﹣b 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由可得， ．， ，故本选项不合题意； ．， ，故本选项符合题意； ．， ，故本选项不合题意； ．， ， ，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 3. 双减政策下，双十中学为了解初中部2400名学生的睡眠情况，抽查了其中400名学生的睡眠时间进行分析，下面叙述不正确的是（　　） A. 以上调查属于抽样调查 B. 抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体 C. 400名学生的睡眠时间是总体的一个样本 D. 2400是样本容量 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查及其意义，样本的定义，样本容量的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、以上调查属于抽样调查，故本选项正确，不符合题意； B、抽样调查的目的是用样本的情况来估计总体，故本选项正确，不符合题意； C、400名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故本选项正确，不符合题意； D、400是样本容量，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位是解题的关键． 4. 如图，直线、相交于点，平分则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为是解题的关键． 先由对顶角性质求得，再根据角平分线的定义求出，再根据邻补角之和为计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， 又∵平分， ， ， 故选：C． 5. 第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵第四象限的点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是6， ∴点P的横坐标是-6，纵坐标是-5， ∴点P的坐标为（-6，-5）． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 6. 某机器零件的设计图纸如图所示，在数轴上表示该零件长度（L）合格尺寸，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】L=10±0.2表示的意思是零件的长度与标准值10的差距在0.2或以内都是合格的． 【详解】L=10±0.2表示长度大于10-0.2=9.8，并且小于10+0.2=10.2的范围内的零件都是合格的． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（ ） A. 80° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】D 【解析】 【详解】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2， ∴a//b，∴∠4=∠5， ∵∠3+∠5=180°，∴∠5=180°-∠3=180°-125°=55°， ∴∠4=55°， 故选D. 8. 下列命题是真命题的有（ ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A. ①③ B. ①②③④⑤ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，牢记相关定义与定理是解题的关键．根据实数与数轴的关系、点到直线的距离、垂线的定义、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； ，的两边与的两边分别平行， 如图 故④是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故⑤是假命题； 所以真命题有①③， 故选：A． 9. 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（　　） A. 180° B. 270° C. 300° D. 360° 【答案】B 【解析】 【详解】解：过B作BM∥AE，则CD∥BM∥AE，∴∠BCD+∠1=180°；又∵AB⊥AE，∴AB⊥BM，∴∠ABM=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故选B． 10. 如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2024次运动到达的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．据图可以得出动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1， ∵， ∴动点第2024次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点第2024次运动到点； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是____________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】利用垂线段的性质解答即可． 【详解】解：体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩．这实质上是数学知识：直线外一点点与直线上点的距离中垂线段最短在生活中的应用， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握直线外一点点与直线上点的距离中垂线段最短． 12. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：5． 13. 如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．如下图所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是． 类似地，下图所示的算筹图，可以表述为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图2中的算筹图，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意，列出不等式，然后求出不等式的负整数解求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴不等式的负整数解是， 负整数解的和为 故答案为：． 15. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B，C分别落在点，的位置，下列结论： ①； ②若比大，则的度数为； ③； ④． 其中一定正确的结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，根据矩形的性质可得，从而可得，再由折叠的性质得，，即可判断①； 根据平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，求得，即可判断②；根据矩形的性质和折叠的性质进行等量代换即可判断③④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，故①正确； ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 又∵，即， ∴， 即， 若比大， ∴， 即，故②正确； ∵， 由②得，， ∴，故③正确； 由折叠的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②得，， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（共8道题，第16题10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分；第17-18题每题8分；第19-20题每题9分；第21-22题每题10分；第23题11分，共75分）． 16. （1）； （2）解不等式组，并判断、这两个数是否为该不等式组的解． 【答案】（1）；（2）解集为：，、是该不等式组的解 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式（组）及实数大小比较． （1）先化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再根据实数大小进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 、是该不等式组的解． 17. 劳动教育实践活动 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学开展了劳动教育实践活动．某个“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生的劳动实践活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： ××中学学生劳动实践活动情况调查报告 调查主题 ××中学学生劳动实践活动情况 调查方式 第一项 您平均每周参加劳动实践活动的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．6小时及以上； B．4~6小时； C．2~4小时； D．0~2小时． 平均每周参加劳动实践活动的时间调查统计图 数据的收集、 整理与描述 第二 项 您参加劳动实践活动的主要项目是（可多选） E．整理自己的房间； F．在学校打扫卫生； G．做家务； H．参加社区组织的劳动实践活动． 参加劳动实践活动的主要项目调查统计图 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数； （2）估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数； （3）请你结合本次调查报告所提供的数据，给该校中学生提出一条合理化建议． 【答案】（1）参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数为186人 （2）1152人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）用D类人数除以所占百分比即可得到总人数；再用总人数乘以F类所占百分比，即可求解； （2）利用样本估计总体思想即可解决问题； （3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可． 【小问1详解】 解：（人）． （人）； 答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数为186人； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数有1152人； 【小问3详解】 解：答案不唯一，例如： 由于平均每周参加劳动实践活动时间在“4小时以下”的人数最多， 所以，建议中学生应该增加劳动实践活动时间，培养劳动习惯，提升劳动技能；或由于参加劳动实践活动的主要项目中，选择“在学校打扫卫生”的人数最多（或参加劳动实践活动的主要项目中，选择“做家务”和“参加社区组织的劳动实践活动”的人数很少），建议中学生多帮家长做家务，积极参加社会公益劳动，提升劳动技能，培养高尚道德情操． 18. 如图，直线相交于点，，平分． （1）填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据 __________． （2）若，求的度数． 【答案】（1），对顶角相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，邻补角等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，邻补角是解题关键． （1）由对顶角相等判断作答即可； （2）由，可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，数学依据是对顶角相等， 故答案为：，对顶角相等； 【小问2详解】 解：解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴的度数为． 19. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，点是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为． （1）画出平移后的，写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上取一点M使得，求点M的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的平移和三角形面积，熟练掌握平移性质和坐标系中三角形的计算方法是解题关键． （1）利用坐标系平移性质即可画图求解； （2）利用“割补法”求三角形面积即可； （3）先利用面积公式求得长，再确定点M坐标． 【小问1详解】 解：∵点P的对应点为， ∴先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， ∴如图所示： 由图可知：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵点， ∴点B到轴的距离为1， ∵点，在轴上， ∴， ∴， ∵， ∴或． 20. 如图1，，，． （1）__________度； （2）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． （3）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】（1）180 （2），不一定平行于 （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； 【小问2详解】 ，不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． 【小问3详解】 ， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 21. 某小区物业决定在小区内安装垃圾分类的垃圾箱，需要购买大小、规格都相同的红色和蓝色垃圾箱．经过调查，获取信息如下： 购买数量低于5个 购买数量不低于5个 红色垃圾箱 原价销售 八折销售 蓝色垃圾箱 原价销售 九折销售 若购买红色垃圾箱4个，蓝色垃圾箱6个，则需付款860元；若购买红色垃圾箱10个，蓝色垃圾箱3个，则需付款940元． （1）红色垃圾箱与蓝色垃圾箱的单价各为多少元？ （2）经过测算，需要购置垃圾箱12个，其中蓝色垃圾箱的数量不少于红色垃圾箱数量的一半，并且不超过6个，如何购买能使总费用最少？请说明理由． 【答案】（1）红色垃圾箱的单价为80元，蓝色垃圾箱的单价为100元 （2）购买7个红色垃圾箱，5个蓝色垃圾箱时，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设红色垃圾箱的单价为元，蓝色垃圾箱的单价为元，根据“若购买红色垃圾箱4个，蓝色垃圾箱6个，则需付款860元；若购买红色垃圾箱10个，蓝色垃圾箱3个，则需付款940元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个蓝色垃圾箱，则购买)个红色垃圾箱，根据“购买蓝色垃圾箱的数量不少于红色垃圾箱数量的一半，并且不超过6个”即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，由为正整数及总费用单价×数量，可分别求出当去不同值时的总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设红色垃圾箱的单价为元，蓝色垃圾箱的单价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：红色垃圾箱的单价为80元，蓝色垃圾箱的单价为100元． 【小问2详解】 设购买个蓝色垃圾箱，则购买个红色垃圾箱， 依题意，得：， 解得：． 又∵为正整数， ∴可以取． 当时，，总费用为(元)； 当时，，总费用为(元)； 当时，，总费用为(元)． ∵， ∴购买7个红色垃圾箱，5个蓝色垃圾箱时，总费用最少． 22. 综合与实践 随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分．学生用手机刷小视频的现象愈加严重．为了了解学生平均每周用于阅读课外书的时间和用手机刷小视频的时间的分配情况，老师借助平面直角坐标系对班里部分学生进行调查分析． （1）请你说出点A的实际意义； （2）经调查，小明一周用手机刷小视频的时间和用于阅读课外书的时间共为8小时，并且用于阅读课外书的时间是用手机刷小视频时间的2倍少1小时．请你计算出小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间，并在平面直角坐标系中描出表示小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点； （3）老师发现有几个学生用手机刷小视频的时间与阅读课外书的时间之和都为10小时，并且用手机刷小视频的时间不小于阅读课外书时间的4倍．如果这两个时间均为整数，请你求出这几个学生用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点的坐标； （4）图中射线表示的角平分线．①射线上的点表示的含义为__________，②射线__________左上方的点表示的含义为__________． 【答案】（1）用手机刷小视频时间为2小时，用于阅读的时间为7小时 （2）用手机刷小视频时间为3小时，用于阅读的时间为5小时，作图见解析 （3）用手机刷小视频的时间10小时，用于阅读的时间为0小时，即；用手机刷小视频的时间9小时，用于阅读的时间为1小时，即；用手机刷小视频的时间8小时，用于阅读的时间为2小时，即； （4）用手机刷小视频的时间和用于阅读的时间是一样的；；用于阅读的时间多于用手机刷小视频的时间 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由图象即可得出答案； （2）根据题意可知：用手机刷小视频的时间为x小时，用于阅读课外书的时间为y小时，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （3）根据题意可知：用手机刷小视频的时间为x小时，用于阅读课外书的时间为小时，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （4）由图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：A点的实际意义：用手机刷小视频时间为2小时，用于阅读的时间为7小时； 【小问2详解】 解：根据题意可知：用手机刷小视频的时间为x小时，用于阅读课外书的时间为y小时， 可知：， 解得． 所以，点的坐标为 在坐标系里的表示如图， ； 【小问3详解】 解：根据题意可知：用手机刷小视频的时间为x小时，用于阅读课外书的时间为小时， ， ， ， ． 又为整数， 为8、9、10． 用手机刷小视频的时间10小时，用于阅读的时间为0小时，即； 用手机刷小视频的时间9小时，用于阅读的时间为1小时，即； 用手机刷小视频的时间8小时，用于阅读的时间为2小时，即； 【小问4详解】 解：上的点表示的含义：用手机刷小视频的时间和用于阅读的时间是一样的， 左上方的点表示的含义：用于阅读的时间多于用手机刷小视频的时间． 23. 【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整． 如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，三角形内角和定理的证明，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据归纳可得，四边形对边平行，则对角相等即可证明； （3）延长到D，过点C作，根据平行线性质证明即可． 【详解】（1）解：， （两直线平行，内错角相等） ， （两直线平行，同位角相等） ． （2）证明：如图2所示，， 由归纳的结论，可知，，， 又， ． （3）证明：如图3，延长到D，过点C作． （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等）． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$