精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区长沈路学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

长沈路学校2023-2024学年度第二学期第二次学科核心素养调研 八年级数学 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 一次函数的图象不经过第__________象限． 10. 已知函数，若随增大而减小，则的取值范围是_____________． 11. 如图，将一张左、右破损的矩形纸片沿折叠后，，两点分别落在，的位置，量得，则的大小为_____________． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，若点的横坐标为1，则线段的长为_____________． 14. 如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，点的坐标为．若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是____________． 三、计算题（每小题4分，共16分） 16. ① ② ③ ④ 四、解答题 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 19. 某校为了解七、八年级学生对抗美援朝历史知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集 七年级：59　90　92　85　80　67　88　85　97　79 八年级：57　95　80　96　83　69　92　78　66　83 数据整理 年级 成绩x（分） 七年级 1 1 2 a 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 b 85 八年级 79.9 81.5 c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______，______． （2）小牧同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游偏上的水平”，请推测该同学可能是______年级的学生（填七或八即可） （3）假如该校七年级有900名学生同时参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩超过80分的人数． 20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等． 图① 图② 图③ （1）在图①中画一个正方形ACBD． （2）在图②中画一个平行四边形AEBF． （3）在图③中画一个菱形AMBN． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例在第二象限内的图象交于点， （1）求反比例函数的关系式： （2）方程的解为_____________； （3）求出不等式的解集为__________； （4）若直线与反比例函数在第四象限的交点为，则的面积是___________． 23. 实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为． （1）点的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ； （2）若点的理想点在直线上，则a的值为 ； （3）点P在直线上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值； （4）正方形各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沈路学校2023-2024学年度第二学期第二次学科核心素养调研 八年级数学 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式计算即可得到答案． 【详解】由题意得， 解得， 故选：D. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 2. 已知，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，据非负数的性质列式求出a，b的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：A． 3. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由点在第二象限得出，，从而得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，， ∴其中丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故选：D． 5. 若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ． 故选：C． 7. 如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的和判定和性质．由于，，则可以推出四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明的周长等于． 【详解】解：∵，， 则四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ，， 所以：的周长等于． 故选：B． 8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，全等三角形的性质．先求出点，点，则，，过点作于点，证和全等得，，则，进而得点，将点的坐标代入之中即可求出的值． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 过点作于点，如下图所示： ，， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 双曲线经过点， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 一次函数的图象不经过第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的，得出经过第一、三、四象限，据此即可作答． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图像不经过第二象限， 故答案为：二． 10. 已知函数，若随增大而减小，则的取值范围是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数的性质可知：当一次函数的系数小于零时，一次函数的函数值随着自变量的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：∵函数，随增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，将一张左、右破损的矩形纸片沿折叠后，，两点分别落在，的位置，量得，则的大小为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，由矩形的性质得出，推出，由折叠的性质可得，即可得出答案，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°， ∴∠BAD=180°-130°=50°， ∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，若点的横坐标为1，则线段的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理求两点间的距离，先求出点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点在直线上运动，点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 【答案】13 【解析】 【分析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形、四边形是正方形， ∴点B、E、F、D在同一条直线上， ∴，，，，， ∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2， ∴，， ∴，， ∴，， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm， 故答案为13． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，点的坐标为．若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是____________． 【答案】﹣2＜b＜2 【解析】 【分析】当直线y=x+b过D或B时，求得b，即可得到结论． 【详解】∵正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（1，1），∴D（1，3），B（3，1）． 当直线y=x+b经过点D时，3=1+b，此时b=2． 当直线y=x+b经过点B时，1=3+b，此时b=﹣2． 所以，直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是﹣2＜b＜2． 故答案为﹣2＜b＜2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式． 三、计算题（每小题4分，共16分） 16. ① ② ③ ④ 【答案】① ② ③ ④ 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，积的乘方逆运算法则，掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算被开方数，然后化简二次根式即可求解； （2）利用二次根式的乘法运算解题即可； （3）先化简二次根式，然后合并解题； （4）运用积的乘方逆运算法则计算即可解题． 【详解】① ； ② ； ③ ； ④ 四、解答题 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 【答案】 （1）证明：∵矩形ABCD， ∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）矩形 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可； （2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键． 19. 某校为了解七、八年级学生对抗美援朝历史知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集 七年级：59　90　92　85　80　67　88　85　97　79 八年级：57　95　80　96　83　69　92　78　66　83 数据整理 年级 成绩x（分） 七年级 1 1 2 a 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 b 85 八年级 79.9 81.5 c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______，______． （2）小牧同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游偏上的水平”，请推测该同学可能是______年级的学生（填七或八即可） （3）假如该校七年级有900名学生同时参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩超过80分的人数． 【答案】（1），， （2）八 （3）人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体等知识， （1）结合七年级的具体成绩以及根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用七年级总人数乘以样本中测试成绩在80分以上人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：将七年级的测试成绩从小到大排列：59 67 79 80 85 85 88 90 92 97， 在之间的有4人，故， 位于第5和第6个数为85和85， ∴中位数， 在八年级的测试成绩中，83出现了2次，出现次数最多， ∴众数， 故答案为：，85，83； 【小问2详解】 解：∵小牧同学参加了测试，得了82分，在年级属于中游略偏上， ∴小牧所在年级的中位数应小于82， ∵七年级的中位数是85，八年级的中位数为， ∴小牧同学可能在八年级的学生， 故答案为：八； 【小问3详解】 解：由原数据可得七年级80（分）以上的同学有（人）， 全校学生本次测试成绩在80（分）以上的人数有（人）， ∴估计该校七年级学生本次测试成绩在80（分）以上的人数约为人． 20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等． 图① 图② 图③ （1）在图①中画一个正方形ACBD． （2）在图②中画一个平行四边形AEBF． （3）在图③中画一个菱形AMBN． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义作图即可得； （2）根据平行四边形的定义作图即可得； （3）根据菱形的定义作图即可得． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 【点睛】本题考查了作图，解题的是掌握正方形，平分线，菱形的定义． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】 (1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示： (2)在同一直线上，解析式为；(3)；(4)当天晚上的22:00． 【解析】 【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可； (2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解； (3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数； (4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解． 【详解】解：(1)略 (2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上， 设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)， 得到，解得， ∴直线的表达式为：； (3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中， 解得cm， ∴此时箭尺的读数为； (4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中， 解得(小时)， ∴经过14小时后箭尺读数为90厘米， ∵实验记录的开始时间是上午8:00， ∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例在第二象限内的图象交于点， （1）求反比例函数的关系式： （2）方程的解为_____________； （3）求出不等式的解集为__________； （4）若直线与反比例函数在第四象限的交点为，则的面积是___________． 【答案】（1） （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用数形结合解题即可； （3）借助图象得到不等式的解集即可； （4）先求出长，然后利用解题即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ，， ∴点，， 把代入得， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：由图象可得直线与双曲线的交点横坐标为和， ∴即的解为，； 【小问3详解】 解：由图象可得不等式的解集为或； 【小问4详解】 当时，， ∴， ∴． 23. 实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 【答案】操作一：证明：四边形是矩形， ，． 由折叠得，，． ，， ． 又∵，， ； ∴； 操作二：； 操作三： 【解析】 【分析】操作一：由矩形的性质得出，．由折叠的性质得出，，．证出．则可得出结论； 操作二：由折叠得出，．．．进而可得，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案； 操作三：连接，过点F作于点T，根据操作二可得：是的垂直平分线可得，即可推出，当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为，在（2）中已求出，可得，证明四边形是矩形，即有． 【详解】操作一：略 操作二：由折叠得，．．． ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：； 操作三：连接，过点F作于点T，如图， 根据操作二可得：是的垂直平分线， ， ， 当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为， ， 在（2）中已求出， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴最小的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为． （1）点的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ； （2）若点的理想点在直线上，则a的值为 ； （3）点P在直线上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值； （4）正方形各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3），． （4）或． 【解析】 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“理想点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“理想点”的定义进行求解即可； （2）若点的理想点为，即，由点在直线上，可得，解之可得； （3）先根据点Q为点P的理想点．求得，再由点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，列出方程，求解即可； （4）先根据题意画出图形，再求得也在直线上，然后根据题意分类讨论求解即可． 【小问1详解】 根据题意可得：点的理想点坐标是，即； 若点P的理想点为，则，解得， 点P的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 若点的理想点为，即， 点在直线上， ， 解得： 所以的值为， 故答案为：； 【小问3详解】 点P在直线上，其横坐标为， ， 点Q为点P的理想点． ， 点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍， ， 解得：或； 【小问4详解】 如图， 将代入中，得， 则， 将代入中，得， 则， 在直线上， ， 点Q为点P的理想点， ， 令，得， 也在直线上， 当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F下方（含点F），点Q在线段EF上时，符合题意， ，解得， 当点P在线段EF上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意， ，解得， 故m的取值范围是或． 第1页/共1页 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