专题02 方程与不等式（10大考点62题）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（辽宁专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题02 方程与不等式 考点01 分式方程选填 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）方程的解为 ． 2．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）方程的解是 ． 3．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 考点02 一元二次方程根与系数的关系 4．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 5．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 6．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 7．（2024年辽宁省中考九年级数学真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ． 8．（2024年辽宁省沈阳市中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 9．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 10．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B．9 C．6 D． 12．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 13．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ． 考点03 二元一次方程组选填 14．（2024年辽宁省中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 15．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ． 17．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 18．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ． 20．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 考点04 分式方程应用选填 21．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝30 D．﹣＝30 25．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 27．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 考点05 二元一次方程选填 28．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工件产品，根据题意可列方程为 ． 考点06 不等式与不等式组 29．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 30．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   31．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 32．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．    B．     C．           D．    33．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 35．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 36．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）的解集为 ． 37．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）不等式的解集是 ． 38．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）不等式组的解集是 ． 39．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）不等式组的解集为 ． 40．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）不等式组的解集为 ． 41．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）二元一次方程组的解是 ． 考点07 一元一次方程应用 42．（2024年辽宁省中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 考点08 二元一次方程组应用 43．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． (1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ (2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 44．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 考点09 分式方程与不等式 45．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 46．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元． (1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元； (2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？ 47．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 48．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 49．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 50．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？ 51．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 52．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 53．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米? 54．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件． 55．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 考点10 一元二次方程及二次函数应用 56．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 57．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 58．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 59．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 60．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 61．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 62．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 售价（元/本） … 22 23 24 25 … 每天销售量（本） … 80 78 76 74 … (1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元； (2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元． ①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）； ②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？ 63．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ (3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 64．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题02 方程与不等式 考点01 分式方程选填 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 2．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可. 【详解】去分母得：， 解得：， 检验：， ∴原方程的解为x=5. 故答案为：. 【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0. 3．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 所以． 经检验，是原方程的解． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 考点02 一元二次方程根与系数的关系 4．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 5．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 6．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． 7．（2024年辽宁省中考九年级数学真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程没有实数根可得再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程没有实数根，则”是解本题的关键． 8．（2024年辽宁省沈阳市中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，然后解不等式即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 整理得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根得判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 9．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】k＞2 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0， 解得：k＞2． 故答案为：k＞2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 11．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得： 故选B 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 13．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根， 故该一元二次方程的根的判别式，即， 解得， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个， ∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题． 考点03 二元一次方程组选填 14．（2024年辽宁省中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 15．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 依题意得：． 故选：B． 16．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元， 则可列方程为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 17．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可． 【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 18．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 依题意，得： 240x-150x=150×12． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 19．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据“每人出100钱，则会多出100钱”用x表示出买猪需要的钱；根据“每人出90钱，恰好合适”用x表示出买猪需要的钱；二者相等，即可列方程. 【详解】依题意：. 故答案为：100x-100=90x. 【点睛】本题考查一元一次方程得实际应用，找到等量关系是本题解题关键. 20．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解； 【详解】设绳子长x尺，木长y尺， 依题意可得：， 故选：C 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解． 考点04 分式方程应用选填 21．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得： ； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 22．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 23．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种万人，再结合结果提前天完成了这项工作，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人， 实际每天接种万人， 又结果提前天完成了这项工作， ． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝30 D．﹣＝30 【答案】A 【分析】设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可． 【详解】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm， 根据题意可得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，详解本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 25．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小强每小时骑行xkm，根据“小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等”即可列出方程． 【详解】解：∵小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行xkm， ∴小明每小时骑行（x﹣2）km． 依题意得：＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 26．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】20 【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴＝0.2， 解得：m＝20． 经检验m＝20是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系． 27．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 考点05 二元一次方程选填 28．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工件产品，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍， ∴乙车间每天加工1.5x件产品， 又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 考点06 不等式与不等式组 29．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，掌握大于折线向右是解本题的关键．由包含分界点用实心点，大于折线向右，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴1处是实心点，且折线向右． 故选：D． 30．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴数轴表示如下所示：    故选B． 【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点． 31．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算． 32．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．    B．     C．           D．    【答案】B 【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 移项合并得：， 系数化1得：， 表示在数轴上为∶    故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键． 33．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3， 由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 34．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案． 【详解】解：， 移项，合并同类项得： 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键． 35．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可． 【详解】∵不等式的解集为x≤4， ∴数轴表示为： ， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键． 36．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 37．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． 38．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 39．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）不等式组的解集为 ． 【答案】1.5＜x＜6 【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集为：1.5＜x＜6， 故答案为：1.5＜x＜6． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练解一元一次不等式是解题的关键． 40．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质分别求出两个不等式的解集，再利用不等式组解集口诀“大小小大取中间”写出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并熟记解集口诀，正确解得每个不等式的解集是关键． 41．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）二元一次方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可． 【详解】解： 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：； ∴原方程组的解为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 考点07 一元一次方程应用 42．（2024年辽宁省中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 考点08 二元一次方程组应用 43．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． (1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ (2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 【答案】(1)36；20 (2)31 【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论; （2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元， 根据题意得， ，解得: ， 答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元； （2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31. 答：最多可购买甲种驱蚊手环31个. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式. 44．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； (2)至少购进A种礼品盒15盒． 【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； （2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒， 根据题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小整数解为15， ∴至少购进A种礼品盒15盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 考点09 分式方程与不等式 45．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 【答案】冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个200元，100元． 【分析】设冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个元，y元，再根据购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元，列方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个元，y元，则 ②-①得 把代入①得： 解得： 答：冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个200元，100元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 46．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元． (1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元； (2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元 (2)5 【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得： ，解得：， 答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元； （2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得： 120m+100（10-m）≤1100， 解得m≤5， 答：最多可以购买5个篮球． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等式． 47．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】(1)每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； (2)至少要购进A型早餐机5台． 【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解． 48．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 【答案】(1)这个月生产产品件，产品件 (2)140件 【分析】（1）设生产产品件，产品件，根据题意列出方程组，求出即可； （2）设产品生产件，则产品生产件，根据题意列出不等式组，求出即可． 【详解】（1）解：设生产产品件，产品件， 根据题意，得 解得， ∴这个月生产产品件，产品件， 答：这个月生产产品件，产品件； （2）解：设产品生产件，则产品生产件， 根据题意，得， 解这个不等式，得． ∴产品至少生产件， 答：产品至少生产件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键． 49．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元； (2)学校最多可以购买70个足球． 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 50．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？ 【答案】每个篮球的原价是120元． 【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答． 【详解】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元， 根据题意，得＝． 解得x＝120． 经检验x＝120是原方程的解． 答：每个篮球的原价是120元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 51．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【答案】A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元． 【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元， 由题意得：， 解得：x=150， 经检验，x=150是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x=180． 答：A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 52．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 【答案】(1)一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷 (2)至少要安排7台A型收割机 【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可； （2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷． 根据题意，得， 解得 经检验：是所列分式方程的根 ∴（公顷）． 答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷． （2）解：设每天要安排y台A型收割机， 根据题意，得， 解得， 答：至少要安排7台A型收割机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键． 53．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米? 【答案】施工队原计划每天改造6米． 【分析】设施工队原计划每天改造米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设施工队原计划每天改造米， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：施工队原计划每天改造6米． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程． 54．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件． 【答案】乙每小时加工个这种零件． 【分析】设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，利用“甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等”列分式方程即可求解． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：乙每小时加工个这种零件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程进行求解． 55．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 考点10 一元二次方程及二次函数应用 56．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 57．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 58．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 59．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 60．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)13 (3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 61．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y＝﹣2x+160 (2)销售单价应定为50元 (3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160； （2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 62．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 售价（元/本） … 22 23 24 25 … 每天销售量（本） … 80 78 76 74 … (1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元； (2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元． ①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）； ②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元； (2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元． 【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本； ②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元， 依题意得， 解得， 答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元； （2）解：①设A款纪念册每本降价m元， 则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元）， ∵这两款纪念册每天销售总数不变， ∴B款纪念册销售量为(80-2m)本； ②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n， ∴， 解得， ∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124， 由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本， 售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)， 设该店每天所获利润为w元， 则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m) =-4m2+48m+1120 =-4(m-6)2+1264， ∵-4<0， ∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元， 此时A款纪念册售价为32-6=26(元)， 答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 63．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ (3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)40元或20元； (3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元； 【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点（25，50）和点（35，30）代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则 ， 解得：，， ∴当天玩具的销售单价是40元或20元； （3）解：根据题意，则 ， 整理得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． 64．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米． (2)150 【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司40 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司41 学科网（北京）股份有限公司 $$