精品解析：山东省日照市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2022级高二下学期期末校际联合考试 数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 0或4 D. 2或4 5. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 6. 已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则__________. 13. 已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则______. 14. 已知函数，，若函数的图象恒在的图象的上方，其中，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步理. 15. 已知数列的前n项和为，，各项均为正数的等比数列，满足. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 17. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，令，求的最小值． 18. 已知函数. （1）求的值； （2）若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”. （1）求的值； （2）若“1-函数”，求n的最小值； （3）记函数，其导函数为，证明：“函数”. 附： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高二下学期期末校际联合考试 数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，易求. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性. 【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：，则， 当时，所以在上单调递增，故C错误； 对于D：在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 0或4 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况考虑，建立方程，解出即可. 【详解】当时，因为， 所以，所以，经检验，满足题意； 当时，因为， 所以，即，所以，经检验，满足题意. 故选：C 5. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的极值点、单调区间、导数的几何意义，进而判断各选项的正误. 【详解】由导函数的部分图象可得， 当或时，，当或时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有个极值点，故BC错误； 所以，故A错误； 曲线在处的切线的斜率为，故D正确. 故选：D. 6. 已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 7. 已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义得到条件，然后用基本不等式证明，最后给出一个的情况即可. 【详解】设切线的切点为，则. 且由，及该直线斜率为，知. 所以，故，从而代入知，即. 所以. 当，时，有，. 所以的最小值是. 故选：C. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，即可比较的大小，构造函数，即可比较的大小，即可得解. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，， ，是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确； 对于C，则， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BD. 10. 定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过赋值，结合不恒为0即可判断；对于B，通过赋值，结合，以及函数的定义域为R即可判断；对于C，通过赋值即可判断；对于D，说明函数的周期为4，并且结合函数的图象关于点中心对称，，以及为偶函数进行判断即可. 【详解】对于A，在中，令，有，解得或， 若，在中，令，有， 这就得到恒成立，这与已知不恒为0矛盾，所以不可能成立， 而在处有定义，故一定有，故A错误； 对于B，在中，令，有， 即有，且函数的定义域为R，所以为偶函数，故B正确； 对于C，在中，令，有， 即， 而取遍所有实数时，也取遍所有实数，所以恒成立，故C正确； 对于D，若，在中，令，有，这意味着函数的图象关于点中心对称， 所以，所以函数的周期为4， 而 ， ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得到函数的周期为4，且函数的图象关于点中心对称，由此即可顺利得解. 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为， 所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推式的应用，考查裂项相消法，解题的关键是根据题意求得递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】，由是偶函数可得，即恒成立. 故. 故答案为：1 13. 已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 14. 已知函数，，若函数的图象恒在的图象的上方，其中，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，则，利用导数分和两种情况讨论，求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题意，恒成立， 令，则， ， 当时，， 所以函数在上单调递增， 又时，， 所以函数无最小值，所以时与题意矛盾； 当时，令，则，令，则， 所以函数在山单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步理. 15. 已知数列的前n项和为，，各项均为正数的等比数列，满足. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由之间的关系即可求解数列的通项公式，求出等比数列的公比即可得的通项公式； （2）由题意得，由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意， ， 而，所以， 设各项均为正数的等比数列的公比为，满足， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）中结论可知，， 所以数列的前n项和， ， 所以. 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． 【小问2详解】 ，令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 17. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，令，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差，进而得解； （2）由（1）中结论结合累乘法得数列的通项公式，通过裂项法得的表达式说明单调递增，或由也可说明单调递增，进而得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． 【小问2详解】 方法一：由（1）得， 由题意， ， 而，从而， ， 而关于单调递减，从而关于单调递增， 所以关于也是单调递增， 所以当时，的最小值为； 方法二：由（1）得， 由题意， ， 而，从而， 又，所以单调递增， 所以的最小值为. 18. 已知函数. （1）求的值； （2）若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）0 （2）（ⅰ）， （ⅱ）由（1）知，即， 所以若，则，所以， 当时，先证明不等式恒成立， 令， 则， 所以在上递增，所以， 所以当时，不等式恒成立， 由，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 两边同除以，得， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知解析式直接求解即可； （2）（ⅰ）由，可得除1外还有两个不同的零点，对函数求导后，令，当时，，不合题意，所以问题转化为当时，不单调，即存在两个零点，然后求出的单调区间，结合零点存在性定理分析即可；（ⅱ）由前面的求解可知，利用导数证明时，不等式恒成立，从恧可得，化简变形可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以除1外还有两个不同的零点， 由，得， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减， 所以在上至多有1个零点，不合题意，舍去； 当时，除1外还有两个不同的零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，所以， 当或时，，则， 当时，，则， 所以在和上递增，在上递减， 因为，所以， 因为，且， ，且， 所以存在，使得， 所以有3个零点， 综上，a的取值范围为； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数证明不等式，第（2）（ⅱ）解题的关键是先证明恒成立，然后结合题意化简变形，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”. （1）求的值； （2）若“1-函数”，求n的最小值； （3）记函数，其导函数为，证明：“函数”. 附： 【答案】（1）142 （2）4 （3） 由题意得 由，得， 所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）首先得出，，所以只需求出的值即可得解； （2）首先得出，，进一步可以得到，从而可表示出，结合其单调性即可求解. （3）由，结合导数的运算即可求解. 【小问1详解】 ，，公差为2，所以， ， 所以； 【小问2详解】 ，，公差为1， 所以， ，当时，， 而， 所以， ， 设，则， 所以关于单调递增， 所以关于单调递增， 注意到， 所以当时，均满足， 所以满足题意的n的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是通过累加法得出，进一步，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $