专题14 导数与函数的极值最值（七大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题14导数与函数的极值最值 一、函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 二、函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01函数图象与导函数图象关系 【例1】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 【例2】已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D； 在点的右侧附近，，此时，排除A， 所以函数的图象可能是C． 故选：C 【变式1-1】（多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BD 【详解】由图知，，， 当时，；当时，； 当时，；当时，. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，． 故选：BD 【变式1-2】（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 【变式1-3】（多选）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【答案】ABCD 【详解】对于A，若图中为图象，，且在左右均为增，A错； 对于B，若图中为图象，则在和上递减，在和上递增，所以有两个极小值点和一个极大值点，B错； 对于C，若图中为图象，则时，已知图象与正负相同，所以，单调递减，C错； 对于D，若图中为图象，则 时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为，D错. 故选：ABCD 考点02求函数的极值（点） 【例3】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 【例4】已知函数，的图象在处的切线交轴于点. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)6 (2)的极大值为；极小值为 【详解】（1），所以，即切线斜率为2， 又，所以切点坐标为 的图象在处的切线方程为：， 代入点，得； （2）由（1）得， ， 令，得或 当变化时，变化情况如下表： 2 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，时，取得极大值，极大值为； 时，取得极小值，极小值为. 【变式2-1】函数的极值点为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 由， 即， 解得：． 由，得， 由，得， 函数在处取得极大值， 故选：A． 【变式2-2】函数的极小值为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 【变式2-3】已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【详解】（1）由，得， 因为在点处的切线方程为， 所以， 所以，所以， 解得； （2），令， 因为，所以，或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以极大值为，极小值为， 综上所述，在区间上的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为. 考点03已知极值（点）求参数 【例5】函数在处取得极小值，则a＝（    ） A． B．3 C．1 D．－1 【答案】A 【详解】依题意，，因为函数在处取得极小值，则， 解得，下面检验： ， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增. 则时，函数在处取得极小值，满足题意． 故选：A. 【例6】（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，则. 函数在处取到极大值1.则，则A正确； 两式子相减，得到，即，则B正确； 由前面知道，，则， 由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为“左增右减”. 则，对于时，， 即，即，即， 即，则.则C正确，D错误. 故选：ABC. 【变式3-1】函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【详解】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 【变式3-2】在处有极小值，则实数为 ． 【答案】1 【详解】， 为极小值点，，解得：或， 当时，， 可得在和上单调递增，在上单调递减． 进而为极小值点，符合题意. 当时，， 可得在和上单调递增，在上单调递减． 进而为极大值点，不符合题意舍去. . 故答案为： 【变式3-3】已知的两个极值点分别是，. (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)递增区间是，递减区间是. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，是方程的两个根，则，解得， 此时，是的变号零点， 所以. （2）由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 考点04求函数的最值（不含参） 【例7】当时，函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意可知，， 令，有或（舍）， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 【例8】已知函数在处取得极小值为1． (1)求的值； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由题设，函数在处取得极小值为1， 则， 即，解得， 检验，当时，， ， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，满足题意. 所以. （2）由（1）得， ， 令，得；令，得或， 在上的单调递减区间是，单调递增区间为， ， 函数在区间上的值域为. 【变式4-1】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为2 【详解】（1）由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； （2）由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. 【变式4-2】已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为 【详解】（1）因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意，    经检验符合题意，所以，. （2）由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式4-3】己知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为：，所以切点坐标为：， 又，，即为所求切线的斜率. 所以切线方程为：，化简得： （2），（） 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在区间上的极小值为，也是最小值. 考点05已知最值求参数 【例9】已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 【例10】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 由，得， 所以所求的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为． 由，得． 当时，，在上单调递增，没有最小值． 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 得，得． 【变式5-1】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 【变式5-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，，则在上单调递增； 当时，由得；由得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 解得. 【变式5-3】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 考点06利用导数解决实际问题中的最值 【例11】在学校组织的数学建模大赛活动中，某兴趣小组的同学准备将一个直径为的实心球形木料锯成一个四棱锥模型，为节约资源，使损失的木料最少，则制作出来的四棱锥的体积等于 ． 【答案】 【详解】如图所示，记四棱锥为外接球球心为O，半径为R，底面ABCD的外接圆半径为r， 圆心为E，P到底面的距离为h，因为（其中是AC、BD的夹角），， 所以，等号成立时，ABCD为正方形且P、O、E共线， 即为正四棱锥．由题可知，， 所以的体积， 因为得，时，时，， 所以V在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，．， 故答案为; 【例12】环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度单位：）之间的数据： 0 20 40 0 3000 5600 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择： (1)当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从甲地驶到乙地，前一段是的国道，后一段是的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系为：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 【答案】(1)，； (2)在国道上行驶速度为，在高速路上行驶速度为，这样从甲地驶到乙地总耗电量最少，最少为. 【详解】（1）函数为减函数，这与矛盾， 故选择. 根据提供数据，有， 解得. 当时，. （2）因为国道路段长为，故所用时间为，所耗电量为 当时，. 因为高速路段长为，故所用时间为，所耗电量为 因为， 当时，.所以在上单调递增， 所以. 即总耗电量最少为. 故当这辆车在国道上行驶的速度为，在高速路上行驶速度为，该车从甲地驶到乙地总耗电量最少，最少为. 【变式6-1】一列车队以速度v（单位：km/h）行进，每辆车长5m，两车之间的合适间距为．问：当车速v为多少时，单位时段内通过的汽车数量最多？ 【答案】当 km/h时，每小时通过的车辆数最多，约为辆. 【详解】记两车间距为，其中， 则一辆车占去的道路长为， 1h内通过汽车的数量为. 由，解得. 当时，； 当时，； 因此，当时，取得极大值，也是最大值. 所以，当 km/h时，每小时通过的车辆数最多，约为辆. 【变式6-2】2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区，截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积225.38平方千米，灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，.该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全部售出. (1)写出总利润（千元）关于生产量（吨）的函数解析式（注：总利润＝总收入-流动成本-固定成本）； (2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)生产量为12吨时，总利润最小为56千元 【详解】（1）由已知可得.又， 所以当时，， 当时，， 故 （2）当时，，． 当时，，所以， 所以当时，单调递增， 故． 因为， 所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元． 【变式6-3】某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米． (1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式； (2)如何设计与的长度，使得最大？ 【答案】(1)，. (2)为毫米，为毫米 【详解】（1）由得， 由且得， 所以防蚊液的体积，. （2）由，. 所以， 令得；令得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值，此时，， 所以当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值. 考点07求函数的最值（含参） 【例13】已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）∵, ∴. . ∴在处的切线方程为，即. （2）由（Ⅰ）可知. 令，可得或. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x 0 1 - 0 + 1 单调递减 极小值 单调递增 a+2 ∴在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，. 当，即时，. 所以当时，的最大值为1；当时，的最大值为. 【例14】已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)答案见解析 【详解】（1） 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 （2） ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 【变式7-1】 已知函数， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 【答案】(1)是的单调增区间，是的单调减区间； (2). 【详解】（1）因为，所以， 单调递增； 单调递减. 是的单调增区间，是的单调减区间； （2）因为，是的单调增区间，是的单调减区间； 当时,是单调增区间,； 当时,是单调增区间,是单调减区间，； . 【变式7-2】已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值. 综上可得. 【变式7-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. （2）由（1）知，当时，在区间上为增函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数，在上为增函数， 函数的最大值为， 由，得， 若时，函数的最大值为， 若时，函数的最大值为， 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 易错01“导数为0”与“有极值”不等价 注意：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 1．（多选）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可得， 且是函数的极大值点，即，可得， 又极大值为3，所以，解得或； 当时，，此时， 时，，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去； 当时，，此时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 此时函数在处取得极大值，符合题意， 所以，，即，所以A正确，B错误； 此时，所以，，即C错误，D正确. 故选：AD 2．已知函数在处取得极值，则（   ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【答案】B 【详解】因为，由题有，即，解得或.. 当时，，不合题意，舍掉； 当时，， 令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意， 则. 故选：B. 易错02对极值的理解存在误区 注意：①误以为“极大值”一定比“极小值”大；②极值的个数可以是0个、1个甚至多个 1．函数在处（    ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 【答案】B 【详解】， 则， 令，解得， 令，解得， 令，或， 所以函数在单调递增；在单调递减， 所以在处无极值. 故选：B 2．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】D 【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点， 故选：D. 一、单选题 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 2．若的两个极值点为，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由，得，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为和1，则． 故选：B． 3．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 4．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【答案】A 【详解】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A 5．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在上恒成立，即在上恒成立， 不妨设，，因在上恒成立， 故在上单调递减，则，故. 故选：D. 6．函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，， 因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根， 所以， 解得. 故选：B. 7．已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】， 因为函数在处取得极小值1， 所以，解得， 可得，且，解得， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， ，， 则在区间上的最大值为6. 故选：C. 8．已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，则， 可得，则， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故选：D 二、多选题 9．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的值域为 B．在处取得极小值为2 C．在上是增函数 D．若方程有2个不同的根，则 【答案】AB 【详解】因为函数，则， 令，即，解得或（舍）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增，故C错误； 则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确； 且，，则函数值域为，故A正确； 由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示， 结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误； 故选：AB 10．下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，设，所以， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数有最大值，， 即，即，故A正确； 对于B，设，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，函数有最小值，， 即，则，故B正确； 对于C，设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，， 即，故C错误； 对于D，设， 因为，所以单调递减， 所以当时，有，即，故D正确. 故选：ABD. 11．已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．实数的取值范围为 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，其中，则， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项A正确； 因为在上单调递减，在上单调递增， 因为在上有两个极值点，且， 所以，解得，所以选项B正确； 因为存在，使得， 当或时，；当时，. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 又因为函数的图象关于直线对称，则， 所以 .所以选项C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．函数的极值点的个数是 ． 【答案】0 【详解】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 13．已知命题，命题：函数有极小值点2，则是的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）. 【答案】充要 【详解】当时，函数，求导得， 显然当或时，，当时，，因此2是的极小值点， 当函数有极小值点2时，， 显然，则或， 当时，有，2不是极小值点，不符合题意， 当时，当或时，，当时，，因此2是的极小值点，即， 所以是的充要条件. 故答案为：充要 14．设函数（为自然对数的底数），在定义域内任取均满足恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】0 【详解】不妨设，由题知恒成立. 设，故在上单调递增，所以， 即. 因为，所以，所以，故. 令，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 故实数的最大值为0. 故答案为：0 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为16，最小值为. 【详解】（1） 令.则， 则当和时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为， ，则在上最大值为16，最小值为. 16．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产万件产品，每件产品需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完． (1)求利润函数的解析式； (2)求利润函数的最大值． 【答案】(1) (2)1000万元． 【详解】（1）由题意得，销售收入为万元． 当产量不足50万件时，， 利润为：； 当产量不小于50万件时，， 利润为：. 所以利润函数为 （2）当时，， 所以当时，在上单调递增； 当时，在单调递减， 所以当时，取得最大值； 当时， 当且仅当，即时，等号成立 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 17．已知函数在处取得极小值5. (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1)，. (2)10 【详解】（1）， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时， 令，解得；令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取极小值，符合题意. 所以，. 又，所以. 综上，，. （2）由（1）知，， 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 18．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2). 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 19．已知函数，若函数的极小值为，求实数的取值集合． 【答案】 【详解】由题意， ①当时，恒成立，在上单调递增，无极值； ②当时，在和上，，单调递减， 在上，，单调递增； 所以的极小值为， 故， 化简得，， 解得或（舍去）； ③当时，在和上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以的极小值为， 故， 解得，符合题意； ④当时，在和上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以得极小值为， 故， 解得或（舍去）． 故实数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题14导数与函数的极值最值 一、函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 二、函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01函数图象与导函数图象关系 【例1】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【例2】已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式1-2】（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【变式1-3】（多选）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 考点02求函数的极值（点） 【例3】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数，的图象在处的切线交轴于点. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【变式2-1】函数的极值点为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-2】函数的极小值为 . 【变式2-3】已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 考点03已知极值（点）求参数 【例5】函数在处取得极小值，则a＝（    ） A． B．3 C．1 D．－1 【例6】（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数在处有极值10，则实数 ． 【变式3-2】在处有极小值，则实数为 ． 【变式3-3】已知的两个极值点分别是，. (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间. 考点04求函数的最值（不含参） 【例7】当时，函数的最小值为 . 【例8】已知函数在处取得极小值为1． (1)求的值； (2)求函数在区间上的值域． 【变式4-1】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 【变式4-2】已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最值． 【变式4-3】己知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 考点05已知最值求参数 【例9】已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例10】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 【变式5-1】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【变式5-3】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 考点06利用导数解决实际问题中的最值 【例11】在学校组织的数学建模大赛活动中，某兴趣小组的同学准备将一个直径为的实心球形木料锯成一个四棱锥模型，为节约资源，使损失的木料最少，则制作出来的四棱锥的体积等于 ． 【例12】环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度单位：）之间的数据： 0 20 40 0 3000 5600 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择： (1)当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从甲地驶到乙地，前一段是的国道，后一段是的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系为：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 【变式6-1】一列车队以速度v（单位：km/h）行进，每辆车长5m，两车之间的合适间距为．问：当车速v为多少时，单位时段内通过的汽车数量最多？ 【变式6-2】2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区，截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积225.38平方千米，灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，.该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全部售出. (1)写出总利润（千元）关于生产量（吨）的函数解析式（注：总利润＝总收入-流动成本-固定成本）； (2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 【变式6-3】某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米． (1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式； (2)如何设计与的长度，使得最大？ 考点07求函数的最值（含参） 【例13】已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值. 【例14】已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【变式7-1】 已知函数， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 【变式7-2】已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【变式7-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 易错01“导数为0”与“有极值”不等价 注意：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 1．（多选）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在处取得极值，则（   ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 易错02对极值的理解存在误区 注意：①误以为“极大值”一定比“极小值”大；②极值的个数可以是0个、1个甚至多个 1．函数在处（    ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 2．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 一、单选题 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若的两个极值点为，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 4．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 5．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的值域为 B．在处取得极小值为2 C．在上是增函数 D．若方程有2个不同的根，则 10．下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．实数的取值范围为 C． D． 三、填空题 12．函数的极值点的个数是 ． 13．已知命题，命题：函数有极小值点2，则是的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）. 14．设函数（为自然对数的底数），在定义域内任取均满足恒成立，则实数的最大值为 . 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 16．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产万件产品，每件产品需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完． (1)求利润函数的解析式； (2)求利润函数的最大值． 17．已知函数在处取得极小值5. (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最大值. 18．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 19．已知函数，若函数的极小值为，求实数的取值集合． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$