精品解析：河南省郑州市巩义市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初中第二学期期末质量检测八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组数，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. ，， 2. 如图，这是乐乐的一次作业，若每道题25分，则乐乐该次作业的得分为（ ） 填空： ① ②； ③ ④ A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 3. 某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中课外体育占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％．小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，94，则小彤这学期的体育成绩为（ ） A. 89 B. 90 C. 92 D. 93 4. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A B. C. D. 5. 直线向下平移1个单位长度得到的直线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 6. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，D、E分别为△ABC边AC、BC的中点，∠A=60°，DE=6，则下列判断错误的是（ ） A. ∠ADE=120° B. AB=12 C. ∠CDE=60° D. DC=6 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形面积和 9. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（ ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能使二次根式在实数范围内有意义的x的值_______． 12. 2024年全国两会在北京胜利召开，为了增强学生的爱国主义情怀，学习两会精神，杜甫中学举办了以“学习两会精神，争做时代先锋”为主题的演讲比赛．如图是某班甲乙两名同学在五次选拔比赛中的成绩情况，你认为应选_______（填“甲”或“乙”）代表班级去参加演讲比赛． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 14. 巩义某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为），且，则所用不锈钢材料的总长度为______米． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么的面积为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图所示，在平行四边形中，． （1）用尺规完成基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：四边形是菱形．（请将证明补充完整） 证明：平分， ____________①， 四边形是平行四边形， ， ， ， __________②， ， ________________③， ， 四边形是______________④， ， 四边形是菱形． 18. 校园安全问题始终是社会各界关注的焦点，2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，我市某初中进行了校园安全知识测试．现从七、八两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制，数据分成5组：，，，，，其中85分及以上为优秀）进行整理、描述、分析、统计如下： A．七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 B．七年级学生在这一组的成绩数据：83，85，85，85，85，86，87，89 C．八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 87 86 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级学生甲与八年级学生乙测试成绩均为87分，这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是_______（填“甲”或“乙”） （2）你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好？并说明理由．（从两个不同的角度说明） （3）该校七年级共有600名学生，若学校决定将测试成绩靠前的270名学生选入安全志愿服务团队，预估七年级分数至少达到_______分的学生才可以入选． 19. 如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的周长． 20. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 21. 如图，平行四边形中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象； （2）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 22. 2024年是甲辰龙年，在中国传统文化中，龙象征着权威、尊贵、吉祥、繁荣等美好寓意．因此，剪纸龙、泥塑龙、龙雕刻、龙绣等具有龙元素的工艺品更是深受人民喜爱．某商场决定购进一批剪纸龙和龙绣进行销售，已知每套龙绣的价格是每套剪纸龙价格的2倍，购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元． （1）求商场购进每套龙绣和剪纸龙的价格各是多少元？ （2）该商场购进龙绣和剪纸龙之后重新定价销售，每套剪纸龙的售价为50元，每套龙绣的售价为90元，现商场决定用1500元（恰好用完）购买龙绣和剪纸龙若干套，且购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，则如何安排进货才能使商场获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 【问题背景】 如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且交于，连接． 【初步认识】 （1）猜想线段和有何数量关系：__________________． 【深入思考】 （2）请求出的度数． 【延伸迁移】 （3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中第二学期期末质量检测八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组数，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2=c2，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A. ∵0.3，0.4，0.5这三个数不是正整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故原选项不合题意； B.∵，∴3，4，5是勾股数，故原选项符合题意； C. ∵，∴6，7，8不是勾股数，故原选项不合题意； D.32=9，42=16，52=25，∵92+162=337≠252，∴32，42，52不是勾股数，故原选项不合题意． 故选：B 【点睛】本题考查勾股数的定义，理解勾股数的定义是解题关键． 2. 如图，这是乐乐的一次作业，若每道题25分，则乐乐该次作业的得分为（ ） 填空： ① ②； ③ ④ A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，计算错误，不得分； ②，计算正确，得25分； ③，计算正确，得25分； ④，计算正确，得25分； ∴乐乐该次作业的得分为75分， 故选：C． 3. 某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中课外体育占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％．小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，94，则小彤这学期的体育成绩为（ ） A. 89 B. 90 C. 92 D. 93 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式，套入数据即可得出结论． 【详解】解：根据题意得，（分）， 即小彤这学期的体育成绩为93分， 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是利用加权平均数的公式求出小彤这学期的体育成绩．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记加权平均数的公式是解题的关键． 4. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 5. 直线向下平移1个单位长度得到的直线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移、求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握图象平移规则是解答的关键．先根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，然后求x轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线向下平移1个单位长度得到的直线解析式为，即， 令，由得， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为， 故选：D． 6. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式、解一元一次方程，根据最简二次根式的定义可得，再求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，， ∴， 解得， 故选：B． 7. 如图，D、E分别为△ABC边AC、BC的中点，∠A=60°，DE=6，则下列判断错误的是（ ） A. ∠ADE=120° B. AB=12 C. ∠CDE=60° D. DC=6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：DE是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质和平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵D、E分别为△ABC边AC、BC的中点，∴DE∥AB，， ∵∠A=60°，DE=6，∴∠ADE=120°，AB=12，∠CDE=60°，∴A、B、C三项是正确的； 由于AC长度不确定，而，所以DC的长度不确定，所以D是错误的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 9. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（ ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 由函数图像直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【详解】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大，故①正确； 拉力是重力的一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为， 将代入得， 解得：， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，，故②错误； 由图象知，拉力是重力的一次函数，故③错误； 时，，故④正确． 故选：C． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， 垂直平分， ， ， 四边形BEDF是菱形， ∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形， ∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO， ∴AE=FC．又EF=AE+FC， ∴EF=2AE=2CF， 又EF=2OE=2OF，AE=OE， ∴△ABE≌OBE， ∴∠ABE=∠OBE， ∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°， ∴BE= ＝， ∴BF=BE=， ∴CF=AE=， ∴BC=BF+CF=， 故选B ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能使二次根式在实数范围内有意义的x的值_______． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴当时，二次根式有意义． 故答案为：4（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，是解题的关键． 12. 2024年全国两会在北京胜利召开，为了增强学生的爱国主义情怀，学习两会精神，杜甫中学举办了以“学习两会精神，争做时代先锋”为主题的演讲比赛．如图是某班甲乙两名同学在五次选拔比赛中的成绩情况，你认为应选_______（填“甲”或“乙”）代表班级去参加演讲比赛． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图的应用，从平均数、波动程度两个方面进行判断． 【详解】解：由图可知，乙同学5场比赛的平均成绩为（分）， 甲同学5场比赛的平均成绩为（分）， 且由图可知乙同学成绩的波动幅度小于甲同学， 应选乙代表班级去参加演讲比赛． 故答案为：乙． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 14. 巩义某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为），且，则所用不锈钢材料的总长度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，判定四边形为平行四边形是关键．连接，过点C作交延长线于点H；由题意可判定四边形是平行四边形，得，；依题意得米，由含30度角直角三角形求得，即可求得所用不锈钢材料的总长度． 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点H； ， ； 米， 四边形是平行四边形， ， ， ； ， ， （米）， 米， 则所用不锈钢材料的总长度为（米）． 故答案为：． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则，当直线经过D点，设直线交于N，则，作于点M，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则， 设直线经过点D时，交于N，则，作于点M，如图所示： ∵移动直线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定的长，是解答本题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，在平行四边形中，． （1）用尺规完成基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：四边形是菱形．（请将证明补充完整） 证明：平分， ____________①， 四边形是平行四边形， ， ， ， __________②， ， ________________③， ， 四边形是______________④， ， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2），，，平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据基本尺规作图——作角平分线作图即可； （2）根据角平分线的性质，等腰三角形的判定，等量代换，平行四边形的判定定理填空即可． 【小问1详解】 解：在上截取，使；分别以点B、E为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于M，作射线交于点F，连接； 【小问2详解】 解：平分， ①， 四边形是平行四边形， ， ， ， ②， ， ③， ， 四边形是平行四边形④， ， 四边形是菱形． 故答案为：，，，平行四边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，菱形．熟练掌握基本尺规作图——作角平分线，角平分线性质，平行四边形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，菱形的判定定理，是解题的关键． 18. 校园安全问题始终是社会各界关注的焦点，2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，我市某初中进行了校园安全知识测试．现从七、八两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制，数据分成5组：，，，，，其中85分及以上为优秀）进行整理、描述、分析、统计如下： A．七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 B．七年级学生在这一组的成绩数据：83，85，85，85，85，86，87，89 C．八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 87 86 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级学生甲与八年级学生乙的测试成绩均为87分，这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是_______（填“甲”或“乙”） （2）你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好？并说明理由．（从两个不同的角度说明） （3）该校七年级共有600名学生，若学校决定将测试成绩靠前的270名学生选入安全志愿服务团队，预估七年级分数至少达到_______分的学生才可以入选． 【答案】（1）甲 （2） 八年级学生对校园安全知识掌握的总体水平较好， 理由： ∵七年级的优秀率为， ∴八年级测试成绩的中位数和优秀率均高于七年级测试成绩的中位数和优秀率，故八年级学生对校园安全知识掌握的总体水平较好； （3）86 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、用样本估计总体，理解题意以及统计量的意义是解答的关键． （1）求出七年级测试成绩的中位数，再根据七、八年级的中位数的意义求解即可； （2）可求得七年级的优秀率，通过中位数和优秀率的比较可得结论； （3）求得七年级抽取的20名同学中入选的人数，即可预估出入选的分数． 【小问1详解】 解：七年级共抽取20名学生，将测试成绩从小到大排列，第10、11个数据都是85， ∴七年级测试成绩的中位数为（分）， ∵八年级测试成绩的中位数为88分， ∴七年级学生甲的测试成绩87分，高于七年级测试成绩的中位数，而八年级学生乙的测试成绩为87分，低于八年级测试成绩的中位数， 故这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是甲， 故答案为：甲； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，（名）， 则在七年级抽取20名学生中，必须有9人入选， ∴预估七年级分数至少达到86分的学生才可以入选， 故答案为：86． 19. 如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：， ， 点为的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 20. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； 【小问2详解】 解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 如图，平行四边形中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象； （2）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2）该函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、一次函数的应用、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质、采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分三种情况：当E在线段上时；当E在线段上时；当E在线段上时；分别利用三角形的面积公式计算即可得出与的函数关系式，根据关系式画出图象即可； （2）根据函数图象即可得出性质； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， 过点E作于点F， 则， ∴， ∴； 当时，如图，过点C作于点F， 则， ∴； 当时，如图，过过点E作于点F， ∵， ∴， ∴； ∴， 画函数图象为： 【小问2详解】 该函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线； 【小问3详解】 由图象可得：当时，x的取值范围为：． 22. 2024年是甲辰龙年，在中国传统文化中，龙象征着权威、尊贵、吉祥、繁荣等美好寓意．因此，剪纸龙、泥塑龙、龙雕刻、龙绣等具有龙元素的工艺品更是深受人民喜爱．某商场决定购进一批剪纸龙和龙绣进行销售，已知每套龙绣的价格是每套剪纸龙价格的2倍，购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元． （1）求商场购进每套龙绣和剪纸龙的价格各是多少元？ （2）该商场购进龙绣和剪纸龙之后重新定价销售，每套剪纸龙的售价为50元，每套龙绣的售价为90元，现商场决定用1500元（恰好用完）购买龙绣和剪纸龙若干套，且购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，则如何安排进货才能使商场获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进每套龙绣的价格为60元，每套剪纸龙的价格为30元 （2）商场购进20套龙绣、10套剪纸龙可获得最大利润，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，（1）设商场购进每套剪纸龙的价格为x元，则购进每套龙绣的价格为元，根据“购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元，”列一元一次方程求解即可； （2）设购买龙绣a套，购买剪纸龙套，先根据“购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，”列不等式求得，再根据列w关于a的一次函数，由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设商场购进每套剪纸龙的价格为x元，则购进每套龙绣的价格为元．由题意，得， 解得， ， 答：商场购进每套龙绣的价格为60元，每套剪纸龙的价格为30元． 【小问2详解】 解：设购买龙绣a套，购买剪纸龙套． 由题意，得， 解得． ∵， ∴， ∴， 设商场获得的利润为w元． 则， ， ∴w随a的增大而减小， 又∵， ∴当时，w有最大值，最大值为． 此时， 答：商场购进20套龙绣、10套剪纸龙可获得最大利润，最大利润是800元． 23. 【问题背景】 如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且交于，连接． 【初步认识】 （1）猜想线段和有何数量关系：__________________． 【深入思考】 （2）请求出的度数． 【延伸迁移】 （3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到结论； （2）证明；可得，从而可得结论； （3）连接，在菱形中，，证明，证明，，证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质可得结论. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴； ∴，而， （2）由（1）可得， ， ， ， ， ， ； ， ； （3），理由如下： 连接，在菱形中，， ． 在和中 ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的利用类比的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $