精品解析：2024年江苏省徐州市睢宁高级中学附属学校中考模拟预测数学试题

徐州市2024年中考模拟预测密卷A 数学试题 （本卷共28小题，满分140分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 平均数是144 B. 众数是141 C. 中位数是144.5 D. 方差是5.4 5. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 6. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 15 D. 21 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 10. 若与互为补角，并且的一半比小，则的度数为_________． 11. 把多项式分解因式的结果为_______． 12. 目前，中东呼吸综合征在韩国的爆发引起全球的普遍关注，现知某冠状病毒的直径大约为0.00000006米，用科学记数法表示为________． 13. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象与边OC交于点E，已知E为边OC的中点，则的面积为______． 16. 已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为________． 17. 如图，的半径，点是上的动点（不与点重合），过点作的切线，且，连接，．当是直角三角形时，其斜边长为______． 18. 如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 某中学要了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生的课余活动情况（每名学生必选且只选一项），并将调查的结果绘制了不完整的条形统计图，其中参与运动的学生占所调查人数的20%， 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次随机抽样中，一共调查了 名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，请你通过计算估计该中学在课余时间参与阅读的学生一共有多少名？ 22. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法） 23. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 24. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图中画平行四边形，使得它与的面积相等，且，在格点上． 25. 如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为． （1）求新坡面的坡角及的长； （2）原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：） 26. 阅读问题： 赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理． （1）小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案： 问题：四边形满足，，，，，求四边形的面积． 解决思路：①如图2，将四个全等的四边形围成一个以为边的正方形，则四边形的形状是__________________（填一种特殊的平行四边形）； ②求得四边形的面积是__________． （2）类比小明的问题解决思路，完成下面的问题： 如图3，四边形满足， ，，，，补全图3，四边形的面积__________． 27. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． （1）求点A、点B的坐标； （2）用含t的代数式分别表示和的长； （3）是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 28. 如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标； （3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2024年中考模拟预测密卷A 数学试题 （本卷共28小题，满分140分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断是否互为相反数，有理数的加法运算等知识点，深刻理解相反数的定义并熟练掌握其判断方法是解题的关键． 按照相反数的判断方法即是否和为零逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是相反数，故选项不符合题意； B. ，互为相反数，故选项符合题意； C. ，不是相反数，故选项不符合题意； D. ，不是相反数，故选项不符合题意； 故选：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】A项，，原计算错误，故本项不符合题意； B项，，计算正确，故本项符合题意； C项，，原计算错误，故本项不符合题意； D项，，原计算错误，故本项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘除运算法则，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 4. 响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 平均数是144 B. 众数是141 C. 中位数是144.5 D. 方差是5.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别计算出结果，然后判断即可． 【详解】解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：，故A选项错误； 众数是：141，故B选项正确； 中位数是：，故C选项错误； 方差是：，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的定义和计算，熟悉相关定义是解题的关键． 5. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断． 【详解】解：5张红桃、4张梅花、3张黑桃共12张牌， 即，梅花、黑桃共7张牌， 从中一次随机抽出8张，红桃这种花色一定能抽到，是必然事件， 故选：D． 6. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 15 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值，即可得出结果． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 的周长为：， 故选：B． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程没有实数根． 【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴，解得：． 10. 若与互为补角，并且的一半比小，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与互为补角，并且的一半比小，然后根据题意列出关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：根据题意得， ①-②得，， 解得， 把代入①得，， 解得． ∴， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查了二元一次方程组在几何中运用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 11. 把多项式分解因式的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 目前，中东呼吸综合征在韩国的爆发引起全球的普遍关注，现知某冠状病毒的直径大约为0.00000006米，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：将0.00000006用科学记数法表示为， 故答案为：． 13. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解． 【详解】解：根据题意，得 该分式方程的增根是， 该分式方程转化为整式方程，得， 把代入，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0． 14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块， ∴它最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象与边OC交于点E，已知E为边OC的中点，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点E作EF垂直于OB于F，则可证明 ，由面积比等于相似比的平方，可得 ， 由反比例函数k值的几何意义可得：，即可求解． 【详解】过点E作EF垂直于OB于F， 的顶点B在x轴的正半轴上，E为边OC的中点 ， ， ， ， ∵E在反比例函数图像上， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，反比例函数k值的几何意义，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方以及反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 16. 已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为________． 【答案】##216度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理及弧长公式，首先根据圆锥的高与母线之比为，设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为，利用勾股定理即可得到圆锥底面半径的长为，然后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长为，再利用弧长公式列出方程，即可求得． 【详解】解：设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为， 圆锥底面半径的长为， ， 解得：， 其侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 17. 如图，的半径，点是上的动点（不与点重合），过点作的切线，且，连接，．当是直角三角形时，其斜边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由切线的性质可得∠OBC=90°，先说明△OBC是等腰直角三角形，进一步说明∠ACO≤45°，然后分∠AOC=90°和∠OAC=90°两种情况分别解答即可． 【详解】解：∵BC是的切线 ∴∠OBC=90° ∵BC=OA ∴CB=BO=OA=3， ∴△OBC是等腰直角三角形 ∴∠BCO=45° ∴∠ACO≤45° ∴①当△AOC是直角三角形时，∠AOC=90°，如图：连接OB ∴OC=OB= ∴； ②当△AOC是直角三角形时，∠OAC=90°，连接OB. ∵BC是的切线 ∴∠CBO=∠OAC=90° ∵BC=OA=OB ∴△AOC等腰直角三角形 ∴OC =． 故填：或． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活应用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 18. 如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解． 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线， ∴BP=CP， ∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE， ∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点， ∴的最大值=6÷2=3． 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质分别计算，再将结果相加即可； （2）先把括号内分式与1通分再计算出来，将除法运算化为乘法运算，再将可以因式分解的分母因式分解，约分即可． 【详解】解：原式 ； 原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式的化简，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式化简的方法． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】； 【解析】 【分析】（1）根据配方法即可求解； （2）先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集； 【详解】（1）解方程：， ， ， ， ∴或， 解得； （2）解， 解不等式①，， ， ， 解不等式②，， ， ， ， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元二次方程与解一元一次不等式组，解题的关键是熟知其解法，对于一元二次方程根据各项的特点确定方法． 21. 某中学要了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生的课余活动情况（每名学生必选且只选一项），并将调查的结果绘制了不完整的条形统计图，其中参与运动的学生占所调查人数的20%， 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次随机抽样中，一共调查了 名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，请你通过计算估计该中学在课余时间参与阅读的学生一共有多少名？ 【答案】（1）100 （2） 补全条形图如下： （3）360名 【解析】 【分析】（1）用运动人数除以运动人数所占百分比即可得到调查总人数； （2）根据题意，求出娱乐部分的人数，补全统计图即可； （3）根据该中学在课余时间参与阅读的学生所占百分比乘以1200即可得解. 【小问1详解】 解：由条形图知，课余活动随机调查中：阅读30名、运动20名、其它10名， 由于参与运动的学生占所调查人数的20%， 所以一共调查的学生数为：20÷20%＝100（名）． 故答案为：100． 【小问2详解】 解：课余活动随机调查中，参与娱乐的学生有：100﹣30﹣20﹣10＝40（名）． 【小问3详解】 解：估计该中学参与阅读的学生有：1200×30%＝360（名）． 答：估计该中学在课余时间参与阅读的学生有360名． 【点睛】本题属于统计图中的综合问题，熟练掌握总体与个体的求解方法是解决本题的关键． 22. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； 【小问2详解】 用树状图分析如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 23. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【答案】（1）甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米 （2）甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可； （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可 【小问1详解】 设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米． 【小问2详解】 设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成， 由题意得：， 解得：， 则（万元）， 答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元； 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 24. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图中画平行四边形，使得它与的面积相等，且，在格点上． 【答案】 （1）如图1，△A′B′C′为所作； （2）如图2，平行四边形ABEF为所作． 【解析】 【分析】（1）连接OA、OB、OC，分别取它们的中点即可； （2）取BC的中点E，把AB平移使B点落在E点，则A点的对应点为F点． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质． 25. 如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为． （1）求新坡面的坡角及的长； （2）原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）， （2） 解：新的设计方案能通过，理由如下： ∵坡面的坡度为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴新的设计方案能通过． 【解析】 【小问1详解】 解：（ 1）如图，过点作，垂足为， ∵新坡面的坡度为 ∴ ∴，即新坡面的坡角为， ∴米 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，理解坡角的概念是解题的关键． 26. 阅读问题： 赵爽根据图1利用面积关系证明了勾股定理． （1）小明在此图的基础上，将四个全等的直角三角形变为四个全等的四边形即可得到以下数学问题的解决方案： 问题：四边形满足，，，，，求四边形的面积． 解决思路：①如图2，将四个全等的四边形围成一个以为边的正方形，则四边形的形状是__________________（填一种特殊的平行四边形）； ②求得四边形的面积是__________． （2）类比小明的问题解决思路，完成下面的问题： 如图3，四边形满足， ，，，，补全图3，四边形的面积__________． 【答案】（1）①正方形；②3 （2）如图所示，将三个全等的四边形围成一个以为边的等边三角形， ， 【解析】 【分析】（1）①首先根据，，得到，然后根据全等三角形的性质得到，以及NM=EM，进而可证得四边形MNFE是正方形； ②首先用正方形ABCD的面积减去正方形MNFE的面积，然后除以4即可得到四边形的面积； （2）将三个全等的四边形围成一个以为边的等边三角形，首先根据， 结合四边形内角和得到，，进而证明出三角形MND是等边三角形，最后利用四边形AMNB的面积=求解即可． 【小问1详解】 ①如图所示， ∵，， ∴， ∵四边形AMED和四边形BNMA全等， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形MNFE是矩形， 又∵四边形AMED和四边形BNMA全等， ∴NM=EM， ∴矩形MNFE是正方形， 故答案为：正方形； ②四边形的面积＝， 故答案为∶3； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵四边形AMDC和四边形BNMA全等， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴三角形MND是等边三角形， 如图，作CE⊥AB交AB于点E， ∵三角形ABC是等边三角形，CE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形AMNB的面积=． 故答案为：． 27. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． （1）求点A、点B的坐标； （2）用含t的代数式分别表示和的长； （3）是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； 【小问3详解】 解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 28. 如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标； （3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）y＝或y＝ 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可． （3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【详解】解：（1）由题意得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2， 由翻折得AB′＝AB＝4， 在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝， ∴点B′的坐标为（1，2）， 设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D， 则：，解得：， ∴直线AG解析式为y＝， ∴D（1，）， ∴B′D＝2﹣， ∴ ＝•B′D•2＋•B′D•（t﹣1） ＝•B′D•（t＋1） ＝（2﹣）（t＋1） ＝（t＋1）﹣（t2﹣2t﹣3） ＝﹣t2＋（2＋）t＋3＋， ∵﹣1＜0， ∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）； （3）取（2）中的点B′，B，连接BB′， ∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°， ∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下： ①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P． ∵△PBQ，△ABB′为等边三角形， ∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°， ∴∠ABQ＝∠B′BP， ∴△ABQ≌△B′BP（SAS）， ∴AQ＝B′P． ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴AQ＝BQ， ∴B′P＝BQ＝BP， 又∵AB′＝AB， ∴AP垂直平分BB′， 由翻折可知AC垂直平分BB′， ∴点C在直线AP上， 设直线AP的函数表达式为y＝k1x＋b1， 则，解得：， ∴直线AP的函数表达式为y＝x＋． ②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方． ∵△PBQ，△ABB′为等边三角形， ∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°． ∴∠ABP＝∠B′BQ， ∴△ABP≌△B′BQ（SAS）， ∴∠BAP＝∠BB′Q， ∵AB′＝BB′，B′H⊥AB， ∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°， ∴∠BAP＝30°， 设AP与y轴相交于点E， 在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝， ∴点E的坐标为（0，﹣）． 设直线AP的函数表达式为y＝mx＋n， 则，解得：， ∴直线AP的函数表达式为y＝． 综上所述，直线AP的函数表达式为y＝或y＝． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $