23.3 方差- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

65 23.3　方　差 1. 设n个数据x1,…,xn 的平均数为x,各个数 据与平均数偏差的平方分别是(x1-x)2, (x2-x)2,…,(xn-x)2.偏差平方的 叫做这组数据的方差,用s2 表示,即 s2= . 2. 当数据分布比较分散时,方差 ;当 数据分布比较集中时,方差 .因此, 方差的大小反映了数据波动(或离散程度) 的大小. 3. 对于同类问题的两组数据,方差 , 数据的波动越大;方差 ,数据的波 动越小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(衡阳中考)某射击运动队进行了5次射 击测试,甲、乙两名选手的测试成绩见下表(单 位:环).甲、乙两名选手成绩的方差分别记为 s2甲 和s2乙,则s2甲 和s2乙 的大小关系是 ( ) 次 序 1 2 3 4 5 甲 5 10 9 3 8 乙 8 6 8 6 7 A. s2甲>s2乙 B. s2甲<s2乙 C. s2甲=s2乙 D. 无法确定 点拨:先确定甲、乙两名选手成绩的平均数,然 后利用方差公式求出甲、乙两名选手成绩的 方差. 解答: 解有所悟:统计量,有方差,数据波动全靠它,一均二 差三方四又均,方差计算要细心. 典例2 甲、乙两名学生参加校运会射击选拔赛, 各射击了5次,成绩如表所示(单位:环).明明 根据他们的成绩计算了甲射击成绩的平均数和 方差:x甲=15× (9+10+8+9+9)=9(环); s2甲=15× [(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2+(9- 9)2+(9-9)2]=0.4(环2). 次 序 1 2 3 4 5 甲 9 10 8 9 9 乙 9 7 10 9 10 (1) 请仿照明明的计算方法,求出乙射击成绩 的平均数和方差; (2) 请从平均数和方差的角度分析谁将被选中 参加校运会射击比赛,并说明理由. 点拨:(1) 根据公式计算平均数和方差.(2) 先 比较平均数,然后比较方差,最后根据平均成绩 和波动大小判断谁将会被选中. 解答: 解有所悟:方差反映一组数据的波动大小,方差越 大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,即 这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数较小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 66 [基础过关] 1. 在方差的计算公式s2=110 [(x1-20)2+ (x2-20)2+…+(x10-20)2]中,数10和20 表示的意义分别是 ( ) A. 数据的个数和平均数 B. 数据的方差和平均数 C. 数据的个数和方差 D. 以上都不对 2. (广州中考)学校举行“书香校园”读书活动, 某小组的五名同学在这次活动中读书的本 数分别为10,11,9,10,12.下列关于这组数 据的描述,正确的是 ( ) A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最 近几次选拔赛成绩的平均数与方差: 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 180 185 185 180 方差/cm2 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发 挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知一组数据x1,x2,x3,x4 的平均数是2, 方差是3,则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3- 2,3x4-2的平均数和方差分别是 ( ) A. 4,3 B. 4,27 C. 6,3 D. 6,27 5. 跳远运动员小李在一次训练中,先跳了6次 的成绩(单位:m)如下:7.6,7.8,7.7,7.8, 8.0,7.9.这6次成绩的平均数为7.8m,方 差为1 60m 2.若小李再跳一次,成绩为7.8m, 则小李这7次跳远成绩与前6次的跳远成绩 相比,其方差 (填“变大”或“变小”). 6. 如图所示为甲、乙两名射击运动员10次射击 训练成绩的折线统计图. (1) 分别计算甲、乙10次射击训练成绩的 方差; (2) 根据(1)中的计算结果,结合折线统计 图,说明方差的大小和数据的波动大小的 关系. 第6题 7. 某校九年级学生开展踢毽子比赛活动,每班 派5名学生参加,按团体总分从高到低排列 名次,在规定时间内每人踢100个以上(含 100个)为优秀.下表是甲班和乙班参加比赛 的5名学生的比赛成绩(单位:个): 1号 2号 3号 4号 5号 总 数 甲 班 87 100 96 120 97 500 乙 班 100 95 110 91 104 500 经统计发现两班踢毽子的总数相等.此时有 学生建议,可以通过考察数据中的其他信息 作为参考.请你回答下列问题: (1) 求两班比赛成绩的中位数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 67 (2) 哪个班5名学生比赛成绩的方差较小? (3) 根据以上信息,你认为应该把冠军奖状 颁发给哪个班? 请说明理由. [综合提升] 答案讲解 8. 如图①②所示分别为5月10日与 11日两天某品牌手机售后维修中 心6位技工师傅维修手机的数量, 则11日与10日相比 ( ) 第8题 A. 平均数、方差都不变 B. 平均数不变,方差变大 C. 平均数不变,方差变小 D. 平均数变大,方差不变 答案讲解 9. 体育老师对亮亮和薇薇两名同学的 立定跳远进行了5次测试(满分为 10分),并把他们的成绩绘制成如 图所示的统计图.根据图中信息,下列说法 中,正确的是 ( ) 第9题 A. 亮亮的跳远成绩比薇薇的跳远成绩稳定 B. 亮亮的成绩越来越好,如果再跳一次,那 么一定还是10分 C. 亮亮的第3次成绩与第2次成绩相比,增 长率超过50% D. 亮亮和薇薇的成绩都在8分上下波动, 两个人的成绩稳定性一样 10. 甲、乙两名同学本学期5次某项测试的成绩 (单位:分)如图所示. (1) 甲、乙两名同学5次测试成绩的平均数 分别是 分、 分; (2) 利用方差判断这两名同学该项测试成 绩的稳定性; (3) 结合数据,请再写出一条与(1)(2)不同 角度的结论. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 25 9. C 解析:∵ 存在唯一众数,且2,3,4,5,6各出现一次, ∴ 众数一定是x.∵ 该组数据的平均数等于众数, ∴ 1 6× (2+3+4+5+6+x)=x,解得x=4. 10. (1) 由题图可知,将客户满意度按从低到高的顺序排 列,排在第10个的是3分,第11个的是4分,∴ 中位数为 1 2× (3+4)=3.5(分).由 题 图 可 得,平 均 数 为 1×1+3×2+6×3+5×4+5×5 20 =3.5 (分).∴ 客户满意 度的平均数和中位数都不低于3.5分.∴ 该部门不需要 整改.(2) 设监督人员抽取的这份问卷的客户满意度为 x分,则有3.5×20+x20+1 >3.55 ,解得x>4.55.∵ 满意度 从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档,∴ 监督人 员抽取的这份问卷的客户满意度为5分.∵ 4<5,∴ 加入 这份问卷,客户满意度按从低到高的顺序排列后,第11个 是4分,即加入这份问卷后,中位数是4分.∴ 与(1)相 比,中位数发生变化. 23.3 方 差 知识梳理 1. 平均数 1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 2. 较大 较小 3. 越大 越小 典例演练 典例1 A 解析:由题意,得甲选手成绩的平均数为 1 5× (5+10+9+3+8)=7(环),乙选手成绩的平均数为 1 5× (8+6+8+6+7)=7(环),则甲选手成绩的方差 s2甲=15× [(5-7)2+(10-7)2+(9-7)2+(3-7)2+ (8-7)2]=6.8(环2),乙选手成绩的方差s2乙=15× [(8- 7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2]= 0.8(环2).∵ 6.8>0.8,∴ s2甲>s2乙. 典例2 (1) x乙=15× (9+7+10+9+10)=9(环); s2乙=15× [(9-9)2×2+(9-7)2+(10-9)2×2]= 1.2(环2).(2) 甲将被选中参加校运会射击比赛.理由:由 题意可知,甲和乙射击成绩的平均数相同.∵ 0.4<1.2, ∴ 甲射击成绩的方差比乙射击成绩的方差小,即比乙发 挥更稳定.∴ 甲将被选中参加校运会射击比赛. 预学训练 [基础过关] 1. A 2. A 3. B 4. B 5. 变小 6. (1) x甲=110× (7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)= 8.5(环),s2甲=110× [2×(7-8.5)2+2×(8-8.5)2+5× (9-8.5)2+(10-8.5)2]=0.85(环2);x乙=110× (8+ 9+7+8+10+7+9+10+7+10)=8.5(环),s2乙=110× [2×(8-8.5)2+2×(9-8.5)2+3×(7-8.5)2+3× (10-8.5)2]=1.45(环2).(2) 由(1)知,甲10次射击训练 成绩的方差为0.85环2,乙10次射击训练成绩的方差为 1.45环2,说明乙10次射击训练成绩的方差大于甲10次 射击训练成绩的方差.观察题图可知,乙10次射击训练成 绩的波动大于甲10次射击训练成绩的波动,∴ 方差越 大,数据的波动越大. 7. (1) 将甲班5名学生的比赛成绩(单位:个)进行排序: 87,96,97,100,120,∴ 甲班比赛成绩的中位数为97个; 将乙班5名学生的比赛成绩(单位:个)进行排序:91,95, 100,104,110,∴ 乙班比赛成绩的中位数为100个.(2) 由 题表可知,甲、乙两班的平均数均为500÷5=100(个), ∴ s2甲=15× [(87-100)2+(96-100)2+(97-100)2+ (100-100)2+(120-100)2]=118.8(个2),s2乙=15× [(91-100)2+(95-100)2+(100-100)2+(104- 100)2+(110-100)2]=44.4(个2).∵ 118.8>44.4, ∴ s2甲 >s2乙.∴ 乙班5名学生比赛成绩的方差较小. (3) 我认为应该把冠军奖状颁发给乙班.理由:两班踢毽 子的总数相等,平均成绩相同,但是乙班5名学生比赛成 绩的中位数比甲班高,说明乙班中间水平好于甲班,且乙 班5名学生比赛成绩的方差比甲班小,说明乙班比赛成绩 较为稳定. [综合提升] 8. B 9. C 解析:从两幅折线图可以直观看出薇薇的跳远成绩 较稳定,故A,D两个选项说法均错误,不符合题意;由于 跳远成绩具有随机性,如果亮亮再跳一次,那么不一定还 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 是10分,故B选项说法错误,不符合题意;亮亮的第3次 成绩与第2次成绩相比,增长率为8-55 =60%>50% ,故 C选项说法正确,符合题意. 10. (1) 80;80.(2) 由题意可知,s2甲=15× [3×(80- 80)2+(70-80)2+(90-80)2]=40(分2),s2乙=15× [(60-80)2+(70-80)2+(90-80)2+(80-80)2+ (100-80)2]=200(分2).∵ s2甲<s2乙,∴ 甲同学该项测试 成绩更加稳定.(3) 答案不唯一,如甲同学的成绩在 70分,80分,90分之间上下波动,而乙的成绩从60分到 100分,总体上呈上升趋势,进步明显. 23.4 用样本估计总体 知识梳理 1. 总体平均数 2. 样本平均数 3. 样本平均数 总体 平均数 4. 稳定 总体 典例演练 典例1 (1) 由题表可知,在这7天时间内,一共用电 1549-1521=28(千瓦时),则这几天的平均用电量为 28÷7=4(千瓦时).(2) 4×30=120(千瓦时),4月份的用 电量为120千瓦时.(3) 0.53×100+0.56×(120- 100)=64.2(元),∴ 红红家4月份的电费是64.2元. 典例2 (1) 􀭺x甲=14× (50+36+40+34)=40(千克), 􀭺x乙=14× (36+40+48+36)=40(千克);估计甲、乙两座 山苹果的产量总和为100×98%×2×40=7840(千 克).(2) s2甲=14× [(50-40)2+(36-40)2+(40- 40)2+(34-40)2]=38(千克2),s2乙=14× [(36-40)2+ (40-40)2+(48-40)2+(36-40)2]=24(千克2). ∵ s2甲>s2乙,∴ 乙山上的苹果产量较稳定. 预学训练 [基础过关] 1. D 2. C 3. 乙 4. 96 5. (1) 未使用节水龙头时20天的日平均用水量为120× (0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45)= 0.35(m3),使用节水龙头时20天的日平均用水量为120× (2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)= 0.22(m3).(2) 365×(0.35-0.22)=47.45(m3),∴ 估计 该家庭使用节水龙头后一年能节省47.45m3水. [综合提升] 6. D 7. B 8. (1) 由题意,得400×24%=96(人),∴ 估计整个B小 区达到“非常了解”的居民人数为96.(2) 由题图可知, A小区随机抽取的50位居民中,普及到位的居民有15+ 10=25(人),∴ 估计整个A小区普及到位的居民人数为 25 50×500=250. (3) ∵ 整个A小区普及到位的居民人数 约占A小区总人数的(15+10)÷50×100%=50%,整个 B小区普及到位的居民人数约占B小区总人数的32%+ 24%=56%,且50%<56%,∴ B小区垃圾分类的普及工 作更出色. 第二十三章预学检测 一、 1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C 9. B 解析:由题意可知,一共有50人,13岁的有5人, 14岁的有23人,因此将他们的年龄按从小到大的顺序排 列后,排在第25,26个的都是14岁.∴ 中位数是14岁, 不会受15岁、16岁人数的影响.∵ 14岁的有23人,13岁 的有5人,∴ 15岁、16岁的共有50-23-5=22(人). ∵ 23>22>5,∴ 众数是14岁. 10. A 解析:甲比赛成绩的平均数是15× (45+63+ 55+52+60)=55(秒),乙比赛成绩的平均数是15× (51+53+58+56+57)=55(秒),∴ 甲、乙两名运动员 5次比赛成绩的平均数相等,故A选项正确;把甲的5次 比赛成绩(单位:秒)按从小到大的顺序排列为45,52,55, 60,63,则中位数是55秒,把乙的5次比赛成绩(单位: 秒)按从小到大的顺序排列为51,53,56,57,58,则中位数 是56秒,∴ 甲、乙两名运动员5次比赛成绩的中位数不 相等,故B选项错误;由题图易知,甲、乙两名运动员5次 比赛成绩的众数不相等,故C选项错误;甲比赛成绩的方 差是1 5× [(45-55)2+(63-55)2+(55-55)2+(52- 55)2+(60-55)2]=39.6(秒2),乙比赛成绩的方差是 1 5× [(51-55)2+(53-55)2+(58-55)2+(56-55)2+ (57-55)2]=6.8(秒2),∴ 甲、乙两名运动员5次比赛成 绩的方差不相等,故D选项错误. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈