23.2 中位数和众数- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

62 23.2　中位数和众数 1. 一般地,将n个数据按大小顺序排列,如果n 为奇数,那么把处于 位置的数据叫 做这组数据的中位数;如果n 为偶数,那么 把处于中间位置的两个数据的 叫 做这组数据的中位数. 2. 一般地,把一组数据中出现次数 的 那个数据叫做众数.一组数据的众数可能不 止一个,也可能没有众数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(1) 数据3,4,6,6,5的中位数是 ( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 (2) 6名同学某次数学模拟测验的成绩(单位: 分)分别是125,130,132,130,140,145,则这组 数据的中位数是 ( ) A. 130 B. 132 C. 131 D. 140 点拨:求一组数据的中位数,先确定数据个数, 然后根据中位数的定义确定中位数. 解答: 解有所悟:求中位数并不难,一排二找三确定.奇数 个,最中央,偶数个,中间两数平均值. 典例2(营口中考)某班35名同学一周课外阅 读时间统计如下表所示: 时间/h 7 8 9 10 人 数 4 12 13 6 该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 h. 点拨:明确众数的定义,一组数据中出现次数最 多的数据,为这组数据的众数. 解答: 解有所悟:求一组数据的众数,可以采用观察法;当 不易观察时,可以借助表格形式把各数据出现的次 数全部统计出来,由此即可得出众数. 典例3 某工厂车间共有10名工人,车间主任调 查了每名工人的日均生产能力,并将调查所得 数据绘制成如图所示的统计图. (1) 求这10名工人的日均生产件数的平均数、 众数、中位数; (2) 要使60%的工人都能完成任务,应选什么 统计量(平均数、中位数、众数)作为日均生产件 数的定额? 典例3图 点拨:计算数据的“三数”,然后结合各自特征确 定所选择的量. 解答: 解有所悟:选择合适的统计量作为一组数据的代表 值时,一定要注意各个量的特征,根据各自的特征决 定.平均数代表一般水平,但受极端值影响;中位数 代表中等水平,考虑数据少;众数代表集中趋势. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 63 [基础过关] 1. 在一次体育测试中,小芳所在小组8人的仰 卧起坐成绩(单位:个)分别是46,47,48,48, 50,49,49,49.这8人的仰卧起坐成绩的中 位数、众数分别是 ( ) A. 47个,49个 B. 48个,50个 C. 48.5个,49个 D. 49个,48个 2. 某中学开展“读书节活动”,该中学某语文老 师随机抽样调查了本班10名学生平均每周 的课外阅读时间,统计如下表所示: 平均每周课外 阅读时间/h 2 4 6 8 人 数 2 3 4 1 下列说法中,错误的是 ( ) A. 众数是1h B. 平均数是4.8h C. 样本容量是10 D. 中位数是5h 3. 某公司员工的月工资情况如下表所示,嘉 嘉、淇淇的观点如图所示,则下列判断中,正 确的是 ( ) 职 务 经 理 副经理 基层员工 人 数 1 1 8 月工资/元 12000 8000 4000 嘉嘉的观点:平均数是 数据的代表值,应该用 平均数描述该公司员 工月工资的集中趋势. 淇淇的观点:众数是出 现次数最多的数据,应 该用众数描述该公司员 工月工资的集中趋势. 第3题 A. 嘉嘉的观点更合理 B. 淇淇的观点更合理 C. 两人的观点都合理 D. 两人的观点都不合理 4. 某班体育委员记录了第一小组七名同学定 点投篮(每人投10个)的情况,投篮进筐的 个数分别为6,10,5,3,4,8,4.后来发现,第 一名同学投篮进筐的个数统计错误,比实际 个数要多.与实际比较,这组数据的平均数 和中位数变化情况分别是 ( ) A. 变大,不变 B. 变大,变小 C. 变大,变大或不变 D. 变小,变小 5. ★在一次中学生田径运动会上,参加男子跳 高的15名运动员的成绩如图所示,则这些 运动员成绩的中位数为 cm. 第5题 6. ★某校组织九年级(一)班和九年级(二)班学 生进行了心理健康常识测试,已知两个班的 学生人数相同,根据测试成绩绘制了如图所 示的统计图和如下统计表. 第6题 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 九年级(一)班 8 8 c 九年级(二)班 a b 8 (1) 写出表格中a,b,c的值:a= , b= ,c= ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 (2) 根据表中的各种统计量,说明哪个班的 成绩更突出一些. 7. 某校为了解九年级学生1分钟跳绳情况,随 机抽取20名九年级学生进行1分钟跳绳测 试,成绩(单位:次)如下: 100 110 114 114 120 122 122 131 144 148 152 155 156 165 165 165 165 174 188 190 对这组成绩进行整理和分析,结果如下: 平均数/次 众数/次 中位数/次 145 a b 请根据以上信息解答下列问题: (1) 填空:a= ,b= ; (2) 学校规定1分钟跳绳165次及以上为优 秀,请你估计九年级240名学生中有多少名 学生能达到优秀; (3) 某学生1分钟跳绳152次,请推测该学 生的1分钟跳绳次数是否超过九年级一半 的学生,并说明理由. [综合提升] 8. (河北中考)五名同学捐书本数分别是5,3, 6,5,10,捐10本的同学后来又追加了10本. 追加后的5个数据与之前的5个数据相比, 相同的是 ( ) A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 9. 若数据2,3,4,5,6,x存在唯一众数,且该组 数据的平均数等于众数,则x的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 10. (河北中考)某公司为提高服务质 量,对其某个部门开展了客户满意 度问卷调查,客户满意度以分数呈 现,满意度从低到高为1分,2分,3分, 4分,5分,共5档.公司规定:若客户满意 度的平均数或中位数低于3.5分,则该部 门需要对服务质量进行整改.工作人员从 收回的问卷中随机抽取了20份,如图所示 为根据这20份问卷中的客户满意度绘制 的统计图. (1) 求客户满意度的中位数、平均数,并判 断该部门是否需要整改. (2) 监督人员从余下的问卷中又随机抽取 了1份,与之前的20份合在一起,重新计算 后,发现客户满意度的平均数大于3.55分,则 监督人员抽取的这份问卷的客户满意度为 几分? 与(1)相比,中位数是否发生变化? 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 24 为80× 11+1+3+87× 1 1+1+3+82× 3 1+1+3= 82.6(分),乙 的 综 合 成 绩 为 80× 11+1+3+96× 1 1+1+3+76× 3 1+1+3=80.8 (分).∵ 82.6>80.8, ∴ 应该录取甲. [综合提升] 8. C 9. (1) 16 (2) 18 10. (1) 由题意可知,1 4× (106+102+114+110)= 108(分),∴ 该员工本年度各季度平时表现的平均成绩为 108分.(2) 由题意,得108×10%+110×20%+107× 70%=107.7(分),∴ 该员工本年度的综合考核成绩为 107.7分. 11. (1) 由题图①,得甲三项测试成绩之和为9+5+9= 23(分),乙三项测试成绩之和为8+9+5=22(分). ∵ 23>22,∴ 甲会被录用.(2) 由题意,得甲的综合成绩 为9×120360+5× 360-120-60 360 +9× 60 360=7 (分),乙的综 合成绩为8×120360+9× 360-120-60 360 +5× 60 360=8 (分). ∵ 7<8,∴ 乙会被录用.∴ 会改变(1)中的录用结果. 23.2 中位数和众数 知识梳理 1. 中间 平均数 2. 最多 典例演练 典例1 (1) B 解析:这组数据按从小到大的顺序排列 为3,4,5,6,6,处在中间位置的一个数是5,因此中位数 是5. (2) C 解析:这组数据按从小到大的顺序排列为125, 130,130,132,140,145,处在中间位置的两个数是130, 132,因此中位数是12× (130+132)=131. 典例2 9 解析:在该班35名同学一周课外阅读时间 中,9h出现的次数最多,∴ 众数是9h. 典例3 (1) 由题图,得这10名工人的日均生产件数的平 均数为1 10× (8×3+10×1+12×2+13×4)=11. ∵ 13出现了4次,出现的次数最多,∴ 这10名工人的日 均生产件数的众数是13.这10名工人的日均生产件数按 从小到大的顺序排列为8,8,8,10,12,12,13,13,13,13, 处在中间位置的两个数据是12和12,∴ 这10名工人的 日均生产件数的中位数是12+12 2 =12. (2) 10×60%=6, 故要使60%的工人都能完成任务,应选中位数或平均数 作为日均生产件数的定额. 预学训练 [基础过关] 1. C 2. A 3. B 4. C 5. 165 确定中位数时,忽略数据排序和频数作用而致错 没有按大小顺序排列的一组数据,不能简单地将 中间的数作为中位数;出现频数时,注意要将所有数据 排序,不能忽略频数. 6. (1) 8;9;8. 解析:由题意得,两个班的学生人数均为 5+10+19+12+4=50,九年级(二)班得10分的人数为 50×(1-14%-24%-22%-28%)=6,∴ 九年级 (二)班测试成绩的平均数是1 50× (6×10+50×28%× 9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×6)=8(分), 即a=8.九年级(二)班得9分的占比最大,即出现的次数 最多,∴ 九年级(二)班测试成绩的众数是9分,即b= 9.把九年级(一)班的测试成绩按从低到高的顺序排列,中 位数是第25,26个数的平均数,则九年级(一)班测试成绩 的中位数是8+8 2 =8 (分),即c=8. (2) 根据题表可知,两个班的平均数与中位数相等,但九 年级(二)班的众数比九年级(一)班的众数大,∴ 九年级 (二)班的成绩更突出一些. 根据统计图求中位数和众数的技巧 1. 条形统计图中频数最大的数据是众数,要计算 总体数据个数,然后确定中位数. 2. 根据扇形统计图可以直观得出众数,同时可以 确定中位数的大致范围. 7. (1) 165;150.(2) 根据题意,得240×720=84 (名), ∴ 估计九年级240名学生中有84名学生能达到优秀. (3) 超过九年级一半的学生.理由:∵ 152>150,∴ 推测 该学生的1分钟跳绳次数超过九年级一半的学生. [综合提升] 8. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 9. C 解析:∵ 存在唯一众数,且2,3,4,5,6各出现一次, ∴ 众数一定是x.∵ 该组数据的平均数等于众数, ∴ 1 6× (2+3+4+5+6+x)=x,解得x=4. 10. (1) 由题图可知,将客户满意度按从低到高的顺序排 列,排在第10个的是3分,第11个的是4分,∴ 中位数为 1 2× (3+4)=3.5(分).由 题 图 可 得,平 均 数 为 1×1+3×2+6×3+5×4+5×5 20 =3.5 (分).∴ 客户满意 度的平均数和中位数都不低于3.5分.∴ 该部门不需要 整改.(2) 设监督人员抽取的这份问卷的客户满意度为 x分,则有3.5×20+x20+1 >3.55 ,解得x>4.55.∵ 满意度 从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档,∴ 监督人 员抽取的这份问卷的客户满意度为5分.∵ 4<5,∴ 加入 这份问卷,客户满意度按从低到高的顺序排列后,第11个 是4分,即加入这份问卷后,中位数是4分.∴ 与(1)相 比,中位数发生变化. 23.3 方 差 知识梳理 1. 平均数 1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 2. 较大 较小 3. 越大 越小 典例演练 典例1 A 解析:由题意,得甲选手成绩的平均数为 1 5× (5+10+9+3+8)=7(环),乙选手成绩的平均数为 1 5× (8+6+8+6+7)=7(环),则甲选手成绩的方差 s2甲=15× [(5-7)2+(10-7)2+(9-7)2+(3-7)2+ (8-7)2]=6.8(环2),乙选手成绩的方差s2乙=15× [(8- 7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2]= 0.8(环2).∵ 6.8>0.8,∴ s2甲>s2乙. 典例2 (1) x乙=15× (9+7+10+9+10)=9(环); s2乙=15× [(9-9)2×2+(9-7)2+(10-9)2×2]= 1.2(环2).(2) 甲将被选中参加校运会射击比赛.理由:由 题意可知,甲和乙射击成绩的平均数相同.∵ 0.4<1.2, ∴ 甲射击成绩的方差比乙射击成绩的方差小,即比乙发 挥更稳定.∴ 甲将被选中参加校运会射击比赛. 预学训练 [基础过关] 1. A 2. A 3. B 4. B 5. 变小 6. (1) x甲=110× (7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)= 8.5(环),s2甲=110× [2×(7-8.5)2+2×(8-8.5)2+5× (9-8.5)2+(10-8.5)2]=0.85(环2);x乙=110× (8+ 9+7+8+10+7+9+10+7+10)=8.5(环),s2乙=110× [2×(8-8.5)2+2×(9-8.5)2+3×(7-8.5)2+3× (10-8.5)2]=1.45(环2).(2) 由(1)知,甲10次射击训练 成绩的方差为0.85环2,乙10次射击训练成绩的方差为 1.45环2,说明乙10次射击训练成绩的方差大于甲10次 射击训练成绩的方差.观察题图可知,乙10次射击训练成 绩的波动大于甲10次射击训练成绩的波动,∴ 方差越 大,数据的波动越大. 7. (1) 将甲班5名学生的比赛成绩(单位:个)进行排序: 87,96,97,100,120,∴ 甲班比赛成绩的中位数为97个; 将乙班5名学生的比赛成绩(单位:个)进行排序:91,95, 100,104,110,∴ 乙班比赛成绩的中位数为100个.(2) 由 题表可知,甲、乙两班的平均数均为500÷5=100(个), ∴ s2甲=15× [(87-100)2+(96-100)2+(97-100)2+ (100-100)2+(120-100)2]=118.8(个2),s2乙=15× [(91-100)2+(95-100)2+(100-100)2+(104- 100)2+(110-100)2]=44.4(个2).∵ 118.8>44.4, ∴ s2甲 >s2乙.∴ 乙班5名学生比赛成绩的方差较小. (3) 我认为应该把冠军奖状颁发给乙班.理由:两班踢毽 子的总数相等,平均成绩相同,但是乙班5名学生比赛成 绩的中位数比甲班高,说明乙班中间水平好于甲班,且乙 班5名学生比赛成绩的方差比甲班小,说明乙班比赛成绩 较为稳定. [综合提升] 8. B 9. C 解析:从两幅折线图可以直观看出薇薇的跳远成绩 较稳定,故A,D两个选项说法均错误,不符合题意;由于 跳远成绩具有随机性,如果亮亮再跳一次,那么不一定还 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈