专题七 乘法公式的综合应用- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

47 专题七　乘法公式的综合应用 乘法公式在整式运算中非常重要,我们除了要熟悉公式的基本特征,还要掌握其基本应用并 能通过整体变形,巧用公式来计算或探索规律,解决这类问题的关键是紧扣平方差公式和完全平 方公式,灵活对其进行变形与应用. 类型一 利用乘法公式进行简便计算 1. 计算: (1) 60160 2 ; (2) 9.82; (3) 397×403+9; (4) 2532-2472 1002 . 2. 由完全平方公式,可知32+2×3×5+52= (3+5)2=64,用这一方法计算:1.23452+ 2.469×0.7655+0.76552. 类型二 利用乘法公式的变形式巧求式子的值 3. 我们知道完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+ b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两式相加,得 (a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2,即a2+b2= 1 2 [(a+b)2+(a-b)2];两式相减,得(a+b)2- (a-b)2=4ab,即ab=14 [(a+b)2-(a-b)2]. 请根据上述内容完成下面的题目. 已知(x+y)2=6,(x-y)2=2,求: (1) x2+y2的值; (2) xy的值. 4. 阅读下面的解题思路. 已知x≠0,且满足x2-3x=1,求x2+1x2 的值. 解:∵ x2-3x=1,∴ x2-3x-1=0. 又∵ x≠0,∴ x-3-1x=0 ,即x-1x=3. ∴ x2+1x2=x- 1 x 2 +2=32+2=11. 请根据上述解题思路完成下面的题目. 若a2-5a-1=0,且a≠0,求a2+1a2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 类型三 利用公式探索规律 5. 计算:(6+1)×(62+1)×(64+1)×(68+1). 6. 观察下列各式,并找规律回答下面的问题. 第1个:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 第2个:22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 第3个:32+(3×4)2+42=(3×4+1)2; … 写出第n个式子,并说明理由. 类型四 乘法公式与几何图形的结合 7. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的 正方形(如图①),然后将剩余部分剪开,拼 成一个长方形(如图②). (1) 拼成的长方形的面积是 . (写成多项式乘法的形式) (2) 比较图①②中涂色部分的面积,可以得 到乘法公式 .(用含a,b 的代数式表示) (3) 运用你所得到的公式,计算下面各题: ① 10.3×9.7; ② (2m+n-p)(2m-n+p). 第7题 8. (河北中考)现有甲、乙、丙三种长方形卡片 各若干张,卡片的边长如图①所示(a>1). 某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形 (不重叠且无缝隙,如图②③),其面积分别 为S1,S2. (1) 请用含a的代数式分别表示S1,S2,当 a=2时,求S1+S2的值; (2) 比较S1与S2的大小,并说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 49 答案讲解 9. 如图①,有边长为a和b的两个正 方形,涂色部分的面积记作S1;如 图②,有两个边长均为b的正方形 和一个边长为a的正方形,涂色部分的面积 记作S2;如图③,有边长为a和b的两个正 方形,涂色部分的面积记作S3. (1) 用含a,b的代数式分别表示S1,S2; (2) 若a+b=10,ab=22,求S1+S2的值; (3) 当S1+S2=32时,求图③中涂色部分的 面积S3. 第9题 类型五 逆用乘法公式 10. 逆用乘法公式可以简化一些运算,或进行 说理,请你充分利用完全平方公式或平方 差公式,解决下面的问题。 (1) 若一个正整数能表示为两个连续的奇 数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下 列正整数中,能称为“好数”的是 ( ) A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 (2) 计算:1002-992+982-972+…+42- 32+22-12. 11. 阅读材料: 若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n 的值. 解:∵ m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴ (m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0. ∴ (m-n)2+(n-4)2=0. ∵ (m-n)2≥0,(n-4)2≥0, ∴ (m-n)2=0,(n-4)2=0. ∴ n=4,m=4. 根据上述材料,回答下面的问题: (1) 已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+ y的值; (2) 已知△ABC 的三边长a,b,c都是正整 数,且满足a2+b2-12a-16b+100=0,求 △ABC 的最大边长c的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 16 CD∥EF.∴ ∠3=∠1,∠4=∠2.∴ ∠3+∠4=∠1+ ∠2,即∠BED=∠1+∠2.(2) ∠1+∠EGH=∠2+ ∠BEG.理由:如图②,分别过点E,G 作EM∥AB,GN∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥EM∥GN∥CD.∴ ∠1=∠3, ∠4=∠5,∠6=∠2,∴ ∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+ ∠2,即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG.(3) ∠1+∠3+ ∠5=∠2+∠4+∠6. 第6题 7. B 解析:如图,∵ a∥b,∴ ∠4=∠1=x°.∴ ∠5= 180°-∠4=(180-x)°.∵ ∠2=∠3+∠5,∴ y=z+ (180-x),即x+y-z=180. 第7题 8. 如图,过点E 作EG∥AB.∵ AB∥CD,∴ EG∥CD. ∵ EC⊥CD,∴ ∠ECD=90°.∴ ∠GEC=∠ECD= 90°.∵ ∠BEC=30°,∴ ∠GEB=90°-30°=60°.∵ EG∥ AB,∴ ∠ABE=180°-∠GEB=120°. 第8题 9. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.∵ AB∥CD,∴ CD∥ EF.∴ ∠ABE = ∠BEF,∠ECD + ∠CEF =180°. ∵ ∠CEF = ∠BEF - ∠BEC = ∠ABE - ∠BEC, ∴ ∠ABE+∠ECD-∠BEC=180°.(2) ① ∵ BF∥CE, ∴ ∠FBE=∠BEC=26°.∵ BF 平分∠ABE,∴ ∠FBE= ∠ABF=26°,∠ABE=2∠FBE=52°.由(1),得∠ECD= 180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+26°=154°.∵ CG 平分∠ECD,∴ ∠DCG=12∠ECD=77°. 如图②,过 点F 作FN∥AB,则∠BFN=∠ABF=26°.∵ AB∥CD, ∴ FN∥CD.∴ ∠NFC=∠DCG=77°.∴ ∠BFC= ∠BFN+∠NFC=103°.② ∵ BF 平分∠ABE,CG 平分 ∠DCE,∴ 设 ∠ABF = ∠FBE = 12 ∠ABE =x , ∠ECG=∠DCG= 1 2∠DCE=y. 由(1),可知∠ABE+ ∠ECD-∠BEC=180°,∴ 2x+2y-∠BEC=180°.由 ①,可知∠BFC=∠ABF+∠DCG.∴ ∠BFC=x+ y.∵ ∠BFC-∠BEC=74°,∴ x+y=74°+∠BEC. ∴ 2x+2y-∠BEC=2(74°+∠BEC)-∠BEC=180°, 解得∠BEC=32°. 第9题 “臭脚”模型 常见解法是过模型中的“脚”作平行线,通过平行 线的性质得到几组平行线,如图. 或 专题七　乘法公式的综合应用 1. (1) 60160 2 = 60+160 2 =602+2×60× 160+ 1 60 2 =3600+2+ 13600=3602 1 3600. (2) 9.82=(10- 0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04= 96.04.(3) 397×403+9=(400-3)×(400+3)+9= 4002-32+9=160000-9+9=160000.(4) 2532-2472 1002 = (253+247)×(253-247) 10000 =300010000 =310. 2. 1.23452+2.469×0.7655+0.76552=1.23452+2× 1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2= 22=4. 3. (1) x2+y2= 1 2 [(x+y)2+(x-y)2]= 1 2× (6+ 2)=4.(2) xy= 1 4 [(x+y)2-(x-y)2]= 1 4× (6- 2)=1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 4. ∵ a2-5a-1=0,且a≠0,∴ a-5-1a=0 ,即a- 1 a=5.∴ a2+1a2= a- 1 a 2 +2=52+2=27. 5. 原式=15× (6-1)×(6+1)×(62+1)×(64+1)× (68+1)=15× (62-1)×(62+1)×(64+1)×(68+1)= 1 5× (64-1)×(64+1)×(68+1)=15× (68-1)×(68+ 1)=15× (616-1)=6 16-1 5 . 6. n2+ n(n+1) 2+(n+1)2= n(n+1)+1 2.理由: n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=n2+(n2+n)2+n2+2n+ 1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+ 2n+1.[n(n+1)+1]2=(n2+n)2+2(n2+n)+1=n4+ 2n3+3n2+2n+1.∴ 等式成立. 7. (1) (a+b)(a-b).(2) (a+b)(a-b)=a2-b2. (3) ① 原式=(10+0.3)×(10-0.3)=102-0.32= 100-0.09=99.91.② 原式=[2m+(n-p)]·[2m- (n-p)]=(2m)2-(n-p)2=4m2-n2+2np-p2. 8. (1) 由题图①②,得S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+ 2.由题图①③,得S2=(5a+1)×1=5a+1.∴ S1+S2= a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3.当a=2时,S1+S2= 4+16+3=23.(2) S1>S2.理由:∵ S1-S2=(a2+ 3a+2)-(5a+1)=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1= (a-1)2,且a>1,∴ (a-1)2>0.∴ S1-S2>0,即 S1>S2. 9. (1) 题图①中,涂色部分的面积可以看作两个正方形 的面积差,即S1=a2-b2;题图②中,涂色部分的面积为 2个边长为b的正方形的面积减去一个长为a、宽为b的 长方形的面积,即S2=2b2-ab.(2) ∵ a+b=10,ab= 22,∴ S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=(a+ b)2-3ab=100-66=34.(3) 题图③中,涂色部分的面积 S3=a2+b2- 1 2a 2-12b (a+b)=12a 2+12b 2- 1 2ab= 1 2 (a2+b2-ab).∵ S1+S2=32,即a2+b2- ab=32,∴ S3= 1 2×32=16. 10. (1) D 解析:设较小的奇数为2n-1,则较大的奇数 为2n+1(n 是大于0的自然数).由平方差公式,可得 (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+ 1)=4n×2=8n.由此,可知两个连续的奇数构造的“好 数”是8的倍数.∵ 205,250,502都不能被8整除,而 520能够被8整除,∴ 能称为“好数”的是520. (2) ∵ 1002-992=(100+99)×(100-99)=(100+ 99)×1=100+99,982-972=(98+97)×(98-97)= (98+97)×1=98+97……22-12=(2+1)×(2-1)= (2+1)×1=2+1,∴ 原式=100+99+98+97+…+4+ 3+2+1=5050. 11. (1) ∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0,∴ (x2+2xy+ y2)+(y2+2y+1)=0,即(x+y)2+(y+1)2=0. ∵ (x+y)2≥0,(y+1)2≥0,∴ (x+y)2=0,(y+1)2= 0.∴ y=-1,x=1.∴ 2x+y=2-1=1.(2) ∵ a2+b2- 12a-16b+100=0,∴ (a2-12a+36)+(b2-16b+ 64)=0,即(a-6)2+(b-8)2=0.∵ (a-6)2≥0,(b- 8)2≥0,∴ (a-6)2=0,(b-8)2=0.∴ a=6,b=8. ∴ 8-6<c<8+6,即2<c<14.又∵ c≥8,且c为正整 数,∴ 8≤c<14,且c为整数.∴ △ABC的最大边长 c的 值可能是8,9,10,11,12,13. 专题八　三角形的内角平分线 与外角平分线 1. (1) 如 图 ①,∵ 在 △ABC 中,∠A + ∠ABC+ ∠ACB=180°,且∠A=80°,∴ ∠ABC+ ∠ACB= 100°.∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,∴ ∠1= 1 2∠ABC ,∠2=12∠ACB.∴ ∠1+∠2=12 (∠ABC+ ∠ACB)=12×100°=50°.∴ ∠BPC=180°-(∠1+ ∠2)=180°-50°=130°.(2) 如图②,由(1),知∠BPC= 180°-(∠1+∠2).∵ ∠1+∠2=12 (180°-∠A)= 90°-12∠A ,∴ ∠BPC=180°- 90°-12∠A =90°+ 1 2∠A.∴ ∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°- 90°+12∠A =90°-12∠A.(3) 不成立.∠MPB- ∠NPC=90°-12∠A. 理由:由(2),知∠BPC=90°+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈