专题六 与平行线有关的计算或辅助线的添加- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

44 专题六　与平行线有关的计算或辅助线的添加 利用平行线的性质求角度是常考的题型,但是通常会遇到有平行线,找不到相应的“截线”的 情况,即对于平行线的性质在解题过程中无法直接运用的题型,此时需要我们添加适当的辅助 线,构造出“三线八角”模型,常见的模型有“铅笔头”型、“猪蹄”型、“锯齿” 型 、“臭脚”型等. 类型一 “铅笔头”模型 1. ★某学习小组得出结论:已知直线a∥b,若直 线c∥a,则c∥b.请你利用这个结论解决以 下问题:已知直线AB∥CD,点E 在AB,CD 之间,点P,Q 分别在直线AB,CD 上,连接 PE,EQ. (1) 如图①,过点E 作EH∥AB,利用上述 结论,探究∠PEQ,∠APE,∠CQE 之间的 数量关系,并说明理由; (2) 如图②,类比(1)中的方法,利用上述结 论,探究∠PEQ,∠APE,∠CQE 之间的数 量关系,并说明理由; (3) 如 图 ③,PF 平 分 ∠BPE,QF 平 分 ∠EQD,若 ∠PEQ =140°,求 ∠PFQ 的 度数. 第1题 2. 如图,AB∥CD,FE⊥AB 于点E,点G 在直 线CD 上,且位于直线EF 的右侧. (1) 若∠EFG =120°,则 ∠FGC 的 度 数 为 ; (2) 若∠AEH=∠FGH=20°,∠H=50°, 求∠EFG 的度数. 第2题 类型二 “猪蹄”模型 答案讲解 3. 如图,AB∥DF,DE 和AC 分别平 分∠CDF 和∠BAE,若∠DEA= 46°,∠ACD=56°,则∠CDF 的度 数为 ( ) 第3题 A. 42° B. 43° C. 44° D. 45° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 45 4. 如图,直线l1∥l2,A,B 分别是l1,l2 上的 点,l3 和l1,l2 分别交于点C,D,P 是线段 CD 上的动点.(点P 不与点C,D 重合) (1) 若 ∠1=150°,∠2=45°,则 ∠3= °; (2) 若∠1=α,∠2=β,则∠APC+∠BPD= .(用含α,β的代数式表示) 第4题 5. 如图①,直线AB∥CD,点E,F 分别在直线 AB,CD 上. (1) 若 ∠1=50°,∠2=30°,则 ∠P = °; (2) 探究图①中∠1,∠2,∠P 之间的数量关 系,并说明理由; (3) 如图②,若∠1+∠2=35°,∠EPG= 75°,求∠PGF 的度数. 第5题 类型三 “锯齿” 模型 6. (1) 如图①,AB∥CD,试说明:∠BED= ∠1+∠2; (2) 如图②,AB∥CD,写出∠1,∠EGH, ∠2,∠BEG 之间的数量关系,并说明理由; (3) 如图③,AB∥CD,直接写出∠1,∠3, ∠5与∠2,∠4,∠6之间的数量关系. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 类型四 “臭脚”模型 7. 如图,直线a∥b,∠1=x°,∠2=y°,∠3=z°, 那么下列代数式值为180的是 ( ) 第7题 A. x+y+z B. x+y-z C. y+z-x D. x-y+z 8. 如 图,AB∥CD,EC⊥CD 于 点 C,若 ∠BEC=30°,求∠ABE 的度数。 第8题 9. ★已知 AB∥CD. (1) 如图①,试说明:∠ABE+∠ECD- ∠BEC=180°. (2) 如图②,∠DCE 的平分线CG 的反向延 长线交∠ABE 的平分线BF 于点F. ① 若BF∥CE,∠BEC=26°,求∠BFC 的 度数; ② 若∠BFC-∠BEC=74°,求∠BEC 的 度数. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 14 4天,乙工程队清理了6天. 5. 设甲工程队原计划平均每个月修建xkm,乙工程队原 计 划 平 均 每 个 月 修 建 y km.根 据 题 意,得 150=30(x+y), 150=(30-5)[(1+50%)x+y], 解得 x=2, y=3. ∴ 甲工程 队原计划平均每个月修建2km,乙工程队原计划平均 每个月修建3km. 6. (1) 设该商场第1次购进A商品x件,B商品y件.根 据题意,得 1200x+1000y=390000, (1350-1200)x+(1200-1000)y=60000, 解得 x=200, y=150. ∴ 该商场第1次购进A商品200件,B商 品150件.(2) 设B商品应该打m 折出售.根据题意,得 (1350-1200)×200+ 1200×m10-1000 ×150×2= 36000,解得m=8.5.∴ B商品应该打八五折出售. 7. (1) 设A款羽绒服每件的进价是x 元,B款羽绒服每 件的进价是y 元.根据题意,得 3x+4y=2400, 2x+2y=1400, 解得 x=400, y=300. ∴ A款羽绒服每件的进价是400元,B款羽绒 服每件的进价是300元.(2) 设打折销售的羽绒服有 m 件,则按原价销售的羽绒服有(1000×2-m)件.根据 题意,得600(1000×2-m)+600×60%m-(400+ 300)×1000≥380000,解得m≤500.∴ m 的最大值是 500,即打折销售的羽绒服最多有500件. 8. (1) 设调配x名工人加工轴杆,y名工人加工轴承.根 据题意,得 x+y=90, 2×12x=16y, 解得 x=36, y=54. ∴ 调配36名工 人加工轴杆,54名工人加工轴承,才能使每天生产的轴承 和轴杆正好配套.(2) 设抽调来的12名工人中,a名工人 加 工 轴 杆,b 名 工 人 加 工 轴 承.根 据 题 意,得 a+b=12, 2×12a=16b, 解得 a=4.8 , b=7.2. ∵ a,b 的值不是整数, ∴ 不能安排这12名工人加工轴杆、轴承,使每天生产的 轴承和轴杆正好配套. 9. (1) 设满员时每辆小客车能载x 名志愿者,每辆大客 车能载y 名志愿者.根据题意,得 3x+y=105, x+2y=110, 解得 x=20, y=45. ∴ 满员时每辆小客车能载20名志愿者,每辆大 客车能载45名志愿者.(2) ① 根据题意,得20m+45n= 400,∴ m=20-94n.∵ m,n均为正整数,∴ m=11, n=4 或 m=2, n=8. ∴ 共有2种租车方案,即方案1:租用11辆小客 车,4辆大客车;方案2:租用2辆小客车,8辆大客车. ② 选择方案1所需总租金为1000×11+1900×4= 18600(元);选择方案2所需总租金为1000×2+1900× 8=17200(元).∵ 18600>17200,∴ 选择方案2.综上所 述,租用2辆小客车,8辆大客车最省钱,最少的租金是 17200元. 10. (1) -16;2.(2) -10;14.当点P 追上点Q 时,点P 与点Q 表示的数相同,∴ -16+3t=2+t,解得t=9. ∴ -16+3t=-16+27=11.∴ 此时点P 表示的数为 11.综上所述,当t=9时,点P 追上点Q,此时点P 表示 的数为11.(3) 当点Q 停止运动时,t=2×2÷1=4.分 四种情况:① 当PB=3PA 时,18-3t=3×3t,解得t= 1.5;② 当PA=3PB 时,3t=3(18-3t),解得t=4.5(不 符合题意,舍去);③ 当AB=3PA 时,18=3×3t,解得 t=2;④ 当AB=3PB 时,18=3(18-3t),解得t=4.综上 所述,当t的值为1.5,2或4时,PA,PB,AB 三条线段 中,有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍. 专题六　与平行线有关的计算 或辅助线的添加 1. (1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE.理由:∵ AB∥CD, EH∥AB,∴ AB∥EH∥CD.∴ ∠APE=∠PEH, ∠CQE= ∠QEH.∵ ∠PEQ = ∠PEH + ∠QEH, ∴ ∠PEQ=∠APE+∠CQE.(2) ∠APE+∠CQE+ ∠PEQ=360°.理由:如图,过点E 作EG∥AB.∵ AB∥ CD,EG∥AB,∴ AB∥EG∥CD.∴ ∠APE+∠PEG= 180°,∠CQE+∠QEG=180°.∴ ∠APE+∠PEG+ ∠CQE+∠QEG=360°,即∠APE+∠CQE+∠PEQ= 360°.(3) 由(2),得∠PEQ+∠BPE+∠EQD=360°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 ∵ ∠PEQ=140°,∴ ∠BPE+∠EQD=360°-140°= 220°.∵ PF 平分∠BPE,QF 平分∠EQD,∴ ∠BPF= 1 2∠BPE ,∠DQF=12∠EQD.∴ ∠BPF+∠DQF= 1 2 (∠BPE + ∠EQD)=110°.由 (1),得 ∠PFQ = ∠BPF+∠DQF=110°. 第1题 “铅笔头”模型 遇到“铅笔头”模型时,需要在拐点处作已知平行 线的平行线,利用平行线的性质可得三条直线都平行, 一般形式如图所示. 结论:若AB∥CD,则∠B+∠D+∠BED=360°. 2. (1) 30°.(2) 如图,过点F 作FM∥AB,过点 H 作 HN∥AB.∴ ∠AEH=∠EHN=20°.∵ ∠EHG=50°, ∴ ∠NHG=∠EHG-∠EHN =30°.∵ HN∥AB, AB∥CD,∴ HN∥CD.∴ ∠CGH =∠NHG=30°. ∵ ∠FGH=20°,∴ ∠FGC=∠CGH+∠FGH=50°. ∵ FE⊥AB,∴ ∠FEB=90°.∵ FM∥AB,AB∥CD, ∴ FM∥AB∥CD.∴ ∠EFM=180°-∠FEB=90°, ∠FGC = ∠MFG =50°.∴ ∠EFG = ∠EFM + ∠MFG=140°. 第2题 3. C 解析:如图,过点C 作CN∥AB,过点E 作EM∥ AB.∵ FD∥AB,CN∥AB,EM∥AB,∴ AB∥CN∥EM∥ FD.∴ ∠BAC=∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE= ∠DEM,∠MEA = ∠EAB.∴ ∠DEA = ∠FDE + ∠EAB,∠ACD=∠BAC+∠FDC.又∵ DE 和AC 分别 平分∠CDF 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC, ∠BAE=2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠BAC+2∠FDE= 56°①,∠FDE +2∠BAC =46°②.由 ① + ②,得 3(∠BAC+∠FDE)=102°.∴ ∠BAC+∠FDE=34°③.由 ①-③,得∠FDE=22°.∴ ∠CDF=2∠FDE=44°. 第3题 4. (1) 75 解析:如图,过点P 作PE∥l1.∵ l1∥l2, ∴ PE∥l2.∴ ∠1+∠APE=180°,∠2=∠BPE.又 ∵ ∠3=∠APE+∠BPE=180°-∠1+∠2,∠1=150°, ∠2=45°,∴ ∠3=75°. (2) α-β 解析:由(1),得∠APC+∠BPD=180°- ∠3=∠1-∠2.∵ ∠1=α,∠2=β,∴ ∠APC+ ∠BPD=α-β. 第4题 5. (1) 80 解析:如图①,过点P 作MN∥AB.∵ AB∥ CD,∴ AB∥MN∥CD.∴ ∠EPN=∠1=50°,∠FPN= ∠2=30°.∵ ∠P=∠EPN+∠FPN,∴ ∠P=80°. (2) ∠P=∠1+∠2.理由:如图①,过点P 作 MN∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥MN∥CD.∴ ∠EPN=∠1, ∴ ∠FPN=∠2.∵ ∠EPN+∠FPN=∠P,∴ ∠P= ∠1+∠2.(3) 如图②,分别过点P,G 作IS∥AB,KR∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥IS∥KR∥CD.∴ ∠1=∠EPS, ∠SPG+∠PGR=180°,∠RGF=∠2.∵ ∠1+∠2= 35°,∴ ∠EPS+∠SPG+∠PGR+∠RGF=∠EPG+ ∠PGF=215°.∵ ∠EPG=75°,∴ ∠PGF=215°- 75°=140°. 第5题 6. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 CD∥EF.∴ ∠3=∠1,∠4=∠2.∴ ∠3+∠4=∠1+ ∠2,即∠BED=∠1+∠2.(2) ∠1+∠EGH=∠2+ ∠BEG.理由:如图②,分别过点E,G 作EM∥AB,GN∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥EM∥GN∥CD.∴ ∠1=∠3, ∠4=∠5,∠6=∠2,∴ ∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+ ∠2,即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG.(3) ∠1+∠3+ ∠5=∠2+∠4+∠6. 第6题 7. B 解析:如图,∵ a∥b,∴ ∠4=∠1=x°.∴ ∠5= 180°-∠4=(180-x)°.∵ ∠2=∠3+∠5,∴ y=z+ (180-x),即x+y-z=180. 第7题 8. 如图,过点E 作EG∥AB.∵ AB∥CD,∴ EG∥CD. ∵ EC⊥CD,∴ ∠ECD=90°.∴ ∠GEC=∠ECD= 90°.∵ ∠BEC=30°,∴ ∠GEB=90°-30°=60°.∵ EG∥ AB,∴ ∠ABE=180°-∠GEB=120°. 第8题 9. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.∵ AB∥CD,∴ CD∥ EF.∴ ∠ABE = ∠BEF,∠ECD + ∠CEF =180°. ∵ ∠CEF = ∠BEF - ∠BEC = ∠ABE - ∠BEC, ∴ ∠ABE+∠ECD-∠BEC=180°.(2) ① ∵ BF∥CE, ∴ ∠FBE=∠BEC=26°.∵ BF 平分∠ABE,∴ ∠FBE= ∠ABF=26°,∠ABE=2∠FBE=52°.由(1),得∠ECD= 180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+26°=154°.∵ CG 平分∠ECD,∴ ∠DCG=12∠ECD=77°. 如图②,过 点F 作FN∥AB,则∠BFN=∠ABF=26°.∵ AB∥CD, ∴ FN∥CD.∴ ∠NFC=∠DCG=77°.∴ ∠BFC= ∠BFN+∠NFC=103°.② ∵ BF 平分∠ABE,CG 平分 ∠DCE,∴ 设 ∠ABF = ∠FBE = 12 ∠ABE =x , ∠ECG=∠DCG= 1 2∠DCE=y. 由(1),可知∠ABE+ ∠ECD-∠BEC=180°,∴ 2x+2y-∠BEC=180°.由 ①,可知∠BFC=∠ABF+∠DCG.∴ ∠BFC=x+ y.∵ ∠BFC-∠BEC=74°,∴ x+y=74°+∠BEC. ∴ 2x+2y-∠BEC=2(74°+∠BEC)-∠BEC=180°, 解得∠BEC=32°. 第9题 “臭脚”模型 常见解法是过模型中的“脚”作平行线,通过平行 线的性质得到几组平行线,如图. 或 专题七　乘法公式的综合应用 1. (1) 60160 2 = 60+160 2 =602+2×60× 160+ 1 60 2 =3600+2+ 13600=3602 1 3600. (2) 9.82=(10- 0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04= 96.04.(3) 397×403+9=(400-3)×(400+3)+9= 4002-32+9=160000-9+9=160000.(4) 2532-2472 1002 = (253+247)×(253-247) 10000 =300010000 =310. 2. 1.23452+2.469×0.7655+0.76552=1.23452+2× 1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2= 22=4. 3. (1) x2+y2= 1 2 [(x+y)2+(x-y)2]= 1 2× (6+ 2)=4.(2) xy= 1 4 [(x+y)2-(x-y)2]= 1 4× (6- 2)=1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈