专题五 一次方程(组)不等式的应用- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

41 专题五　一次方程（组）、不等式的应用 利用方程(组)以及不等式解决实际问题是学习方程和不等式的最终目标,解决这类问题时, 要先找出题目中所含的等量关系或不等关系和对应的数量关系,然后通过设符合题意的未知数, 列出方程(组)或不等式,并计算进行求解. 类型一 路程问题 1. 甲、乙两人相距6km,两人同时出发,若同向 而行,则甲3h可追上乙;若相向而行,则1h 相遇.甲、乙两人的平均速度分别是 ( ) A. 3km/h,4km/h B. 4km/h,2km/h C. 2km/h,4km/h D. 4km/h,3km/h 2. 小华从家到学校要走一段平路和一段下坡 路.若他始终保持平路每分钟走60m,下坡 路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m,则 他从家到学校需10min,从学校到家需 15min.从小华家到学校的平路和下坡路各 有多长? 3. ★甲、乙两人分别从相距30km的A,B两地 同时出发,相向而行,经过3h后相距3km, 再经过2h,甲到B地所剩的路程是乙到 A地所剩路程的2倍.求甲、乙两人的平均 速度. 类型二 工程问题 4. 现有一段长为88m的河道需要清淤,该项任 务由甲、乙两支工程队先后接力完成.甲队 每天清理10m,乙队每天清理8m,两队共用 时10天.甲、乙两支工程队各清理了几天? 5. 甲、乙两支工程队共同修建150km长的公 路,原计划30个月完工.实际施工时,甲工 程队通过技术创新,施工效率提高了50%, 乙工程队施工效率不变,结果提前5个月完 工.甲、乙两支工程队原计划平均每个月分 别修建多少千米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 类型三 盈亏问题 6. 新新商场第1次用390000元购进A,B两种 商品.全部售完后获得利润60000元,它们 的进价和售价如下表:(总利润=单件利润× 销售量) 商 品 A B 进价/(元/件) 1200 1000 售价/(元/件) 1350 1200 (1) 该商场第1次购进A,B两种商品各多 少件? (2) 该商场第2次以原进价购进A,B两种 商品,购进A商品的件数不变,而购进B商 品的件数是第1次购进B商品件数的2倍, A商品按原售价出售,而B商品打折出售. 若两种商品全部销售完,且要使得第2次获 得利润36000元,则B商品应该打几折 出售? 7. 据2024年1月1日某市气象局天气预报,该 市有1~2次明显冷空气过程,分别出现在 1月中旬中期和月底前后,最低气温降至10°C 以下.面对寒冷天气,某商场预先购买了某 品牌A,B两款羽绒服.若购买3万件A款, 4万件B款,需支付2400万元;若购买2万件 A款,2万件B款,需支付1400万元. (1) 求A,B两款羽绒服每件的进价. (2) 若该商场购买A,B两款羽绒服各1000件 后,均按每件600元进行零售,销售一段时 间后,因该市气温出现短暂回升,羽绒服滞 销.该商场打算把剩下的羽绒服全部按六折 销售完,若总利润不低于380000元,则打折 销售的羽绒服最多有多少件? (列一元一次 不等式解答) 类型四 配套问题 8. 一车间加工轴杆和轴承,每名工人平均每天 加工轴杆12根或者轴承16个,1根轴杆与 2个轴承为一套,该车间共有90名工人. (1) 调配多少名工人加工轴杆,多少名工人 加工轴承,才能使每天生产的轴承和轴杆正 好配套? (2) 因生产需要,又从二车间抽调12名具有 相同加工能力的工人来一车间.能安排这 12名工人加工轴杆、轴承,使每天生产的轴 承和轴杆正好配套吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 43 类型五 方案设计问题 9. 某地区组织400名志愿者前往山区分发物 资.现需租用若干辆大、小客车将志愿者们 送往山区,租用的大、小客车满员时的载客 情况如下表: 小客车的 数量/辆 大客车的 数量/辆 合计载客量 /人 3 1 105 1 2 110 (1) 求满员时每辆小客车与每辆大客车分别 能载的志愿者数量. (2) 若计划租用m 辆小客车,n 辆大客车, 大、小客车都要有,一次性全送完,且每辆车 都坐满. ① 请你设计出所有的租车方案; ② 若每辆小客车的租金是1000元,每辆大 客车的租金是1900元,请你选出最省钱的 租车方案,并求出最少的租金. 类型六 动态问题 答案讲解 10. 如图,数轴上有A,B 两点,点B 在原点的右侧,到原点的距离为 2,点A 在点B 的左侧,AB=18. 动点P,Q 分别从A,B 两点同时出发,在 数轴上匀速运动,它们的速度分别为3个 单位长度/秒、1个单位长度/秒,设运动时 间为t秒. (1) 点A 表示的数为 ,点B 表示 的数为 . (2) 若动点P,Q 均向右运动.当t=2时, 点P 表示的数为 ,P,Q 两点间的 距离为 个单位长度.试确认点P 追上点Q 时的t的值,并求出此时点P 表 示的数. (3) 若动点Q 向左运动,到原点后立即返 回,到点B 停止运动;动点P 向右运动,当 点Q 停止运动时,动点P 也停止运动.当t 为何值时,PA,PB,AB 三条线段中,有一 条线段的长度是另一条线段长度的3倍? 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 解为 x=-1, y=-1. 忽略还原未知数而致错 利用换元法解二元一次方程组时,要注意:求出关 于新未知数的方程组的解之后,还需将其代入换元的 式子求出原未知数的值,即计算一定要彻底. 7. C 8. 2x-3y+2=0①, 5-2x+3y 7 +2y=9②. 由①,得2x-3y=-2③.将 ③代入②,得5+27 +2y=9 ,解得y=4.把y=4代入③, 得2x-3×4=-2,解得x=5.∴ 原方程组的解 为 x=5, y=4. 9. 由①+②,得3x-2y3 =6 ,即3x-2y=18③.由①- ②,得2×2x+3y7 =-4 ,即2x+3y=-14④.联立③④, 得 3x-2y=18, 2x+3y=-14, 解得 x=2, y=-6. 10. 设x+1 20 = y+1 21 = x+y 17 =k ,则x+1=20k,y+1= 21k,x+y=17k①.由x+1=20k,得x=20k-1.由y+ 1=21k,得y=21k-1.把x=20k-1,y=21k-1代入 ①,得20k-1+21k-1=17k,解得k=112. 由此,可得 x=23 ,y= 3 4.∴ 原方程组的解为 x=23 , y= 3 4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 11. 设x+y 2 = t+x 3 = y+t 4 =k ,则x+y=2k,t+x=3k, y+t=4k.三式相加,得x+y+t= 9 2k. 将x+y+t= 9 2k 代 入②,得 92k=27 ,解 得k=6.由 此,可 得 x+y=12③, t+x=18④, y+t=24⑤. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由②-⑤,得x=3.由②-④,得y=9.由 ②-③,得t=15.∴ 原方程组的解为 x=3, y=9, t=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 12. 28 13. 设被墨水污染的▲为a,●为b,□为c.∵ 这个方程 组的解是 x=3, y=-1, ∴ 3a-b=1①, 3c+7=1. 解得c=-2.∵ 团 团由于看错了第二个方程中的x 的系数,求出的解是 x=-2, y=1, ∴ -2a+b=1②.联立①②,得 -2a+b=1, 3a-b=1, 解得 a=2, b=5. ∴ 原方程组为 2x+5y=1 , -2x-7y=1. 专题五　一次方程（组）、 不等式的应用 1. B 2. 设 平 路 有 x m,下 坡 路 有 y m.根 据 题 意,得 x 60+ y 80=10 , x 60+ y 40=15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x=300, y=400. ∴ 从小华家到学校的平路 有300m,下坡路有400m. 3. 设甲的平均速度为xkm/h,乙的平均速度为ykm/h. 当 甲、乙 两 人 相 遇 前 相 距 3km 时,根 据 题 意,得 3x+3y=30-3, 30-(3+2)x=2[30-(3+2)y], 解得 x=4, y=5. 当甲、乙 两 人 相 遇 后 相 距 3 km 时,根 据 题 意,得 3x+3y=30+3, 30-(3+2)x=230-(3+2)y) , 解得 x=513 , y=5 2 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 综上 所述,甲的平均速度为4km/h,乙的平均速度为5km/h, 或甲 的 平 均 速 度 为 513km /h,乙 的 平 均 速 度 为 523km /h. 忽略分类讨论而漏解 经过3h后相距3km有两种可能,一种是相遇前 相距3km,另一种是相遇后又相距3km.容易因只考 虑一种情况从而造成漏解. 4. 设甲工程队清理了x天,乙工程队清理了y天.根据题 意,得 x+y=10, 10x+8y=88, 解得 x=4, y=6. ∴ 甲工程队清理了 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 4天,乙工程队清理了6天. 5. 设甲工程队原计划平均每个月修建xkm,乙工程队原 计 划 平 均 每 个 月 修 建 y km.根 据 题 意,得 150=30(x+y), 150=(30-5)[(1+50%)x+y], 解得 x=2, y=3. ∴ 甲工程 队原计划平均每个月修建2km,乙工程队原计划平均 每个月修建3km. 6. (1) 设该商场第1次购进A商品x件,B商品y件.根 据题意,得 1200x+1000y=390000, (1350-1200)x+(1200-1000)y=60000, 解得 x=200, y=150. ∴ 该商场第1次购进A商品200件,B商 品150件.(2) 设B商品应该打m 折出售.根据题意,得 (1350-1200)×200+ 1200×m10-1000 ×150×2= 36000,解得m=8.5.∴ B商品应该打八五折出售. 7. (1) 设A款羽绒服每件的进价是x 元,B款羽绒服每 件的进价是y 元.根据题意,得 3x+4y=2400, 2x+2y=1400, 解得 x=400, y=300. ∴ A款羽绒服每件的进价是400元,B款羽绒 服每件的进价是300元.(2) 设打折销售的羽绒服有 m 件,则按原价销售的羽绒服有(1000×2-m)件.根据 题意,得600(1000×2-m)+600×60%m-(400+ 300)×1000≥380000,解得m≤500.∴ m 的最大值是 500,即打折销售的羽绒服最多有500件. 8. (1) 设调配x名工人加工轴杆,y名工人加工轴承.根 据题意,得 x+y=90, 2×12x=16y, 解得 x=36, y=54. ∴ 调配36名工 人加工轴杆,54名工人加工轴承,才能使每天生产的轴承 和轴杆正好配套.(2) 设抽调来的12名工人中,a名工人 加 工 轴 杆,b 名 工 人 加 工 轴 承.根 据 题 意,得 a+b=12, 2×12a=16b, 解得 a=4.8 , b=7.2. ∵ a,b 的值不是整数, ∴ 不能安排这12名工人加工轴杆、轴承,使每天生产的 轴承和轴杆正好配套. 9. (1) 设满员时每辆小客车能载x 名志愿者,每辆大客 车能载y 名志愿者.根据题意,得 3x+y=105, x+2y=110, 解得 x=20, y=45. ∴ 满员时每辆小客车能载20名志愿者,每辆大 客车能载45名志愿者.(2) ① 根据题意,得20m+45n= 400,∴ m=20-94n.∵ m,n均为正整数,∴ m=11, n=4 或 m=2, n=8. ∴ 共有2种租车方案,即方案1:租用11辆小客 车,4辆大客车;方案2:租用2辆小客车,8辆大客车. ② 选择方案1所需总租金为1000×11+1900×4= 18600(元);选择方案2所需总租金为1000×2+1900× 8=17200(元).∵ 18600>17200,∴ 选择方案2.综上所 述,租用2辆小客车,8辆大客车最省钱,最少的租金是 17200元. 10. (1) -16;2.(2) -10;14.当点P 追上点Q 时,点P 与点Q 表示的数相同,∴ -16+3t=2+t,解得t=9. ∴ -16+3t=-16+27=11.∴ 此时点P 表示的数为 11.综上所述,当t=9时,点P 追上点Q,此时点P 表示 的数为11.(3) 当点Q 停止运动时,t=2×2÷1=4.分 四种情况:① 当PB=3PA 时,18-3t=3×3t,解得t= 1.5;② 当PA=3PB 时,3t=3(18-3t),解得t=4.5(不 符合题意,舍去);③ 当AB=3PA 时,18=3×3t,解得 t=2;④ 当AB=3PB 时,18=3(18-3t),解得t=4.综上 所述,当t的值为1.5,2或4时,PA,PB,AB 三条线段 中,有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍. 专题六　与平行线有关的计算 或辅助线的添加 1. (1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE.理由:∵ AB∥CD, EH∥AB,∴ AB∥EH∥CD.∴ ∠APE=∠PEH, ∠CQE= ∠QEH.∵ ∠PEQ = ∠PEH + ∠QEH, ∴ ∠PEQ=∠APE+∠CQE.(2) ∠APE+∠CQE+ ∠PEQ=360°.理由:如图,过点E 作EG∥AB.∵ AB∥ CD,EG∥AB,∴ AB∥EG∥CD.∴ ∠APE+∠PEG= 180°,∠CQE+∠QEG=180°.∴ ∠APE+∠PEG+ ∠CQE+∠QEG=360°,即∠APE+∠CQE+∠PEQ= 360°.(3) 由(2),得∠PEQ+∠BPE+∠EQD=360°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈