专题四 一次方程(组)的解法及技巧- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

38 专题四　一次方程（组）的解法及技巧 课程标准要求学生能解方程,包括一元一次方程、二元一次方程组等.解方程的重点是“化 归”,化归思想承载着数学学科核心素养的数学运算和逻辑推理.解二元一次方程组的基本思路 是“消元”,常用的解法有两种:“代入法”与“加减法”,对于一些特殊形式的方程组,如果我们能够 通过观察发现其结构特征与规律,比如其未知数的系数、常数项的特征等,那么可采用灵活、巧妙 的方式进行变形,从而达到消元的目的. 类型一 代入消元法 1. 解方程组:y =x+2, 6x+5y=-1. 2. 用代入法解方程组: 3x 4+ 2y 5= 31 20 , 2x 3- 3y 5=- 8 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 类型二 加减消元法 3. 用加减法解下面的方程组: (1) x 2- y+1 3 =1 , 3x+2y=40; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 2 3x- 3 4y= 1 2 , 4(x-y)-3(2x+y)=17. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 答案讲解 4. 解方程组: 2004x+2003y=2002, 2002x+2001y=2000. 类型三 换元法 答案讲解 5. 先阅读下面的材料,再解答相关 问题. 解方程组: (a-1)+2(b+2)=6, 2(a-1)+(b+2)=6. 设a-1=x,b+2=y,则原方程组可转化 为 x+2y=6, 2x+y=6. 解 方 程 组,得 x=2, y=2, 即 a-1=2 , b+2=2, 解 得 a=3, b=0. 此种解方程组的方法叫做换元法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 39 (1) 如果用换元法解方程组 1 m+ 1 n=2 , 1 m- 1 n=7 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 可 以设x= ,y= ,那么原方 程组可以转化为关于x,y的方程组 ; (2) 用换元法解方程组: 2a3-1 +3b5+2 =7, 5a3-1 -2b5+2 =8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 6. ★解方程组: 361(x-2y)+463(2x-y)=-102, 463(x-2y)+361(2x-y)=102. 类型四 利用整体思想解方程组 7. 已知关于x,y 的方程组 ax+by=10, mx-ny=8 的解 是 x=1, y=2, 则 关 于 x,y 的 方 程 组 1 2a (x+y)+ 1 3b (x-y)=10, 1 2m (x+y)- 1 3n (x-y)=8 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的解是( ) A. x=1, y=2 B.x=2 , y=1 C. x=4, y=-2 D.x=3 , y=2 8. 先阅读材料,再解方程组. 解方程组 x-y-1=0①, 4(x-y)-y=5② 时,可由①,得 x-y=1③.然后将③代入②,得4×1-y=5, 解得y=-1.从而进一步解得 x=0, y=-1. 这种 方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组: 2x-3y+2=0, 5-2x+3y 7 +2y=9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 9. 解方程组: 3x-2y 6 + 2x+3y 7 =1① , 3x-2y 6 - 2x+3y 7 =5②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 类型五 参数法 10. 解方程组:x+1 20 = y+1 21 = x+y 17 . 11. 解方程组: x+y 2 = t+x 3 = y+t 4 ① , x+y+t=27②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 类型六 二元一次方程组的错解和遮挡问题 答案讲解 12. 力力在解方程组 y=kx+b, y=2x-1 的过 程中,错把b看成了8,他的其他 解答过程没有错,解得此方程组的解为 x=1, y=1. 淘淘把原方程组抄成了y=kx+b , y=2x+1, 他的其他解答过程也没有错,解得此方程组 的解为 x=3, y=7. 原方程组中的b= . 13. 已知 ▲x+●y=1, □x-7y=1 是一个被墨水污染的方 程组.圆圆说:“这个方程组的解是 x=3, y=-1, 而团团由于看错了第二个方程中的x 的系 数,求出的解是 x=-2, y=1. ”请你根据以上信 息,把这个方程组复原出来. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 12 -1,b=2 时,原式=-6×(-1)3×2=12. 8. (1) ∵ A-(x-2)2=x(x+7),∴ A=(x-2)2+ x(x+7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. (2) ① ∵ 3x+1=1,∴ x+1=0,解得x=-1.∴ A=2× (-1)2+3×(-1)+4=2-3+4=3.② ∵ 2x2+3x+ 1=0,∴ 2x2+3x=-1.∴ A=-1+4=3. 9. 2x2+ax-y+6-(2bx2-3x+5y-1)=2x2+ax- y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+ 7.∵ 两个整式的差的值与字母x 的取值无关,∴ 2- 2b=0,a+3=0,解得a=-3,b=1.4(a2+2b3-a2b)+ 3a2-2(4b3+2a2b)=4a2+8b3-4a2b+3a2-8b3- 4a2b=7a2-8a2b.当a=-3,b=1时,原式=7× (-3)2-8×(-3)2×1=7×9-8×9×1=63-72=-9. 10. B 11. (1) 根据题意,得b>0,c<0,a<0.∵ |a|=1,|b|= 2,|c|=4,∴ a=-1,b=2,c=-4.∴ 3b+2a-c=6- 2+4=8.(2) A-2B=3a2-4ab-2(a2+2ab)=3a2- 4ab-2a2-4ab=a2-8ab.当a=-1,b=2时,原式= (-1)2-8×(-1)×2=17. 12. (1) ∵ m=4,∴ 点A 与点B 之间的距离为4个单位 长度.∵ 点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,且点A 在点B 的左边,∴ 点A 表示的数为-2,点B 表示的数为 2.(2) ∵ 点A,B 到点C 的距离相等,且点A,B 在数轴 上表示的数互为相反数,∴ 点C 表示的数为0,即mn- 1=0,解得mn=1.2mn+m 12n+3 - 3 12+m +1 = 2mn+ 12mn+3m- 3 2+3m+1 = 52mn+3m - 5 2+3m =52mn+3m-52-3m=52mn-52.当 mn=1时,原式=52×1- 5 2=0. 13. (1) 二.(2) 2(x+1)2-x(x-1)-(x+1)(x-1)= 2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1)=2x2+4x+2-x2+ x-x2+1=5x+3.当x=-25 时,原式=5× -25 + 3=-2+3=1. 专题四　一次方程（组）的 解法及技巧 1. y=x+2①, 6x+5y=-1②. 把①代入②,得6x+5(x+2)= -1,解得x=-1.把x=-1代入①,得y=1.∴ 方程组 的解为 x=-1, y=1. 2. 原方程组化简,得 15x+8y=31①, 10x-9y=-8②. 由①,得y= 31-15x 8 ③. 把③代入②,得10x-9×31-15x8 =-8 ,解 得x=1.把x=1代入③,得y=2.∴ 原方程组的解 为 x=1, y=2. 3. (1) 原方程组化简,得 3x-2y=8①, 3x+2y=40②. 由①+②,得 6x=48,解得x=8.由②-①,得4y=32,解得y=8. ∴ 原方程组的解为 x=8, y=8. (2) 原方程组化简,得 8x-9y=6①, 2x+7y=-17②. 由②×4,得8x+28y=-68③.由 ①-③,得-37y=74,解得y=-2.将y=-2代入①,解 得x=-32.∴ 原方程组的解为 x=-32 , y=-2. 4. 2004x+2003y=2002①, 2002x+2001y=2000②. 由①-②,得2x+2y=2, 即x+y=1③.由③×2001,得2001x+2001y= 2001④.由②-④,得x=-1.把x=-1代入③,解得 y=2.∴ 原方程组的解为 x=-1, y=2. 5. (1) 1 m ;1 n ; x+y=2, x-y=7. (2) 设x=a3-1,y=b5+2, 则 原 方 程 组 可 以 转 化 为 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+3y=7, 5x-2y=8, 解得 x=2, y=1, 即 a 3-1=2 , b 5+2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=9, b=-5. 6. 设 A=x-2y,B=2x-y,则原方程组变形为 361A+463B=-102①, 463A+361B=102②. 由①+②,得A+B=0③.由 ②-①,得A-B=2④.由③+④,得A=1,由③-④,得 B=-1.∴ x-2y=1, 2x-y=-1, 解得 x=-1, y=-1, 即原方程组的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 解为 x=-1, y=-1. 忽略还原未知数而致错 利用换元法解二元一次方程组时,要注意:求出关 于新未知数的方程组的解之后,还需将其代入换元的 式子求出原未知数的值,即计算一定要彻底. 7. C 8. 2x-3y+2=0①, 5-2x+3y 7 +2y=9②. 由①,得2x-3y=-2③.将 ③代入②,得5+27 +2y=9 ,解得y=4.把y=4代入③, 得2x-3×4=-2,解得x=5.∴ 原方程组的解 为 x=5, y=4. 9. 由①+②,得3x-2y3 =6 ,即3x-2y=18③.由①- ②,得2×2x+3y7 =-4 ,即2x+3y=-14④.联立③④, 得 3x-2y=18, 2x+3y=-14, 解得 x=2, y=-6. 10. 设x+1 20 = y+1 21 = x+y 17 =k ,则x+1=20k,y+1= 21k,x+y=17k①.由x+1=20k,得x=20k-1.由y+ 1=21k,得y=21k-1.把x=20k-1,y=21k-1代入 ①,得20k-1+21k-1=17k,解得k=112. 由此,可得 x=23 ,y= 3 4.∴ 原方程组的解为 x=23 , y= 3 4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 11. 设x+y 2 = t+x 3 = y+t 4 =k ,则x+y=2k,t+x=3k, y+t=4k.三式相加,得x+y+t= 9 2k. 将x+y+t= 9 2k 代 入②,得 92k=27 ,解 得k=6.由 此,可 得 x+y=12③, t+x=18④, y+t=24⑤. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由②-⑤,得x=3.由②-④,得y=9.由 ②-③,得t=15.∴ 原方程组的解为 x=3, y=9, t=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 12. 28 13. 设被墨水污染的▲为a,●为b,□为c.∵ 这个方程 组的解是 x=3, y=-1, ∴ 3a-b=1①, 3c+7=1. 解得c=-2.∵ 团 团由于看错了第二个方程中的x 的系数,求出的解是 x=-2, y=1, ∴ -2a+b=1②.联立①②,得 -2a+b=1, 3a-b=1, 解得 a=2, b=5. ∴ 原方程组为 2x+5y=1 , -2x-7y=1. 专题五　一次方程（组）、 不等式的应用 1. B 2. 设 平 路 有 x m,下 坡 路 有 y m.根 据 题 意,得 x 60+ y 80=10 , x 60+ y 40=15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x=300, y=400. ∴ 从小华家到学校的平路 有300m,下坡路有400m. 3. 设甲的平均速度为xkm/h,乙的平均速度为ykm/h. 当 甲、乙 两 人 相 遇 前 相 距 3km 时,根 据 题 意,得 3x+3y=30-3, 30-(3+2)x=2[30-(3+2)y], 解得 x=4, y=5. 当甲、乙 两 人 相 遇 后 相 距 3 km 时,根 据 题 意,得 3x+3y=30+3, 30-(3+2)x=230-(3+2)y) , 解得 x=513 , y=5 2 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 综上 所述,甲的平均速度为4km/h,乙的平均速度为5km/h, 或甲 的 平 均 速 度 为 513km /h,乙 的 平 均 速 度 为 523km /h. 忽略分类讨论而漏解 经过3h后相距3km有两种可能,一种是相遇前 相距3km,另一种是相遇后又相距3km.容易因只考 虑一种情况从而造成漏解. 4. 设甲工程队清理了x天,乙工程队清理了y天.根据题 意,得 x+y=10, 10x+8y=88, 解得 x=4, y=6. ∴ 甲工程队清理了 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈