专题三 整式的化简和求值- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

35 专题三　整式的化简和求值 进行整式的化简和求值时,通常是先把整式化简,然后代入求值.整式的化简和求值有以下 几种常见类型:一是化简后直接代入求值;二是化简后整体代入求值;三是利用已知条件求出字 母的值,再代入求值;四是利用题干中的“无关”字眼进行化简和求值;五是与数轴相结合进行化 简和求值;六是错解问题. 类型一 化简后直接代入求值 1. 先化简,再求值:(a+2b)(a-2b)+(a+ 2b)2-a(2a-3b),其中a=15 ,b=3. 2. 先化简,再求值:(2x+y)(2x-y)-(x- 2y)2+(6x4-10x2y2)÷(-2x2),其中x= 1 2 ,y=-1. 类型二 化简后整体代入求值 3. 有这样一道题:如果代数式5a+3b的值为 -4,那么代数式2(a+b)+4(2a+b)的值 是多少? 小明是这样解答的:原式=2a+ 2b+8a+4b=10a+6b.将5a+3b=-4两 边同时乘2,得10a+6b=-8.仿照小明的 解答方法,完成下列题目. (1) 如果a2+a=0,那么a2+a+2024= ; (2) 已知a-b=-2,求3(a-b)-5a+5b+ 6的值; (3) 已知a2+2ab=3,ab-b2=-4,求a2+ 3 2ab+ 1 2b 2的值. 4. (苏州中考)先化简,再求值:2(x+2y)(x- 2y)-(x+y)2+10y2,其中x+y=6, xy=-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 类型三 利用条件间接代入求值 5. 先化简,再求值:已知-7x3my5与2x6y1-n 是 同类项,求3m2n- 2mn2-2mn-32m 2n 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + 3mn2的值. 6. 已知多项式(a+1)x3-2xb-1+4x-1是关 于x的二次三项式. (1) 求a,b的值; (2) 利用(1)中的结果,先化简,再求值: 2(3a2b-2ab2)-3(1-ab2-2a2b)-3. 7. 先化简,再求值:3a2(a3b2-2ab)-3a· (-a2b)2,其中a,b满足|a+b-1|+(a-b+ 3)2=0. 8. 已知关于x 的多项式A,当A-(x-2)2= x(x+7)时,完成下列题目. (1) 求多项式A; (2) ① 若3x+1=1,求多项式A 的值; ② 若2x2+3x+1=0,求多项式A 的值. 类型四 利用题干中的“无关”字眼进行化简 和求值 9. 已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2- 3x+5y-1的差的值与字母x的取值无关, 试求4(a2+2b3-a2b)+3a2-2(4b3+ 2a2b)的值. 类型五 与数轴相结合进行化简和求值 10. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,代 数式|a+c|-2|a-b|+|b-c|化简后的结 果为 ( ) 第10题 A. b B. a-3b C. b+2c D. b-2c 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 37 11. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示, 且|a|=1,|b|=2,|c|=4. (1) 求3b+2a-c的值; (2) 已知A=3a2-4ab,B=a2+2ab,求A- 2B 的值. 第11题 答案讲解 12. 已知数轴上不重合的三点A,B, C.点A,B 在数轴上表示的数互 为相反数,点A 与点B 之间的距 离为m 个单位长度(点A 在点B 的左边), 点C 在数轴上表示的数为mn-1,且m,n 均为整数. (1) 若 m=4,求点A,B 在数轴上表示 的数; (2) 若点A,B到点C的距离相等,求2mn+ m 12n+3 与312+m +1的差的值. 类型六 错解问题 13. 下面是明明对多项式化简并求值的过程, 请你认真阅读并回答问题. 先化简,再求值:2(x+1)2-x(x-1)-(x+ 1)(x-1),其中x=-25. 原式=2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1)… 第一步 =2x2+4x+2-x2+x-x2-1…第二步 =5x+1…第三步 当x=-25 时,原式=5× -25 +1=-1.… 第四步 (1) 明明第 步开始出现错误; (2) 请你写出正确的化简和求值的过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 ∵ AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm,∴ AC+MD= AB-CM-BD=10-2-6=2(cm).(2) ∵ C,D 两点的 运动 速 度 分 别 为 1cm/s、3cm/s,∴ BD =3CM. 又∵ MD=3AC,∴ BD+MD=3CM+3AC,即BM= 3AM.∴ AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上 时,∵ AN-BN=MN,AN-AM=MN,∴ BN=AM= 1 4AB.∴ MN= 1-14- 1 4 AB=12AB,即MNAB = 1 2. 如图②,当点N 在线段AB 的延长线上时,∵ AN- BN=MN,AN-BN=AB,∴ MN=AB,即MNAB=1. 综 上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第10题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 11. (1) ∠DBA=∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°. (2) 设∠ABE=x°,则∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°- x°.∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM= 1 2 ∠ABD = 1 2 (60°-x°),∠EBN = 12 ∠EBC = 1 2 (45°-x°).∴ ∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN= 1 2 (60°-x°)+x°+ 12 (45°-x°)=52.5°.(3) 设 ∠ABE=y°,则∠ABD=60°+y°,∠CBE=45°+y°. ∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM = 1 2 ∠ABD = 1 2 (60°+y°),∠EBN = 1 2 ∠CBE = 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN = ∠ABM - ∠ABE + ∠EBN=12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+y°)=52.5°,即 ∠MBN 的大小不会发生变化. 专题三　整式的化简和求值 1. (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a-3b)=a2- 4b2+a2+4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3 时,原式=7×15×3= 21 5. 2. (2x+y)(2x-y)-(x-2y)2+(6x4-10x2y2)÷ (-2x2)=4x2-y2-(x2-4xy+4y2)-3x2+5y2= 4x2-y2-x2+4xy-4y2-3x2+5y2=4xy.当x= 1 2 , y=-1时,原式=4× 1 2× (-1)=-2. 3. (1) 2024.(2) ∵ a-b=-2,∴ 原式=3(a-b)- 5(a-b)+6=-2(a-b)+6=-2×(-2)+6=10. (3) ∵ a2+2ab=3,ab-b2=-4,∴ 原式=a2+2ab- 1 2ab+ 1 2b 2=(a2+2ab)-12 (ab-b2)=3-12× (-4)=5. 4. 2(x+2y)(x-2y)-(x+y)2+10y2=2(x2-4y2)- (x2+2xy+y2)+10y2=2x2-8y2-x2-2xy-y2+ 10y2=x2-2xy+y2.当x+y=6,xy=-1时,原式= (x+y)2-4xy=62-4×(-1)=36+4=40. 5. 3m2n- 2mn2-2mn-32m 2n +3mn2=3m2n- (2mn2-2mn+3m2n)+3mn2=3m2n-2mn2+2mn- 3m2n+3mn2=mn2+2mn.∵ -7x3my5 与2x6y1-n 是同 类项,∴ 3m=6,1-n=5,解得m=2,n=-4.当m=2, n=-4时,原式=2×(-4)2+2×2×(-4)=2×16+ (-16)=32-16=16. 6. (1) ∵ 多项式(a+1)x3-2xb-1+4x-1是关于x的 二次三项式,∴ a+1=0,b-1=2,解得a=-1,b=3. (2) 2(3a2b-2ab2)-3(1-ab2-2a2b)-3=6a2b- 4ab2-3+3ab2+6a2b-3=12a2b-ab2-6.当a=-1, b=3时,原式=12×(-1)2×3-(-1)×32-6=12× 1×3+9-6=36+9-6=39. 7. 3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2=3a5b2-6a3b-3a· a4b2=3a5b2-6a3b-3a5b2=-6a3b.∵ |a+b-1|+ (a-b+3)2=0,∴ a+b-1=0, a-b+3=0, 解得 a=-1 , b=2. 当a= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 -1,b=2 时,原式=-6×(-1)3×2=12. 8. (1) ∵ A-(x-2)2=x(x+7),∴ A=(x-2)2+ x(x+7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. (2) ① ∵ 3x+1=1,∴ x+1=0,解得x=-1.∴ A=2× (-1)2+3×(-1)+4=2-3+4=3.② ∵ 2x2+3x+ 1=0,∴ 2x2+3x=-1.∴ A=-1+4=3. 9. 2x2+ax-y+6-(2bx2-3x+5y-1)=2x2+ax- y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+ 7.∵ 两个整式的差的值与字母x 的取值无关,∴ 2- 2b=0,a+3=0,解得a=-3,b=1.4(a2+2b3-a2b)+ 3a2-2(4b3+2a2b)=4a2+8b3-4a2b+3a2-8b3- 4a2b=7a2-8a2b.当a=-3,b=1时,原式=7× (-3)2-8×(-3)2×1=7×9-8×9×1=63-72=-9. 10. B 11. (1) 根据题意,得b>0,c<0,a<0.∵ |a|=1,|b|= 2,|c|=4,∴ a=-1,b=2,c=-4.∴ 3b+2a-c=6- 2+4=8.(2) A-2B=3a2-4ab-2(a2+2ab)=3a2- 4ab-2a2-4ab=a2-8ab.当a=-1,b=2时,原式= (-1)2-8×(-1)×2=17. 12. (1) ∵ m=4,∴ 点A 与点B 之间的距离为4个单位 长度.∵ 点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,且点A 在点B 的左边,∴ 点A 表示的数为-2,点B 表示的数为 2.(2) ∵ 点A,B 到点C 的距离相等,且点A,B 在数轴 上表示的数互为相反数,∴ 点C 表示的数为0,即mn- 1=0,解得mn=1.2mn+m 12n+3 - 3 12+m +1 = 2mn+ 12mn+3m- 3 2+3m+1 = 52mn+3m - 5 2+3m =52mn+3m-52-3m=52mn-52.当 mn=1时,原式=52×1- 5 2=0. 13. (1) 二.(2) 2(x+1)2-x(x-1)-(x+1)(x-1)= 2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1)=2x2+4x+2-x2+ x-x2+1=5x+3.当x=-25 时,原式=5× -25 + 3=-2+3=1. 专题四　一次方程（组）的 解法及技巧 1. y=x+2①, 6x+5y=-1②. 把①代入②,得6x+5(x+2)= -1,解得x=-1.把x=-1代入①,得y=1.∴ 方程组 的解为 x=-1, y=1. 2. 原方程组化简,得 15x+8y=31①, 10x-9y=-8②. 由①,得y= 31-15x 8 ③. 把③代入②,得10x-9×31-15x8 =-8 ,解 得x=1.把x=1代入③,得y=2.∴ 原方程组的解 为 x=1, y=2. 3. (1) 原方程组化简,得 3x-2y=8①, 3x+2y=40②. 由①+②,得 6x=48,解得x=8.由②-①,得4y=32,解得y=8. ∴ 原方程组的解为 x=8, y=8. (2) 原方程组化简,得 8x-9y=6①, 2x+7y=-17②. 由②×4,得8x+28y=-68③.由 ①-③,得-37y=74,解得y=-2.将y=-2代入①,解 得x=-32.∴ 原方程组的解为 x=-32 , y=-2. 4. 2004x+2003y=2002①, 2002x+2001y=2000②. 由①-②,得2x+2y=2, 即x+y=1③.由③×2001,得2001x+2001y= 2001④.由②-④,得x=-1.把x=-1代入③,解得 y=2.∴ 原方程组的解为 x=-1, y=2. 5. (1) 1 m ;1 n ; x+y=2, x-y=7. (2) 设x=a3-1,y=b5+2, 则 原 方 程 组 可 以 转 化 为 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+3y=7, 5x-2y=8, 解得 x=2, y=1, 即 a 3-1=2 , b 5+2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=9, b=-5. 6. 设 A=x-2y,B=2x-y,则原方程组变形为 361A+463B=-102①, 463A+361B=102②. 由①+②,得A+B=0③.由 ②-①,得A-B=2④.由③+④,得A=1,由③-④,得 B=-1.∴ x-2y=1, 2x-y=-1, 解得 x=-1, y=-1, 即原方程组的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈