专题二 有关线段、角的计算和证明- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

32 专题二　有关线段、角的计算和证明 有关线段、角的计算的题目往往渗透了一些数学思想,如方程思想、分类讨论思想、整体思想 等,借助数学思想并结合几何图形可以进行线段、角之间的转化.特别是一些动态问题,动点会带 来线段的相对位置、长度的变化,角的运动会带来角的相对位置和大小的变化,解决这类问题要 明确运动的方向、速度,用已知的量表示变化的量,从而解决问题. 类型一 方程思想 1. 如图,点O 在直线MN 上,过点O 引射线 OA 和OB,且∠MOA=2∠BON,∠BON 比∠AOB 大20°,求∠MOA 和∠AOB 的 度数. 第1题 2. 如图,C,B是线段AD 上的两点,AC∶CB∶ BD=3∶1∶4,E,F 分别是AB,CD 的中 点,且EF=14,求AB,CD 的长. 第2题 3. (1) 一个角的余角比这个角的1 2 少30°,求 这个角的度数. (2) 一个锐角的补角比它的余角的4倍小 30°,求这个锐角的度数. 答案讲解 4. 如图,把一根细线绳对折成两条重 合的线段AB,A 为对折点,点P 在 线段AB 上,且AP∶BP=3∶4. (1) 若细线绳的长度是126cm,求图中线段 AP 的长; (2) 从点P 处把细线绳剪断后展开,细线绳 变成三段,若三段中最长的一段为72cm,求 原来细线绳的长. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 33 类型二 分类讨论思想 5. 小亮正确完成了下面两道作图题:① 延长线 段AB 到点C,使BC=AB;② 反向延长线 段DE 到点F,使D 是线段EF 的一个三等 分点.针对小亮的作图,小莹说“B 是线段 AC 的中点”,小轩说“DE=2DF”.下列说法 中,正确的是 ( ) A. 小莹、小轩说得都对 B. 小莹说得不对,小轩说得对 C. 小莹、小轩说得都不对 D. 小莹说得对,小轩说得不对 6. 已知线段AB=60,C 为直线AB 上一点, AB=54BC. (1) 求线段BC 的长; (2) E 为线段AC 上一点,AE=14AC ,F 为 线段BC 上一点,CF=2FB,求线段 EF 的长. 7. 已 知:O 为 直 线 AB 上 一 点,∠BOC= ∠DOE=90°. (1) 如图①,若射线OC、射线OD 在直线 AB 的两侧. ① ∠COD 和∠BOE 相等吗? 请判断并说 明理由. ② ∠BOD 和∠COE 之间有什么数量关系? 请写出并说明理由. (2) 如图②,若射线OC、射线OD 在直线 AB 的同侧. ① ∠COD 和∠BOE 相等吗? ② (1)中的∠BOD 和∠COE 之间的数量关 系还成立吗? 请判断并说明理由. 第7题 类型三 整体思想 8. (1) 如图,点C 在线段AB 上,AC=10cm, BC=8cm,M,N 分别为AC,BC 的中点.求 线段MN 的长. (2) 若C 为线段AB 上一点,且满足AC+ BC=acm,M,N 分别为AC,BC 的中点,试 猜想MN 的长度,并说明理由. (3) 若点C 在线段AB 的延长线上,且满足 AC-BC=bcm,M,N 分别为AC,BC 的中 点,试猜想MN 的长度.请你先画出图形,再 写出猜想,并说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 9. 如图,∠AOB=90°,OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC. (1) 若∠BOC=30°,求∠MON 的度数. (2) 设∠BOC=2x°,能否求出∠MON 的度 数? 若能,请求出其度数;若不能,请说明 理由. (3) 若将 题 干 中 的“∠AOB=90°”改 为 “∠AOB=α(0°<α<90°)”,其他条件不变, 设∠BOC=β,请用含α 的代数式 表 示 ∠MON 的度数. 第9题 类型四 动态问题 10. ★如图①,M 是线段AB 上一点,点C 在线 段AM 上,点D 在线段BM 上,C,D 两点 分别同时从点M,B 出发,分别以1cm/s、 3cm/s的速度沿直线BA 运动,运动方向 如箭头所示. (1) 若AB=10cm,2cm<AM<4cm,当 点C,D 运动了2s时,求AC+MD 的长; (2) 若点C,D 运动时,总有MD=3AC,求 AM 与AB 之间的数量关系; (3) 如图②,若AM=14AB ,N 是直线AB 上一点,且AN-BN=MN,求MNAB 的值. 第10题 答案讲解 11. 将一副三角尺按图①所示的方式 摆放.(∠D=30°,∠BAC=45°) (1) 求∠DBA 的度数; (2) 将三角尺DBE 绕点B 按逆时针方向 旋转到图②所示的位置,且BM,BN 分别 平分∠ABD,∠CBE,求∠MBN 的度数; (3) 若将三角尺BDE 继续绕点B 按逆时 针方向旋转到图③所示的位置,其他条件 不变,则∠MBN 的大小是否会发生变化? 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 9 ∴ ∠CAE=∠DAF.∴ 180°-∠CAE-∠ACE=180°- ∠DAF- ∠ADF.∴ ∠CEF = ∠CFE.(3) ∠M + ∠CFE=90°.理由:∵ ∠BAG+∠BAC=180°,AE,AN 为角平分线,∴ ∠EAN=∠EAB+∠BAN=12∠BAC+ 1 2∠BAG= 1 2 (∠BAC+∠BAG)=90°.∴ ∠EAM= 90°.∴ ∠M+∠CEF=90°.∵ ∠CEF=∠EAB+∠B, ∠CFE=∠EAC+∠ACD,AE 为角平分线,∠ACD= ∠B,∴ ∠CEF=∠CFE.∴ ∠M+∠CFE=90°. 2 整合提优 专题一　有理数的运算技巧 1. (1) 3.1.(2) 13.(3) -35.93.(4) -66. 2. -3310 + -112 +235- 212 =(-3-1+ 2-2)+ -310- 1 2+ 3 5- 1 2 =-4+ -710 =-4 7 10. 3. (1) 999×(-15)=(1000-1)×(-15)=1000× (-15)+15=-15000+15=-14985.(2) 999× 11845+999× - 1 5 -999×1835=999× 11845- 1 5-18 3 5 =999×100=99900. 4. (1) (-3)2+6÷(-3)+|-4|=9+(-2)+4=11. (2) 1 3- 1 2 ÷ - 1 12 -14×(-8)= 26-36 × (-12)+2= -16 × (-12)+2=16× (-12)+2= -2+2=0. 5. -14÷(-5)2× -53 -|0.8-1|=-1÷25× -53 -15=-1×125× -53 -15=115-315= -215. 6. C 解析:把1代入运算程序,得(1-8)×9=-63, ∵ |-63|<100,∴ 把-63代入运算程序,得(-63- 8)×9=-639.-639的绝对值大于100,则输出的数 是-639. 7. -20 8. (1) 绝对值;这个数的绝对值.(2) (-12)※(4※0)= (-12)※4=-16.(3) 当x>0时,(-7)※x=-(7+ x)=-7-x;当x=0时,(-7)※x=7;当x<0时, (-7)※x=7-x. 9. (1) 1;3.(2) ①②④.(3) 1 a n-2 .(4) 原式= -18-2-64÷26-2× -14 4-2 =-16-64÷24× -14 2 =-1-64÷16×116=-1- 1 4=- 5 4. 10. (1) 佳佳、音音.(2) -42+20÷(-5)-6× (-2)2=-16+(-4)-6×4=-16+(-4)+(-24)= -44. 11. (1) 二;一.(2) (-16)÷ 14- 1 3 ×12=(-16)÷ -112 ×12=(-16)×(-12)×12=2304.(3) (-24)× 3 4+ 1 6- 5 8 ÷14= -24×34-24×16+24×58 ÷ 14=(-18-4+15)÷14=-7÷14=-12. 有理数运算的常见错误 进行有理数的混合运算时,一定要注意三点:① 注 意运算顺序;② 除法没有运算律,需要化除为乘,再判 断是否可以利用运算律;③ 注意运算符号,特别是涉及 乘方运算的时候. 专题二　有关线段、角的计算和证明 1. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.∴ ∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 2. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.∴ AB=AC+CB= 3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.∵ E,F 分别 是AB,CD 的中点,∴ BE=12AB=2x ,CF=12CD= 5 2x.∵ EF=14,∴ EB+CF-CB=14.∴ 2x+52x- x=14,解得x=4.∴ AB=4x=16,CD=5x=20. 3. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为(90°-x).根 据题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.(2) 设这 个锐角的度数为y.根据题意,得180°-y=4(90°-y)- 30°,解得y=50°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 4. (1) ∵ AB=12×126=63 (cm),AP∶BP=3∶4, ∴ AP=63× 33+4=27 (cm).(2) ∵ AP∶BP=3∶4, ∴ 设AP=3xcm,则BP=4xcm.∵ A 为对折点,∴ 剪 断后的三段分别长6xcm,4xcm,4xcm.∴ 6x=72,解得 x=12.∴ 原来细线绳的长为6x+4x+4x=14x= 168(cm). 5. D 解析:① 延长线段AB 到点C,使BC=AB,如 图①,此时B 是AC 的中点;② 反向延长线段 DE 到 点F,使D 是线段EF 的一个三等分点,如图②,有两种情 况,即DE=2DF 或DE=12DF ,因此小莹说得对,小轩 说得不对. 第5题 6. (1) ∵ AB=60,AB=54BC ,∴ BC=48.(2) ① 当 点C在线段AB 上时(如图①),∵ AB=60,BC=48, ∴ AC=AB-BC=12.∵ AE=14AC ,∴ AE=3. ∴ CE=AC-AE=9.∵ CF=2FB,BC=BF+CF, ∴ BF=16,CF=32.∵ EF=EC+CF,∴ EF=41. ② 当点C在线段AB 的延长线上时(如图②),∵ AB= 60,BC=48,∴ AC=AB+BC=108.∵ AE=14AC , ∴ AE=27.∴ BE=AB-AE=33.∵ CF=2FB,BC= BF+CF,∴ BF=16,CF=32.∵ EF=BE+BF, ∴ EF=49.综上所述,EF 的长为41或49. 第6题 7. (1) ① ∠COD=∠BOE.理由:∵ ∠BOC=∠DOE= 90°,∴ ∠BOC+∠BOD=∠DOE+∠BOD,即∠COD= ∠BOE.② ∠BOD+∠COE=180°.理由:∵ ∠BOC= 90°,∴ ∠AOC =90°.∵ ∠DOE =90°,∠AOE + ∠DOE + ∠BOD = ∠AOB = 180°,∴ ∠BOD + ∠AOE=180°-90°=90°.∴ ∠BOD + ∠COE = ∠BOD+∠AOE+∠AOC=90°+90°=180°.(2) ① 相 等.② 成 立.理 由:∵ ∠BOC = ∠DOE =90°, ∴ ∠COD + ∠BOD = ∠BOE + ∠BOD = 90°. ∴ ∠BOD+ ∠COE= ∠BOD + ∠COD + ∠BOE+ ∠BOD=∠BOC+∠DOE=90°+90°=180°.∴ (1)中的 ∠BOD 和∠COE 之间的数量关系还成立. 8. (1) ∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,∴ CM = 12AC=5cm ,CN = 12BC= 4cm.∴ MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理 由:∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ CM=12AC , CN=12BC.∴ MN=CM+CN=12AC+ 1 2BC= 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN=12bcm. 理 由:∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ AM=MC= 1 2AC ,CN=BN=12BC.∴ MN=MC-CN=12AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第8题 9. (1) ∵ ∠AOB=90°,∠BOC=30°,∴ ∠AOC= ∠AOB+∠BOC=120°.∵ OM 平分∠AOC,∴ ∠MOC= 1 2∠AOC= 1 2×120°=60°.∵ ON 平分∠BOC,∴ ∠NOC= 1 2∠BOC= 1 2 ×30°=15°.∴ ∠MON =∠MOC- ∠NOC=45°.(2) 能.∵ ∠AOB=90°,∠BOC=2x°, ∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2x°.∵ OM 平分 ∠AOC,∴ ∠MOC=12∠AOC=45°+x°.∵ ON 平分 ∠BOC,∴ ∠NOC=12∠BOC= 1 2×2x°=x°.∴ ∠MON= ∠MOC-∠NOC=45°.(3) ∵ ∠AOB=α,∠BOC=β, ∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β.∵ OM 平 分 ∠AOC,∴ ∠MOC=12∠AOC= 1 2 (α+β).∵ ON 平分 ∠BOC,∴ ∠NOC= 12 ∠BOC= β 2.∴ ∠MON = ∠MOC-∠NOC=12 (α+β)-β2= α 2. 10. (1) 当点C,D 运动了2s时,CM=2cm,BD=6cm. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∵ AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm,∴ AC+MD= AB-CM-BD=10-2-6=2(cm).(2) ∵ C,D 两点的 运动 速 度 分 别 为 1cm/s、3cm/s,∴ BD =3CM. 又∵ MD=3AC,∴ BD+MD=3CM+3AC,即BM= 3AM.∴ AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上 时,∵ AN-BN=MN,AN-AM=MN,∴ BN=AM= 1 4AB.∴ MN= 1-14- 1 4 AB=12AB,即MNAB = 1 2. 如图②,当点N 在线段AB 的延长线上时,∵ AN- BN=MN,AN-BN=AB,∴ MN=AB,即MNAB=1. 综 上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第10题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 11. (1) ∠DBA=∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°. (2) 设∠ABE=x°,则∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°- x°.∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM= 1 2 ∠ABD = 1 2 (60°-x°),∠EBN = 12 ∠EBC = 1 2 (45°-x°).∴ ∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN= 1 2 (60°-x°)+x°+ 12 (45°-x°)=52.5°.(3) 设 ∠ABE=y°,则∠ABD=60°+y°,∠CBE=45°+y°. ∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM = 1 2 ∠ABD = 1 2 (60°+y°),∠EBN = 1 2 ∠CBE = 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN = ∠ABM - ∠ABE + ∠EBN=12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+y°)=52.5°,即 ∠MBN 的大小不会发生变化. 专题三　整式的化简和求值 1. (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a-3b)=a2- 4b2+a2+4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3 时,原式=7×15×3= 21 5. 2. (2x+y)(2x-y)-(x-2y)2+(6x4-10x2y2)÷ (-2x2)=4x2-y2-(x2-4xy+4y2)-3x2+5y2= 4x2-y2-x2+4xy-4y2-3x2+5y2=4xy.当x= 1 2 , y=-1时,原式=4× 1 2× (-1)=-2. 3. (1) 2024.(2) ∵ a-b=-2,∴ 原式=3(a-b)- 5(a-b)+6=-2(a-b)+6=-2×(-2)+6=10. (3) ∵ a2+2ab=3,ab-b2=-4,∴ 原式=a2+2ab- 1 2ab+ 1 2b 2=(a2+2ab)-12 (ab-b2)=3-12× (-4)=5. 4. 2(x+2y)(x-2y)-(x+y)2+10y2=2(x2-4y2)- (x2+2xy+y2)+10y2=2x2-8y2-x2-2xy-y2+ 10y2=x2-2xy+y2.当x+y=6,xy=-1时,原式= (x+y)2-4xy=62-4×(-1)=36+4=40. 5. 3m2n- 2mn2-2mn-32m 2n +3mn2=3m2n- (2mn2-2mn+3m2n)+3mn2=3m2n-2mn2+2mn- 3m2n+3mn2=mn2+2mn.∵ -7x3my5 与2x6y1-n 是同 类项,∴ 3m=6,1-n=5,解得m=2,n=-4.当m=2, n=-4时,原式=2×(-4)2+2×2×(-4)=2×16+ (-16)=32-16=16. 6. (1) ∵ 多项式(a+1)x3-2xb-1+4x-1是关于x的 二次三项式,∴ a+1=0,b-1=2,解得a=-1,b=3. (2) 2(3a2b-2ab2)-3(1-ab2-2a2b)-3=6a2b- 4ab2-3+3ab2+6a2b-3=12a2b-ab2-6.当a=-1, b=3时,原式=12×(-1)2×3-(-1)×32-6=12× 1×3+9-6=36+9-6=39. 7. 3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2=3a5b2-6a3b-3a· a4b2=3a5b2-6a3b-3a5b2=-6a3b.∵ |a+b-1|+ (a-b+3)2=0,∴ a+b-1=0, a-b+3=0, 解得 a=-1 , b=2. 当a= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈