专题一 有理数的运算技巧- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

29 专题一　有理数的运算技巧 有理数的运算是整个初中阶段的计算基础,也是解决代数与几何问题的前提.常见的类型有直 接运算、利用运算律等技巧进行运算、含绝对值的混合运算、程序型混合运算、新定义运算、纠错型运 算、与数轴相结合的运算等.解题的关键是认真审题并利用合适的方法将问题转化为常规的运算. 类型一 根据混合运算法则直接进行计算 1. 计算: (1) -4.2+5.7-8.4+10; (2) -23×5-(-3)÷ 3128 ; (3) 4+(-2)3×5-(-0.28)÷4; (4) 18+32÷(-2)3-(-4)2×5. 类型二 利用运算技巧进行运算 2. 阅读下面的计算过程,体会“拆项法”. 计算:-556+ -9 2 3 +1734+ -312 . 解:原式=(-5-9+17-3)+ -56-23+34- 1 2 =0+ -114 =-114 用上面的方法完成下面的计算. -3310 + -112 +235-212 3. 利用运算律进行简便计算. 例1:98×12=(100-2)×12=1200-24= 1176; 例2:-16×233+17×233=(-16+17)× 233=233. 请你参考上述方法,利用运算律进行简便 计算: (1) 999×(-15); (2) 999×11845+999× - 1 5 -999× 1835. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 30 类型三 含绝对值的混合运算 4. (1) 计算:(-3)2+6÷(-3)+|-4|. (2) 计算:1 3- 1 2 ÷ - 1 12 -14×(-8). 5. 计算:-14÷(-5)2× -53 -|0.8-1|. 类型四 程序型混合运算 6. 某运算程序如图所示,若输入的数是1,则输 出的数是 ( ) 第6题 A. -63 B. 63 C. -639 D. 639 7. 某运算程序如图所示.若输入的值为-2,则 输出的值为 . 第7题 类型五 与新定义有关的混合运算 8. [思考] 定义一种新运算“※”,观察下列算式. 3※5=8,(-3)※(-5)=8; (-3)※5=-8,3※(-5)=-8; 3※0=3,(-3)※0=3. [归纳] (1) 两数进行“※”运算时,同号得正,异号得 负,并把 相加.任何数同0进行 “※”运算,结果都等于 . [运用] (2) 计算:(-12)※(4※0). (3) 化简:(-7)※x. (提示:对于新运算“※”,如有括号,先进行 括号内的运算) 答案讲解 9. [概念学习] 定义新运算:求若干个相同的有理 数(均不等于0)的商的运算叫做除 方.例如2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷ (-3)等,类比有理数的乘方,我们把2÷2÷ 2记作2③,读作“2的圈3次方”,(-3)÷ (-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④,读作 “-3的圈4次方”.一般地,把a÷a÷a÷…÷a􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁 n个a 记作a (a≠0,n为正整数),读作“a的圈n 次方”.特别规定:a①=a. [初步探究] (1) 直接写出计算结果:3② = , 1 3 ③ = ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 31 (2) 若n为任意正整数,下列关于除方的说 法,正确的有 .(填序号) ① 任何非零数的圈2次方都等于1; ② 任何非零数的圈3次方都等于它的倒数; ③ 圈n次方等于它本身的数是1或-1; ④ 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈 偶数次方结果是正数. [深入思考] 我们知道,有理数的减法运算可以转化为加 法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那 么有理数的除方运算如何转化为乘方运算 呢? 解答下面的问题. (3) 请把有理数a(a≠0)的圈n(n≥3,n为 整数)次方写成幂的形式:a = ; (4) 计算:-1⑧-82÷ 12 ⑥ ×(-4)④. 类型六 以游戏或纠错为背景的有理数运算 10. 老师设计了接力游戏,要求用合作的方式 完成有理数运算,规则:每人只能看到前一 人给的式子,并进行一步计算,再将结果传 递给下一人,最后完成计算.过程如图所示. 第10题 (1) 接力中,计算错误的学生是 ; (2) 请你写出正确的计算过程. 11. ★数学老师布置了一道计算题:(-16)÷ 1 4- 1 3 ×12. 嘉嘉和淇淇的解答过程如下表: 嘉嘉的解答过程 淇淇的解答过程 原式=(-16)÷ -112 × 12(第一步) =(-16)÷(-1)(第二步) =16(第三步) 原式=(-16)÷14- 1 3×12 (第一步) =-64-4(第二步) =-68(第三步) (1) 嘉嘉的解答过程中开始出现错误的是 第 步;淇淇的解答过程中开始出 现错误的是第 步; (2) 请你写出正确的解答过程; (3) 计算:(-24)× 34+ 1 6- 5 8 ÷14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 9 ∴ ∠CAE=∠DAF.∴ 180°-∠CAE-∠ACE=180°- ∠DAF- ∠ADF.∴ ∠CEF = ∠CFE.(3) ∠M + ∠CFE=90°.理由:∵ ∠BAG+∠BAC=180°,AE,AN 为角平分线,∴ ∠EAN=∠EAB+∠BAN=12∠BAC+ 1 2∠BAG= 1 2 (∠BAC+∠BAG)=90°.∴ ∠EAM= 90°.∴ ∠M+∠CEF=90°.∵ ∠CEF=∠EAB+∠B, ∠CFE=∠EAC+∠ACD,AE 为角平分线,∠ACD= ∠B,∴ ∠CEF=∠CFE.∴ ∠M+∠CFE=90°. 2 整合提优 专题一　有理数的运算技巧 1. (1) 3.1.(2) 13.(3) -35.93.(4) -66. 2. -3310 + -112 +235- 212 =(-3-1+ 2-2)+ -310- 1 2+ 3 5- 1 2 =-4+ -710 =-4 7 10. 3. (1) 999×(-15)=(1000-1)×(-15)=1000× (-15)+15=-15000+15=-14985.(2) 999× 11845+999× - 1 5 -999×1835=999× 11845- 1 5-18 3 5 =999×100=99900. 4. (1) (-3)2+6÷(-3)+|-4|=9+(-2)+4=11. (2) 1 3- 1 2 ÷ - 1 12 -14×(-8)= 26-36 × (-12)+2= -16 × (-12)+2=16× (-12)+2= -2+2=0. 5. -14÷(-5)2× -53 -|0.8-1|=-1÷25× -53 -15=-1×125× -53 -15=115-315= -215. 6. C 解析:把1代入运算程序,得(1-8)×9=-63, ∵ |-63|<100,∴ 把-63代入运算程序,得(-63- 8)×9=-639.-639的绝对值大于100,则输出的数 是-639. 7. -20 8. (1) 绝对值;这个数的绝对值.(2) (-12)※(4※0)= (-12)※4=-16.(3) 当x>0时,(-7)※x=-(7+ x)=-7-x;当x=0时,(-7)※x=7;当x<0时, (-7)※x=7-x. 9. (1) 1;3.(2) ①②④.(3) 1 a n-2 .(4) 原式= -18-2-64÷26-2× -14 4-2 =-16-64÷24× -14 2 =-1-64÷16×116=-1- 1 4=- 5 4. 10. (1) 佳佳、音音.(2) -42+20÷(-5)-6× (-2)2=-16+(-4)-6×4=-16+(-4)+(-24)= -44. 11. (1) 二;一.(2) (-16)÷ 14- 1 3 ×12=(-16)÷ -112 ×12=(-16)×(-12)×12=2304.(3) (-24)× 3 4+ 1 6- 5 8 ÷14= -24×34-24×16+24×58 ÷ 14=(-18-4+15)÷14=-7÷14=-12. 有理数运算的常见错误 进行有理数的混合运算时,一定要注意三点:① 注 意运算顺序;② 除法没有运算律,需要化除为乘,再判 断是否可以利用运算律;③ 注意运算符号,特别是涉及 乘方运算的时候. 专题二　有关线段、角的计算和证明 1. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.∴ ∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 2. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.∴ AB=AC+CB= 3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.∵ E,F 分别 是AB,CD 的中点,∴ BE=12AB=2x ,CF=12CD= 5 2x.∵ EF=14,∴ EB+CF-CB=14.∴ 2x+52x- x=14,解得x=4.∴ AB=4x=16,CD=5x=20. 3. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为(90°-x).根 据题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.(2) 设这 个锐角的度数为y.根据题意,得180°-y=4(90°-y)- 30°,解得y=50°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈