精品解析：辽宁省朝阳市建平县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

建平县2023-2024学年度八年级下学期期末数学试题 （考试时间120分钟，满分120分）命题人：刘瑞杰 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 3. 由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 4. 若，那么下列各式中正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若，则的度数为（ ） A. 72 B. 144 C. 72或144 D. 无法计算 6. 如图所示，在中，对角线相文于点是对角线上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. -5 B. -8 C. -2 D. 5 8. 如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N．若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，顶点．将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 式子有意义，则的取值范围是____________ 12. 分解因式：______． 13. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，则CD的长为________. 14. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 15. 如图，四边形中，，，，与的和是，点、、分别是、、的中点，则的周长是_______. 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）化简，求值，其中． （2）解方程：； （3）解不等式组：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，． （1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是，，画出． （2）若点是上一点，则点P按（1）平移后对应点的坐标是______． （3）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是，，画出，并直接写出点的坐标． 18. 如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）用含t的代数式表述的长是______． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED平行四边形． 20. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 21. 如图，在直角中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线交于点D；若，，求的长． 22. 某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元． （1）求A，B两种水果每箱单价； （2）根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x（x为正整数）箱，求所需费用W（元）与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元？ 23. 实践探究题： 【发现问题】学习完图形旋转后爱思考的芳芳和淘淘两名同学进行了如下探究活动． 如图①他们将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点在同一条直线上，淘淘高兴的说“我能求出的度数”，请你将淘淘的求解过程整理出来． 【提出问题】 芳芳说“我不但求出了的度数，还能提出新的问题：如图②，如果作出中边上的高线，那么线段，，之间存在着一种数量关系，你发现了吗淘淘？”请写出这三条线段之间的数量关系并说明理由． 【解决问题】 数学王老师微笑着对芳芳和淘淘说：“你们两个太棒了，在你们的探究基础上如果老师再给出一个正方形，如图③，在这个正方形中边长，若点满足且，请想一想点到的距离是多少呢．”（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平县2023-2024学年度八年级下学期期末数学试题 （考试时间120分钟，满分120分）命题人：刘瑞杰 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可． 【详解】A、因为∠A+∠B=∠C，所以∠C=90°，△ABC为直角三角形，不符合题意； B、因为∠A：∠B：∠C=1：3：2，所以∠A+∠C=∠B，所以∠B=90°，△ABC为直角三角形，不符合题意； C、因为（b+c）（b-c）=a2，所以a2+c2=b2，△ABC为直角三角形，不符合题意； D、因为，，，但是，所以△ABC不为直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 若，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】A：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a-3<b-3不成立，故此选项不符合题意； B：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，4a>4b成立，故此选项符合题意； C：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，-2a>-2b不成立，故此选项不符合题意； D：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若，则度数为（ ） A. 72 B. 144 C. 72或144 D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】延长AB，交l2于F，根据多边形外角和定理可求出∠FBC的度数，根据平行线的性质可得∠2=∠AFD，利用三角形外角性质即可得答案. 【详解】延长AB，交l2于F， ∵五边形ABCDE是正五边形，∠FBC是正五边形的一个外角， ∴∠FBC==72°， ∵l1//l2， ∴∠2=∠AFD， ∵∠1=∠AFD+∠FBC， ∴∠1-∠AFD=∠1-∠2=∠FBC=72°. 故选A. 【点睛】本题考查多边形外角和定理、三角形外角性质及平行线的性质，熟记多边形的外角和是360°并正确添加辅助线是解题关键 6. 如图所示，在中，对角线相文于点是对角线上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB， 又∵OE=OF ∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形． B、DE=BF，OD=OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE=OF ∴四边形DEBF不一定是平行四边形． C、在△ADE和△CBF中，∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE=CF， ∴OE=OF，故C能判定是平行四边形； D、同理△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∴OE=OF，故D能判定是平行四边形; 故选：B． 【点睛】本题需注意当大的平行四边形利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． 7. 关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. -5 B. -8 C. -2 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：去分母得：3x-2=2x+2+m①． 由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1， 代入整式方程①得：-5=-2+2+m， 解得：m=-5． 故选：A． 8. 如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N．若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ∴， 故选：B． 9. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 10. 如图，在中，顶点．将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用正方形性质得，根据题意4次一个循环，由于，因此第2022次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转2次，由此求出点D坐标． 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ， ， 每次旋转， 四次旋转一周即一个循环， ， 第2022次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转2次，即旋转， 此时． 故选D． 【点睛】此题考查了图形的旋转与点的坐标，准确把握旋转的角度与图形的特殊性质是解决此题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 式子有意义，则的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 详解】∵式子有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键． 先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 13. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，则CD的长为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质得AD=AB，由∠B=60°，于是可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得BD=AB=3，然后利用CD=BC-BD进行计算． 【详解】∵△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上， ∴AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ADB为等边三角形， ∴BD=AB=3， ∴CD=BC−BD=5−3=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质. 14. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据符号[x]的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】∵ ∴5＞≥4 解得＞≥7 整数有7,8,9,共3个. 【点睛】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 15. 如图，四边形中，，，，与的和是，点、、分别是、、的中点，则的周长是_______. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，取的中点，连接，根据三角形中位线，则，；根据与的和是，则，根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，求出，再根据，点，，三点共线，最后根据，即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，取的中点，连接 ∵在中，点、分别是、的中点 ∴，； ∵在中，点、分别是、中点， ∴，， ∴， ∵，点在的延长线上， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，点，，三点共线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线，平行四边形的知识，解题的关键是掌握三角形中位线的定义，平行四边形的判定和性质，即可． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）化简，求值，其中． （2）解方程：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，求不等式组的解集，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （3）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 当时， 原式； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 经检验：当，最简公分母， ∴是原分式方程的解 【小问3详解】 解不等式组： 解①得，； 解②得，； ∴原不等式组的解集为： 17. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，． （1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是，，画出． （2）若点是上一点，则点P按（1）平移后对应点的坐标是______． （3）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是，，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可求解； （2）根据（1）中平移规律即可求解； （3）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． 【小问1详解】 解：∵且平移后点与点重合， ∴向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，作图如下． 【小问2详解】 解：点按（1）向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度后对应点的坐标是； 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转得到如图： ． 18. 如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）用含t的代数式表述的长是______． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，含直角三角形的性质； （1）根据点Q的速度可得，进而可得答案； （2）分和两种情况，分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 20. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】（1）4 （2）另一个因式为，b值为1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 21. 如图，在直角中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线交于点D；若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作法和性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，利用等面积法求是解题的关键． 利用勾股定理求出，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再用等面积法即列出方程即可求出的长． 【详解】解：在直角中，，，， ∴， 过点D作于点H， 依题意得：是的角平分线， 又∵，即，， ∴． 设， ∵， 即， ∴， ∴， 即． 22. 某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元． （1）求A，B两种水果每箱的单价； （2）根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x（x为正整数）箱，求所需费用W（元）与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元 （2）W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数） （3）购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设再次购买A种水果x箱，则B种水果为（18-x）箱，购买总费用为W，根据：总费用=A种水果单价×A种水果数量+B种水果单价×B种水果数量，列出W关于x的函数关系式； （3）根据B种水果的箱数不少于A种水果箱数的2倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值． 【小问1详解】 设A种水果每箱的单价为a元，则B种水果每箱的单价为（a＋80）元， 根据题意，得 解得a＝120，经检验，a＝120是原方程的解，且符合题意， ∴a＋80＝200． 答：A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元； 【小问2详解】 设再次购进A种水果x箱，则购进B种水果（18－x）箱， 根据题意，得W＝120x＋200（18－x）＝－80x＋3600； ∴W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数） 【小问3详解】 本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，18－x≥2x，解得x≤6， ∵W＝－80x＋3600中，k＝－80＜0， ∴W随着x的增大而减小，∴当x＝6时，W取得最小值， ∴W＝－80x＋3600＝－80×6＋3600＝3120，∴18－x＝12． 答：本次购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值． 23. 实践探究题： 【发现问题】学习完图形的旋转后爱思考的芳芳和淘淘两名同学进行了如下探究活动． 如图①他们将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点在同一条直线上，淘淘高兴的说“我能求出的度数”，请你将淘淘的求解过程整理出来． 【提出问题】 芳芳说“我不但求出了的度数，还能提出新的问题：如图②，如果作出中边上的高线，那么线段，，之间存在着一种数量关系，你发现了吗淘淘？”请写出这三条线段之间的数量关系并说明理由． 【解决问题】 数学王老师微笑着对芳芳和淘淘说：“你们两个太棒了，在你们的探究基础上如果老师再给出一个正方形，如图③，在这个正方形中边长，若点满足且，请想一想点到的距离是多少呢．”（直接写出结果） 【答案】发现问题：，过程见解析；提出问题：，理由见解析；解决问题：或． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 发现问题：由旋转的性质可得是等腰直角三角形，进而得，即得，再根据角的和差关系即可求解； 提出问题：由发现问题可知是等腰直角三角形，，由可得，又由旋转可得，即可； 解决问题：分两种情况，画出图形，根据提出问题的结论解答即可求解； 【详解】解：发现问题：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 提出问题：． 理由：由发现问题可知是等腰直角三角形，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴； 解决问题：点A到的距离是或． （）当点在如图①所示位置时，连接， 并在上取一点，使，连接，设相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， 由提出问题类比可得，， ∴， ∴， ∴点到的距离为； （）当点在如图②所示位置时，连接， 并在上取一点，使，连接， 过点作于点，过点作于点， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理（）可得， ∴，， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∴点到的距离为； 综上所述，点到的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$